Misura e integrale di Lebesgue/Dalla funzione semplice alle funzioni misurabili: il capovolgimento di pensiero

La teoria della misura che abbiamo costruito finora è molto soddisfacente: abbiamo ottenuto uno spazio di misura che è addirittura una σ-algebra, quindi non potevamo chiedere di meglio. Non resta però che fare il passo successivo e arrivare a calcolare l'area di superfici delimitate da funzioni, ovvero gli integrali. Con calma, procediamo in questa direzione, introducendo anche l'intuizione che ha permesso a Lebesgue di cambiare punto di vista sulle aree sottese dalle funzioni.

Procedendo gradualmente, iniziamo a vedere delle funzioni semplici da integrare.

Definizione

Siano $\{\alpha _{i}\}\in \mathbb {R}$, con $i=1,\cdots ,N$ coefficienti reali; siano inoltre $\{E_{i}\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ insiemi misurabili disgiunti a due a due, tali che $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing \,\forall \,i\neq j$. Chiameremo funzione semplice:

$s(x)=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\chi _{E_{i}}(x)$

dove $\chi _{E_{i}}(x)$ è la funzione caratteristica definita come:

$\chi _{E_{i}}={\begin{cases}&1\quad x\in E\\&0\quad x\not \in E\end{cases}}$

Una funzione semplice, quindi, non è altro che la somma, o l'unione, di più funzioni caratteristiche (moltiplicate per un coefficiente reale). Poiché, quindi, la funzione semplice non è altro che unione di costanti, è facile calcolarne l'integrale: sarà, semplicemente, la somma dei rettangoli formati dalle varie funzioni caratteristiche di cui è formata.

Definizione

Si definisce integrale secondo Lebesgue della funzione semplice:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}s(x)dx=\sum _{i=1}^{N}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\alpha _{i}\chi _{E_{i}}(x)dx=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}m(E_{i})$

Detto questo, possiamo finalmente calcolare l'integrale della funzione di Dirichlet. Essendo definita come:

$D(x)={\begin{cases}&1\quad x\in \mathbb {Q} \cap [0,1]\\&0\quad x\in [0,1]\setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

risulta essere quindi $D(x)=\chi _{\mathbb {Q} \cap [0,1]}(x)$, ovvero la funzione caratteristica nell'intervallo $\mathbb {Q} \cap [0,1]$. Vale allora:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}D(x)dx=\int _{[0,1]}\chi _{\mathbb {Q} \cap [0,1]}(x)dx=\sum 0=0$

Le funzioni semplici, nella teoria di Lebesgue, hanno la notevole rilevanza di essere gli approssimatori delle funzioni, nel calcolo dell'integrale. Intendiamo dire che, mentre Riemann approssimava le aree tramite rettangoli, Lebesgue lo fa tramite le funzioni semplici.

Inoltre, la potenza dell'integrale di Lebesgue sta anche nel fatto che le aree possono essere infinite, esattamente come le misure di insiemi; infatti, le aree sottese da curve non sono altro che sottoinsiemi di $\mathbb {R} ^{2}$, e un insieme può avere misura infinita, quindi anche l'integrale di una funzione può risultare essere $+\infty$. Quindi, se l'insieme sotteso da una curva è misurabile, vuol dire che la curva lo è. Lebesgue non parla proprio in questi termini.

Definizione

Funzione misurabile: sia $f:E\to \mathbb {R}$ una funzione reale, con $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ un insieme reale misurabile. Diremo che $f$ è misurabile se e solo se, per ogni $A$ aperto di ${\mathbb {R} }^{n}$, vale:

$f^{-1}(A)\;{\grave {e}}{\mbox{ misurabile in }}\mathbb {R} ^{n}\quad \forall \,A\subseteq \mathbb {R} ^{n}{\mbox{ aperto}}$

Poniamo attenzione a questa definizione e notiamo subito una cosa: poiché la controimmagine di una funzione continua su un aperto è ancora un aperto, ed è misurabile, risulta che tutte le funzioni continue sono misurabili. Ovviamente, l'insieme delle funzioni misurabili non si restringe solo alle continue: notiamo che anche le funzioni semplici escono fuori dall'insieme delle funzioni continue. Ora che abbiamo definito quali funzioni sono misurabili, non resta che definire l'integrale di Lebesgue.