Misura e integrale di Lebesgue/Il problema di fondo: dove Riemann fallisce

La teoria dell'integrazione che viene solitamente studiata nei corsi di analisi si attribuisce a Bernhard Riemann e risale alla metà del XIX secolo. Questa teoria fu il primo tentativo, ben riuscito, di formalizzare in una teoria matematica il calcolo di aree sottese da curve o funzioni, e si basa, essenzialmente, sul concetto di rettangolo: costruita una partizione dell'intervallo, l'integrale di una funzione sullo stesso intervallo viene considerato come il limite, al crescere delle partizioni, della somma dell'area dei rettangoli. In sintesi, per dirla in maniera più spicciola, l'integrale di Riemann non è altro che una somma di rettangoli.

Tuttavia, in ogni corso di analisi che si rispetti si cerca di porre l'attenzione dove questa teoria non funziona. Infatti, come primo tentativo di integrazione, Riemann è soddisfacente, nel senso che permette di calcolare l'area di un'ampia gamma di funzioni. Tuttavia, quest'ampia gamma si scopre poi essere non proprio così ampia: infatti, tra queste, alcune danno particolarmente fastidio a Riemann, e sono quelle troppo discontinue. Ma non bisogna uscire dalle funzioni continue per trovarne una non integrabile: ricordiamo che $f(x)=\log x$ non risulta integrale nell'intervallo $[0,1]$, perché il limite è infinito e la definizione di Riemann impone la finitezza dell'area. Insomma, un bello strumento, ma decisamente da raffinare.

La teoria di Henri Lebesgue, invece, risale ai primi anni del XX secolo: è quindi una teoria più moderna e amplia di molto le funzioni di cui è possibile calcolare l'integrale. L'intuizione che sta alla base della teoria la approfondiremo in seguito, ora accenniamo solo che a Lebesgue non importa se una funzione è integrabile, importa il resto dell'insieme, ovvero la contro-immagine di $f(x)$. È una teoria abbastanza interessante, e tra i risultati più importanti c'è quello di poter integrare la funzione di Dirichlet $D(x)$:

$D(x)={\begin{cases}&1\quad {\mbox{se }}x\in \mathbb {Q} \cap [0,1]\\&0\quad {\mbox{se }}x\in [0,1]\setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

Questa, come sappiamo, non è integrabile secondo Riemann (è infatti troppo discontinua): Lebesgue riesce a integrarla e a misurarne l'area. Anche se può sembrare come poter costruire una casa nel cielo.