Misura e integrale di Lebesgue/Insieme di Cantor, insiemi illimitati

Questo modulo, molto a sé nell'organismo generale del corso, tratterà di un argomento strano, per poi passare alla misura di intervalli illimitati. Poiché il corso non è impostato per essere un approfondimento della teoria di Lebesgue, altre volte ci prenderemo la libertà di introdurre moduli in cui sospenderemo la trattazione per parlare di argomenti concernenti la misura, ma non proprio interni alla teoria della misura.

Insieme di Cantor

L'insieme di Cantor è un insieme notevole in matematica, poiché descrive il comportamento di una larga classe di funzioni note come frattali. La sua definizione parte da quelle che comunemente viene chiamata suddivisione ternaria.

Per costruire l'insieme di Cantor partiamo dall'intervallo sull'asse dei reali $[0,1]$ . Questo insieme lo chiameremo $C_{0}$. Adesso, dividiamo in tre l'intervallo, e buttiamo via il pezzo centrale: otteniamo l'insieme $\left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]$. Questo lo chiameremo $C_{1}$. Iteriamo il processo all'infinito, dividendo in tre parti gli insiemi ottenuti e buttando via la parte centrale, costruendo degli insiemi così definiti:

${\begin{aligned}&C_{0}=[0,1]\\&C_{1}=[0,1]\setminus \left\{{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}C_{0}\right\}\\&C_{2}=C_{1}\setminus \bigcup _{j=0}^{1}\left\{{\frac {1+3j}{3^{2}}}+{\frac {1}{3}}C_{1}\right\}\\&\vdots \\&C_{k+1}=C_{k}\setminus \bigcup _{j=0}^{k}\left\{{\frac {1+3j}{3^{k}}}+{\frac {1}{3}}c_{k}\right\}\end{aligned}}$

L'insieme di Cantor è definito come:

$C_{\mbox{C}}=\bigcap _{k\in \mathbb {N} }C_{k}$

Nell'immagine qui sotto vediamo le prime iterazioni dell'insieme di Cantor:

Cosa possiamo dire sull'insieme di Cantor? La prima cosa evidente è che non è per nulla un connesso, anzi, si dimostra che è totalmente disconnesso. Tuttavia, l'insieme di Cantor è un compatto, e sappiamo che i compatti sono misurabili nella teoria di Lebesgue. Possiamo quindi chiederci quanto misura o, meglio, se i suoi elementi sono numerabili, così da ricondurci a un caso simile ai razionali. Non possiamo purtroppo applicare l'additività della misura perché l'insieme di Cantor è non numerabile, addirittura si può dimostrare che contiene tanti punti quanti ce ne sono in $[0,1]$ . Nonostante ciò, risulta, come intuitivamente si può pensare, $m(C_{\mbox{C}})=0$; questo risultato può essere anche visto come $m(C_{\mbox{C}})=\lim _{k\to \infty }m(C_{k})$.

Misura di insiemi prodotto, insiemi illimitati

Misurare insiemi illimitati può risultare difficile, o, almeno, non intuitivamente semplice, date le definizioni utilizzate finora. Tuttavia, Lebesgue aggira il problema in maniera molto tranquilla.

Definizione

Sia $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ un insieme illimitato. Diremo che $E$ è misurabile se, per ogni $r>0$, l'insieme $E\cap B(0,r)$ è misurabile, ovvero:

${\underline {m}}{\big (}E\cap B(0,r){\big )}={\overline {m}}{\big (}E\cap B(0,r){\big )}\quad \forall r>0$

La misura di Lebesgue di insiemi illimitati si riconduce quindi alla misura della palla centrata nell'origine con raggio qualsiasi, positivo.

Definizione

Misura prodotto. Siano $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ e $F\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ due insiemi misurabili. Allora l'insieme $E\times F\subseteq \mathbb {R} ^{n+k}$ è misurabile e vale:

$m_{n+k}(E\times F)=M_{n}(E)\cdot m_{k}(F)$

Spazi di misura

Finora abbiamo sempre operato nell'insieme ${\mathbb {R} }^{n}$, considerando suoi sottinsiemi e definendo l'insieme ${\mathcal {M}}$, che include tutti gli insiemi misurabili secondo Lebesgue, a cui abbiamo quindi applicato la misura di Lebesgue indicata con $m$. Lo spazio così costruito, che si indica con:

${\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {M}},m{\big )}\quad {\mbox{Spazio di misura}}$

dove:

• ${\mathbb {R} }^{n}$ è l'insieme ambiente;
• ${\mathcal {M}}$ è l'insieme degli insiemi misurabili;
• $m$ è la misura utilizzata, nel nostro caso quella di Lebesgue.

In particolare, il nostro spazio di misura così costruito include ${\mathcal {M}}$, l'insieme dei misurabili; in questo sono inclusi tutti gli aperti: un insieme che contiene tutti gli aperti viene chiamato σ-algebra, e ha buone proprietà topologiche in matematica.

Lo spazio di misura in cui ci muoviamo, e continueremo a muoverci in tutto il corso, non è l'unico possibile; già sostituendo la misura di Lebesgue con la classica misura di Jordan-Peano, si ottiene uno spazio di misura notevolmente diverso. Parlando di misure, però, ce ne sono diverse da poter prendere in considerazione; ad esempio, la famosa delta di Dirac non è altro che una misura, così definita:

$\delta _{p}(E)={\begin{cases}&1\quad {\mbox{se }}p\in E\\&0\quad {\mbox{se }}p\not \in E\end{cases}}$

È facile dimostrare che rispetta tutte le proprietà di una misura, e valgono anche la sub-additività e l'additività numerabile.

Un altro esempio particolare di misura è la probabilità di un evento di verificarsi: definita nell'intervallo $[0,1]$ , posti:

${\begin{aligned}&m(\varnothing )=0\\&m([0,1])=1\end{aligned}}$

si definisce una funzione $p(x)$ chiamata distribuzione di probabilità:

$p(E)=\int _{E}p(x)dx$

dove $E$ indica l'evento, che quindi viene visto come un sottoinsieme di <mah>[0,1]</math>. Valgono quindi:

${\begin{aligned}&m(\varnothing )=p(\varnothing )=0\\&m([0,1])=p([0,1])=\int _{[0,1]}p(x)dx=1\end{aligned}}$

L'integrale considerato è quello di Lebesgue! Lo spazio di misura in cui si opera la probabilità è quindi ${\big (}[0,1],{\mathcal {M}},m{\big )}$, ovvero null'altro che una restrizione dello spazio di misura in cui ci muoviamo.