Misura e integrale di Lebesgue/Proprietà della misura di Lebesgue

Parliamo delle proprietà della misura che abbiamo discusso finora. La prima proprietà fondamentale della misura di Lebesgue è che, presi $e_{1},\cdots ,E_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ insiemi numerabili a due a due disgiunti, ovvero che $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing$ se $i\neq j$, allora, posto:

$E=\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}$

Si ha che $E$ è misurabile e vale

$m(E)=\sum _{i=1}^{n}m(E_{i})$

Questa proprietà è molto interessante. Poiché possiamo considerare qualsiasi insieme come somma di insiemi disgiunti, la misura di quell'insieme, se è unione di un'infinità numerabile di insiemi, sarà esattamente la somma delle misure degli insiemi. Questo già può iniziare a far capire qualcosa ai più scaltri, ma ci arriveremo con calma.

Procediamo ora col dimostrare il primo teorema importante.

Teorema

Siano $E,F\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ due insiemi misurabili. Allora sono misurabili anche gli insiemi $E\cup F$, $E\cap F$ e $E\setminus F$.

Dimostrazione

Iniziamo col dimostrare che $E\setminus F$ è misurabile. Questo vuol dire che, per il teorema visto nel precedente capitolo, deve essere $\forall \varepsilon >0$:

${\begin{aligned}&\exists A,A'{\mbox{ aperti}},\,K,K'{\mbox{ compatti tali che:}}\\&K\subseteq E\subseteq A\quad m(A\setminus K)<\varepsilon \\&K'\subseteq F\subseteq A'\quad m(A'\setminus K')<\varepsilon \end{aligned}}$

Allora costruisco due insiemi misurabili così definiti:

${\begin{aligned}&B=(A\setminus K')\quad {\mbox{aperto, che contiene }}(E\setminus F)\\&C=(K\setminus A')\quad {\mbox{compatto, che e' contenuto in }}(E\setminus F)\end{aligned}}$

Poiché $B$ e $C$ sono un aperto e un compatto contenente e contenuto in $E\setminus F$, se la loro differenza misura $m(B\setminus C)<\varepsilon$, anche $E\setminus F$ lo sarà. Posso scrivere:

${\begin{aligned}&(B\setminus C)\subseteq (A\setminus K)\cup (A'\setminus K')\\&m(B\setminus C)\leq m(A\setminus K)+m(A'\setminus K')\end{aligned}}$

Gli insiemi nella prima espressione sono tutti aperti, quindi sono misurabili secondo Lebesgue. Quindi è valida la seconda espressione. Le due misure valgono entrambe $\varepsilon$, quindi otteniamo che:

$m(B\setminus C)\leq 2\varepsilon$

Per l'arbitrarietà di $\varepsilon$, otteniamo che $(E\setminus F)$ è misurabile.

Per dimostrare che anche $E\cup F$ e $E\cap F$ sono misurabili, per la teoria degli insiemi possiamo scriverli come:

${\begin{aligned}&E\cup F=(E\setminus F)\cup F\\&E\cap F=E\setminus (E\setminus F)\end{aligned}}$

Poiché sono tutte operazioni tra insiemi misurabili, e sappiamo che queste operazioni non mutano la misurabilità di un insieme, possiamo concludere che tutti questi insiemi sono misurabili.

Questo primo teorema ha ampliato ancora di più l'insieme degli insiemi misurabili secondo Lebesgue. Tuttavia, la potenza della misura di Lebesgue sta nelle prossime due proprietà, che sono la subadditività e l'additività della misura.

Teorema (Sub-additività numerabile della misura di Lebesgue)

Sia $\{E_{i}\}$ una collezione numerabile di insiemi misurabili in ${\mathbb {R} }^{n}$. Posto $E=\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}$, questo è misurabile; supponendo sia ${\overline {m}}(E)<+\infty$, vale:

$m(E)=m\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }E_{i}$

Inoltre, se gli insiemi considerati sono inclusivi, cioè $E_{i}\subseteq E_{i+1}$, vale:

$m(E)=\lim _{i\to \infty }m(E_{i})$

Questo vuol dire che, se l'insieme che vogliamo misurare è l'unione di una quantità numerabile di sottoinsiemi, la sua misura sarà minore o al più uguale alla somma delle misure dei sottoinsiemi. Questo perché può anche capitare che ci siano parti di insieme in comune, ovvero che l'unione tra due sottoinsiemi non sia sempre vuota, e quindi la somma dei sottoinsiemi risulta maggiore dell'insieme unione. Inoltre, questo ci dice che, se conosciamo la misura dei sottoinsiemi, possiamo maggiorare la misura dell'insieme unione. L'ipotesi di numerabilità è fondamentale: se ciò non fosse possibile, non avrebbe senso parlare di sommatoria.

Teorema (Additività numerabile della misura di Lebesgue)

Siano $\{E_{i}\}$ una collezione numerabile di insiemi disgiunti a due a due misurabili, ovvero:

$E_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\quad {\mbox{con }}e_{i}\cap E_{j}=\varnothing \quad {\mbox{se }}i\neq j$

Allora, posto $E=\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}$, questo è misurabile e vale:

$m(E)=\sum _{i=1}^{\infty }m(E_{i})$

Questa proprietà ha una conseguenza fondamentale. Consideriamo $E_{1},E_{2},\cdot E_{n}$ un'infinità numerabile di insiemi aventi tutti misura nulla; la loro unione sarà quindi un insieme di misura nulla. Vi suggerisce qualcosa?

Sappiamo che un punto, ente primitivo adimensionale, ha misura nulla. Segue che, ogni insieme numerabile contenente punti ha anch'esso misura nulla. Consideriamo la funzione di Dirichlet:

$D(x)={\begin{cases}&1\quad {\mbox{se }}x\in \mathbb {Q} \cap [0,1]\\&0\quad {\mbox{se }}x\in [0,1]\setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

L'insieme dei razionali $\mathbb {Q}$ sappiamo essere numerabile; questo è un'unione numerabile di punti, e la cosa vale anche nell'intervallo dei reali $[0,1]$ . Per la teoria di Lebesgue vale $m(\mathbb {Q} )=0$. Questo ci indica che la funzione di Dirichlet potrà essere integrabile e che quindi avrà integrale nullo. Lo vedremo meglio in seguito.

La conseguenza dell'additività numerabile ci dice anche che $m(\mathbb {N} )=m(\mathbb {Z} )=m(\mathbb {Q} )=0$. Possiamo già dire che $m(\mathbb {R} )=+\infty$, questo indica che $m(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )=+\infty$. In parole povere, ciò che fa misurare l'insieme dei reali $\infty$ sono gli irrazionali trascendenti, come $e$, $\sin 1$.

Chiudiamo il modulo con un'osservazione banale: se $F\subseteq E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ qualunque, e si ha $m(E)=0$, allora segue $m(F)=0$.