Algebra 1/Equazioni, disequazioni e sistemi di primo grado/Equazioni frazionarie e letterali

Indice del libro

Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo gradoModifica

In uno dei capitoli precedenti abbiamo affrontato le equazioni di primo grado. Adesso consideriamo le equazioni di grado superiore al primo che possono essere ricondotte ad equazioni di primo grado, utilizzando la legge di annullamento del prodotto.

Esempio: Risolvere  .

Il polinomio al primo membro può essere scomposto in fattori:  . Per la legge di annullamento, il prodotto dei due binomi si annulla se   oppure se  . Di conseguenza si avranno le soluzioni:   e  .

In generale, se si ha un’equazione di grado   scritta in forma normale   e se il polinomio   è fattorizzabile nel prodotto di   fattori di primo grado:

 

applicando la legge di annullamento del prodotto, le soluzioni dell’equazione si ottengono determinando le soluzioni delle singole   equazioni di primo grado, cioè risolvendo:

 

Pertanto l’insieme delle soluzioni dell’equazione data sarà:  .

Esempio: Risolvere  .

Scomponendo in fattori il polinomio al primo membro, ricercando quei due numeri la cui somma è pari a   e il cui prodotto è pari a  , si ha:  . Utilizzando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene il seguente insieme di soluzioni:  .

Esempio: Risolvere  .

Scomponendo in fattori il polinomio al primo membro, utilizzando la regola della scomposizione del particolare trinomio di secondo grado, si ottiene:  . Scomponendo ulteriormente in fattori si ha:

 

Per la legge di annullamento del prodotto è necessario risolvere le equazioni:

 

L’insieme delle soluzioni:  .

Equazioni numeriche frazionarieModifica

Affrontiamo ora le equazioni in cui l’incognita compare anche al denominatore.

Definizione: Un’equazione in cui l’incognita compare al denominatore si chiama frazionaria o fratta.


Esempio: Risolvere  .

Questa equazione si differenzia da quelle affrontate in precedenza per il fatto che l’incognita compare anche al denominatore. Riflettendo sulla richiesta del problema, possiamo senz’altro affermare che, se esiste il valore che rende la frazione al primo membro uguale alla frazione al secondo membro, esso non deve annullare nessuno dei due denominatori, poiché in questo caso renderebbe priva di significato la scrittura, in quanto frazioni con denominatore   sono prive di significato.

Per risolvere un’equazione frazionaria, prima di tutto dobbiamo renderla nella forma

 
  1. Determiniamo il   dei denominatori,  . Osserviamo che per   oppure per   le frazioni perdono di significato, in quanto si annulla il denominatore;
  2. imponiamo le condizioni di esistenza:   e   cioè  . La ricerca dei valori che risolvono l’equazione viene ristretta all’insieme  , detto dominio dell’equazione o insieme di definizione;
  3. applichiamo il primo principio d’equivalenza trasportando al primo membro la frazione che si trova al secondo membro e riduciamo allo stesso denominatore ( )
     
  4. applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando ambo i membri per il  , certamente diverso da zero per le condizioni poste precedentemente. L’equazione diventa:  ;
  5. eseguiamo le moltiplicazioni e sommiamo i monomi simili per portare l’equazione alla forma canonica:  ;
  6. dividiamo ambo i membri per  , per il secondo principio di equivalenza si ha:  ;
  7. confrontiamo il valore trovato con le  : in questo caso la soluzione appartiene al dominio  , quindi possiamo concludere che è accettabile. L’insieme soluzione è:  .

Esempio: Risolvere  .

  1. Determiniamo il   dei denominatori. Per fare questo dobbiamo prima scomporli in fattori. Riscriviamo:   con  ;
  2. condizioni di esistenza:
     
    cioè  . Il dominio è  ;
  3. trasportiamo al primo membro ed uguagliamo a zero
     

    e riduciamo allo stesso denominatore ( ) ambo i membri

     
  4. applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando ambo i membri per il  , certamente diverso da zero per le condizioni poste in precedenza. L’equazione diventa:  ;
  5. riduciamo i monomi simili per portare l’equazione alla forma canonica:  ;
  6. dividiamo ambo i membri per  , otteniamo:  ;
  7. confrontando con le  , la soluzione appartiene all’insieme  , dunque è accettabile e l’insieme soluzione è:  .

Equazioni letteraliModifica

Equazioni con un solo parametroModifica

Quando si risolvono problemi, ci si ritrova a dover tradurre nel linguaggio simbolico delle proposizioni del tipo: <<Un lato di un triangolo scaleno ha lunghezza pari a   volte la lunghezza dell’altro e la loro somma è pari a  >>. Poiché la lunghezza del lato del triangolo non è nota, ad essa si attribuisce il valore incognito   e quindi la proposizione viene tradotta dalla seguente equazione:  .

È possibile notare che i coefficienti dell’equazione non sono solamente numerici, ma contengono una lettera dell’alfabeto diversa dall’incognita. Qual è il ruolo della lettera  ? Essa prende il nome di parametro ed è una costante che rappresenta dei numeri fissi, quindi, può assumere dei valori prefissati. Ogni volta che viene fissato un valore di  , l’equazione precedente assume una diversa forma. Infatti si ha:

Valore di   Equazione corrispondente
   
   
   

Si può quindi dedurre che il parametro diventa una costante, all’interno dell’equazione nell’incognita  , ogni volta che se ne sceglie il valore.

Si supponga che il parametro   assuma valori all’interno dell’insieme dei numeri reali. Lo scopo è quello di risolvere l’equazione, facendo attenzione a rispettare le condizioni che permettono l’uso dei principi d’equivalenza e che permettono di ridurla in forma normale.

Riprendiamo l’equazione  , raccogliamo a fattore comune la   si ha:

 

Per determinare la soluzione di questa equazione di primo grado, è necessario utilizzare il secondo principio d’equivalenza e dividere ambo i membri per il coefficiente  . Si ricordi però che il secondo principio ci permette di moltiplicare o dividere i due membri dell’equazione per una stessa espressione, purché questa sia diversa da zero. Per questa ragione, nella risoluzione dell’equazione   è necessario distinguere i due casi:

  • se  , cioè se  , è possibile dividere per   e si ha  ;
  • se  , cioè se  , sostituendo tale valore all’equazione si ottiene l’equazione  , cioè   che risulta impossibile.

Riassumendo si ha:

  con  
Condizioni sul parametro Soluzione Equazione
  nessuna impossibile
    determinata

Ritorniamo ora al problema sul triangolo, spesso nell’enunciato del problema sono presenti delle limitazioni implicite che bisogna trovare. Infatti, dovendo essere   un lato del triangolo esso sarà un numero reale positivo. Di conseguenza, dovendo essere l’altro lato uguale a   volte  , il valore di   deve necessariamente essere anch’esso positivo, ovvero  . Di conseguenza il parametro   non può mai assumere il valore   e quindi il problema geometrico ammette sempre una soluzione.

Questa analisi effettuata sui valori che può assumere il parametro  , prende il nome di discussione dell’equazione.

Procedura: Stabilire quando una equazione è determinata, indeterminata, impossibile.

In generale, data l’equazione   si ha   e quindi:

  1. se  , l’equazione è determinata e ammette l’unica soluzione  ;
  2. se   e  , l’equazione è impossibile;
  3. se   e  , l’equazione è soddisfatta da tutti i valori reali di  , ovvero è indeterminata.


Esempio: Risolvere e discutere  .

Dopo aver fatto i calcoli si ottiene l’equazione   e quindi si ha:

  • Se  , cioè se  , è possibile dividere ambo i membri per   e si ottiene l’unica soluzione  ;
  • se  , cioè se  , sostituendo nell’equazione il valore   si ottiene  , che risulta impossibile.


Esempio: Risolvere e discutere  .

Effettuando i prodotti si ottiene l’equazione:   e quindi si ha:

  • Se  , cioè se  , è possibile dividere ambo i membri per   e si ottiene l’unica soluzione  ;
  • se  , sostituendo questo valore di   nell’equazione si ottiene  , che risulta un’equazione impossibile.


Esempio: Risolvere e discutere  .

Portiamo al primo membro tutti i monomi che contengono l’incognita  . Raccogliamo a fattore comune l’incognita  . Scomponendo in fattori si ha l’equazione  .

I valori di   che annullano il coefficiente dell’incognita sono   e  .

  • Se nell’equazione sostituisco  , ottengo l’equazione   che è impossibile;
  • se sostituisco  , ottengo l’equazione   che è indeterminata;
  • escludendo i casi   e  , che annullano il coefficiente della  , posso applicare il secondo principio di equivalenza delle equazioni e dividere primo e secondo membro per  , ottenendo  .

Ricapitolando: se  , allora  ; se  , allora  ; se  , allora  .

Equazioni con due parametriModifica

Esempio: Risolvere e discutere  .

Mettiamo l’equazione in forma canonica:  . Raccogliamo a fattore comune l’incognita  .

  • Se   l’equazione è impossibile o indeterminata. In questo caso:
    • se   è indeterminata;
    • se   è impossibile;
  • se   l’equazione è determinata e la sua soluzione è  .


Riassumendo: se   allora  ; se   allora  ; se   allora  .

Equazioni con il parametro al denominatoreModifica

Esempio: Risolvere e discutere   con  .

Questa equazione è intera, pur presentando termini frazionari. Sappiamo che ogni volta che viene fissato un valore per il parametro, l’equazione assume una forma diversa; la presenza del parametro al denominatore ci obbliga ad escludere dall’insieme dei numeri reali quei valori che annullano il denominatore.

Per   si annullano i denominatori, quindi l’equazione è priva di significato. Per risolvere l’equazione abbiamo bisogno delle condizioni di esistenza   e  .

Procediamo nella risoluzione, riduciamo allo stesso denominatore ambo i membri dell’equazione:  . Applichiamo il secondo principio moltiplicando ambo i membri per il  , otteniamo:   che in forma canonica è

 

Il coefficiente dell’incognita dipende dal valore assegnato al parametro  ; procediamo quindi alla discussione:

  • se   cioè   possiamo applicare il secondo principio e dividere ambo i membri per il coefficiente   ottenendo  . L’equazione è determinata:  
  • se   cioè   l’equazione diventa  . L’equazione è impossibile:  .

Riassumendo si ha:

  con  .
Condizioni sul parametro Insieme Soluzione Equazione
  priva di significato
    impossibile
    determinata
Esempio: Risolvere e discutere   con  .

Scomponendo i denominatori troviamo il  . Pertanto se   o   il denominatore si annulla e quindi l’equazione è priva di significato. Per poter procedere nella risoluzione poni le  .

Riducendo allo stesso denominatore:  .

Applica il secondo principio per eliminare il denominatore e svolgi i calcoli. Arrivi alla forma canonica che è  .

Per le   sul parametro, il coefficiente dell’incognita è sempre diverso da zero, pertanto puoi dividere per   e ottieni  .

Riassumendo si ha:

  con  
Condizioni sul parametro Insieme Soluzione Equazione
  priva di significato
    determinata

Equazioni frazionarie letteraliModifica

Caso in cui il denominatore contiene solo l’incognitaModifica

Esempio: Risolvere e discutere   con  .

Questa equazione è frazionaria o fratta perché nel denominatore compare l’incognita. Sappiamo che risolvere un’equazione significa determinare i valori che, sostituiti all’incognita, rendono vera l’uguaglianza tra il primo e il secondo membro. Non sappiamo determinare tale valore solamente analizzando l’equazione, ma certamente possiamo dire che non dovrà essere   perché tale valore, annullando i denominatori, rende privi di significato entrambi i membri dell’equazione.

Poniamo allora una condizione sull’incognita: la soluzione è accettabile se  . Non abbiamo invece nessuna condizione sul parametro.

Procediamo quindi con la riduzione allo stesso denominatore di ambo i membri dell’equazione  ; eliminiamo il denominatore che per la condizione posta è diverso da zero. Eseguiamo i calcoli al numeratore e otteniamo   da cui la forma canonica:

 

Il coefficiente dell’incognita contiene il parametro, quindi procediamo alla discussione:

  1. se   cioè   possiamo applicare il secondo principio e dividere ambo i membri per il coefficiente   ottenendo  . L’equazione è determinata:  . A questo punto dobbiamo ricordare la condizione sull’incognita, cioè  , quindi la soluzione è accettabile se  ;
  2. se   cioè   l’equazione diventa  , cioè l’equazione è impossibile:  .

Riassumendo si ha la tabella:

  con  
Condizioni
parametro incognita Insieme Soluzione Equazione
 
    impossibile
    determinata
  accettabile  

Caso in cui il denominatore contiene sia il parametro che l’incognitaModifica

Esempio: Risolvere e discutere   con  .

L’equazione è fratta; il suo denominatore contiene sia l’incognita   che il parametro  . Scomponiamo in fattori i denominatori

 

Determiniamo le condizioni di esistenza che coinvolgono il parametro   e le condizioni sull’incognita: soluzione accettabile se  .

Riduciamo allo stesso denominatore ed eliminiamolo in quanto per le condizioni poste è diverso da zero. L’equazione canonica è  

Il coefficiente dell’incognita contiene il parametro quindi occorre fare la discussione:

  1. se   cioè   possiamo dividere ambo i membri per  , otteniamo:  . L’equazione è determinata, l’insieme delle soluzioni è  ; la soluzione è accettabile se verifica la condizione di esistenza   da cui si ha
     
    cioè se   l’equazione ha una soluzione che non è accettabile, pertanto è impossibile;
  2. se   cioè   l’equazione diventa  . L’equazione è impossibile, l’insieme delle soluzioni è vuoto:  .

La tabella che segue riassume tutti i casi:

  con  
Condizioni
parametro incognita Insieme Soluzione Equazione
  priva di significato
   
    impossibile
    determinata
  accettabile  

Equazioni letterali e formule inverseModifica

Le formule di geometria, di matematica finanziaria e di fisica possono essere viste come equazioni letterali. I due principi di equivalenza delle equazioni permettono di ricavare le cosiddette formule inverse, ossia di risolvere un’equazione letterale rispetto a una delle qualsiasi lettere incognite che vi compaiono.

Esempio: Area del triangolo  .

Questa equazione è stata risolta rispetto all’incognita  , ossia se sono note le misure della base   e dell’altezza   è possibile ottenere il valore dell’area  .

È possibile risolvere l’equazione rispetto a un'altra lettera pensata come incognita. Note le misure di   e di   ricaviamo  . Per il primo principio di equivalenza moltiplichiamo per   entrambi i membri dell’equazione

 

dividiamo entrambi i membri per   ottenendo  . Ora basta invertire primo e secondo membro:

 

Esempio: Formula del montante  .

Depositando un capitale   per un periodo di tempo   (in anni), a un tasso di interesse annuo  , si ha diritto al montante  .

Risolviamo l’equazione rispetto al tasso di interesse  , ossia supponiamo di conoscere il capitale depositato  , il montante   ricevuto alla fine del periodo   e ricaviamo il tasso di interesse che ci è stato applicato. Partendo da  , dividiamo primo e secondo membro per  , otteniamo

 

sottraiamo   al primo e al secondo membro, otteniamo

 

dividiamo primo e secondo membro per  , otteniamo

 

Esempio: Formula del moto rettilineo uniforme  .

Un corpo in una posizione  , viaggiando alla velocità costante  , raggiunge dopo un intervallo di tempo   la posizione  .

Calcoliamo   supponendo note le altre misure. Partendo dalla formula   sottraiamo ad ambo i membri  , otteniamo  ; dividiamo primo e secondo membro per  , otteniamo

 

Esercizi del capitoloModifica