Misura e integrale di Lebesgue/Passaggio al limite e derivazione sotto il segno di integrale

Integrale di limiti

La teoria di Lebesgue è uno strumento potente, molto più di Riemann. La potenza si nota in tre teoremi della teoria, che ci mostrano come si può passare al limite sotto il segno di integrale.

Teorema (di Beppo Levi sulla convergenza monotona)

Supponiamo sia $\{f_{n}\}$ una successione di funzioni misurabili definite: $f_{n}:E\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to [0,+\infty ]$, con $E$ misurabile; supponiamo inoltre che siano:

• funzioni monotone crescenti, ovvero $0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots f_{n}(x)$ valido $\forall x\in E$, con $x$ fissato;
• la successione tende al limite: $f_{n}(x)\to f_{0}(x)\ \forall x\in E$.

Allora:

• $f_{0}$ è misurabile;
• vale: $\lim _{n\to +\infty }\int _{E}f_{n}(x)dx=\int _{E}\lim _{n\to +\infty }f_{n}(x)dx=\int _{E}f_{0}(x)dx$

Ovvero si può invertire arbitrariamente il segno di limite con quello di integrale.

Questo è già un risultato notevole: sotto opportune condizioni di positività e crescenza monotona, limite e integrale si possono scambiare. Esiste un corollario che permette anche al simbolo di sommatoria di poter essere scambiato.

Corollario (del teorema di Beppo Levi)

Sia $\{f_{n}\}$ successione di funzioni non negative; supponiamo sia $F_{n}(x)=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)$ una funzione monotona non decrescente; allora vale:

$\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}\int _{E}f_{j}(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{E}\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)dx=\int _{E}\sum _{j=1}^{\infty }f_{j}(x)dx$

Ovvero, se $f_{n}>0$, possiamo scambiare sommatoria con integrale.

Questo risultato è molto importante: risulta più comodo studiare una serie di funzioni, invece che sommare infiniti integrali.

Il teorema di Beppo Levi permette anche di dimostrare il seguente teorema.

Teorema (di Fatou)

Supponiamo di avere una successione di funzioni misurabili non negative $\{f_{n}\}$ (unica ipotesi); allora vale la tesi:

$\int _{E}{\big (}\liminf f_{j}(x){\big )}dx\leq \liminf \int _{E}f_{j}(x)dx$

Il termine $\liminf$, chiamato minimo limite, è definito come segue.

Definizione

Prendiamo una successione di reali $a_{k}=\{a_{0},a_{1},a_{2}\cdots \}$; questa ha sicuramente un $\inf$, che sia finito o meno, che chiameremo $b_{0}$. Adesso, eliminiamo il termine $a_{0}$ dalla successione, ottenendo:

$a_{k1}=\{a_{1},a_{2},\cdots \}$

Anche questa successione ha un $\inf$, che chiameremo $b_{1}$. Iterando il processo all'infinito, otteniamo la successione $b_{n}$ degli $\inf$, che risulta essere monotona crescente, o meglio, non decrescente, quindi è regolare e ammette limite:

$\lim b_{n}=\liminf a_{k}$

Per la definizione di $\limsup$ il procedimento è lo stesso, ottenendo una successione dei $\sup$ monotona non crescente.

Il teorema di Fatou permette di dimostrare il più importante di questa terna, il teorema di Lebesgue.

Teorema (di Lebesgue sulla convergenza dominata)

Supponiamo $\{f_{n}\}$ sia una successione di funzioni misurabili, che convergono $f_{n}\to f$ quasi ovunque; inoltre, queste sono tali che:

$|f_{n}(x)|\leq \psi (x)\ {\mbox{quasi ovunque}}$

Ovvero la funzione $\psi (x)$ domina la convergenza dall'alto. Su questa funzione dominante poniamo l'ipotesi di sommabilità, ovvero $\int _{E}\psi (x)dx<+\infty$. Allora si ha che:

$\lim _{j\to \infty }\int _{E}f_{j}(x)dx=\int _{E}\left(\lim _{j\to \infty }f_{j}(x)\right)dx$

La tesi è identica a quella del teorema di Levi, solo cambiano le ipotesi, che in questo caso sono nettamente più interessanti: raramente si ha a che fare con una successione monotona crescente, mentre è più facile maggiorare una successione convergente con una funzione sommabile. L'importanza di questo teorema sta nelle sue applicazioni.

Derivabilità sotto il segno di integrale

Lemma (di Lebesgue)

Supponiamo di avere una funzione $F(t)$ così definita:

$F(t)=\int _{E}f(x,t)dx$

e che esista una funzione $g(x)$ sommabile tale che $|f(x,t)|\leq g(x)$ quasi ovunque. Supponiamo inoltre che $f(x,t)$ sia integrabile (per la condizione imposta a $g(x)$, risulta essere anche sommabile) e che sia continua nella variabile $t$ a ogni $x$ fissato (non ci interessa il suo comportamento in $x$, può anche essere discontinua). La tesi è che $F(t)$ è continua.

Il punto di approdo più importante è racchiuso nel seguente teorema.

Teorema (di derivazione sotto il segno di integrale)

Supponiamo $f(x,t)$ sia sommabile in $E$ per ogni $t$, e che sia anche derivabile nella variabile $t$ per quasi ogni $x$ in $E$. Inoltre, sia $g(x)$ una funzione misurabile tale che:

$\left|{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)\right|\leq g(x)$

Definita la funzione $F(t)=\int _{E}f(x,t)dx$, allora $F(t)$ è derivabile e vale:

$F'(t)=\int _{E}{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)dx$

Ovvero, la teoria di Lebesgue permette di portare il segno di derivata sotto il segno di integrale (sotto opportune condizioni).