Misura e integrale di Lebesgue/Integrale di Lebesgue e proprietà

Definizione

Suppponiamo $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ insieme misurabile; consideriamo la funzione $f:E\to \mathbb {R}$ misurabile. Assumiamo che la funzione abbia solo valori positivi, ovvero sia $f:E\to [0,+\infty ]$. Definiamo integrale secondo Lebesgue:

$\int _{E}f(x)dx=\sup _{\left\{{\begin{aligned}s\ semplice\\s(x)\leq f(x)\end{aligned}}\right\}}\int _{E}s(x)dx$

Inoltre, se $\sup \int _{E}s(x)dx<+\infty$ si dice che $f(x)$ è sommabile.

In sintesi, la definizione rappresenta l'intuizione già spiegata nel modulo precedente: mentre Riemann approssimava dal basso e dall'alto l'area con dei rettangoli, andando poi al limite, Lebesgue approssima senza passare al limite l'area con l'area della funzione semplice più simile a quella. La mancanza del limite è un grandissimo passo avanti.

Come già detto, le funzioni integrabili secondo Lebesgue sono tantissime, e sforano lo spazio delle funzioni continue. Tuttavia, le funzioni sommabili, ovvero quelle di integrale limitato, sono un po' meno: ad esempio, $f(x)={\frac {1}{x}}$ è continua in $(0,1)$, è integrabile, vale $x$ = $\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x}}=+\infty$ e quindi non è sommabile. Parleremo dello spazio delle funzioni sommabile nel prossimo modulo.

In questo ci soffermeremo a parlare delle proprietà dell'integrale di Lebesgue. Nella sua dissertazione, Lebesgue espose la sua teoria della misura, presentando l'integrale ed elencando le sei proprietà che questo rispetta. Sono le seguenti:

1. se $0\leq f(x)\leq g(x)$, allora $\int _{e}f(x)dx\leq \int _{E}g(x)dx$;
2. se $A\subseteq E$, allora $\int _{A}f(x)dx\leq \int _{E}f(x)dx$, con $f(x)\geq 0$;
3. linearità: $\int _{E}[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int _{E}f(x)dx+\beta \int _{E}g(x)dx$;
4. se $f(x)=0\,\forall \,x\in E$, allora $\int _{E}f(x)dx=0$, anche se $m(E)=+\infty$;
5. se $m(E)=0$, allora $\int _{e}f(x)dx=0$, anche se $f(x)=+\infty \,\forall \,x\in E$;
6. se $\Omega \subseteq E$, si ha $\int _{\Omega }f(x)dx=\int _{E}f(x)\chi _{\Omega }(x)dx$.

Le proprietà 4, 5 rispecchiano il fatto che $0\cdot \infty =0$; inoltre, la 5 ci indica che la misura di una retta è 0. Quindi, se prendiamo la funzione costante $f(x)=1$ nell'intervallo $[0,1]$, e mandiamo un insieme numerabile di punti all'infinito, l'integrale resterà sempre 1.