Elettronica applicata/Sistemi di conversione A/D e D/A

Un segnale analogico è più facile da elaborare se viene campionato in un segnale numerico, cioè a tempo discreto (campionamento) e discreto in ampiezza (quantizzazione).

Schema a blocchi di un sistema di conversione A/D/A

Campionamento

Il campionamento consiste nella moltiplicazione del segnale analogico $x\left(t\right)$ per un treno di impulsi (delta):

• 
  Campionamento nel dominio del tempo
• 
  Campionamento nel dominio della frequenza

• nel dominio del tempo si ottiene una sequenza equispaziata di suoi campioni:

  $x_{S}\left(t\right)=x\left(t\right)\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-nT_{S}\right)$

• nel dominio della frequenza si ottiene una trasformata periodica di periodo ${\frac {2\pi }{T_{S}}}$:

  $X_{S}\left(\omega \right)={\frac {1}{T_{S}}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X\left(\omega -n{\frac {2\pi }{T_{S}}}\right)$

Teorema del campionamento

Ricostruzione del segnale in assenza di aliasing

Aliasing

Per ricostruire il segnale campionato serve un filtro passa-basso che elimini le repliche dello spettro periodico lasciando solo quella centrata intorno all'origine.

Un segnale a tempo continuo può essere campionato e perfettamente ricostruito a partire dai suoi campioni se la frequenza di campionamento $F_{S}$ è maggiore del doppio della banda $F_{M}$ del segnale:

$F_{S}\triangleq {\frac {1}{T_{S}}}>2F_{M}$

Il teorema del campionamento (o di Nyquist) garantisce l'assenza di aliasing, ovvero evita che le repliche in frequenza si sovrappongano e quindi il filtro passa-basso non riesca più a isolare lo spettro principale.

Filtro anti-aliasing

La maggioranza dei segnali utilizzati nella realtà ha banda illimitata: esiste un intervallo al di fuori del quale il segnale è significativamente vicino a zero, ma non è mai identicamente nullo. Il segnale campionato quindi presenterà nel dominio della frequenza delle sovrapposizioni degli spettri (rumore di campionamento) che alla fine non possono essere ricostruite dal filtro passa-basso. Il filtro anti-aliasing serve per eliminare le parti ad alta frequenza prima del campionamento.

Per approfondire, vedi 3.6 Filtri.

Sample e hold

Segnale campionato e mantenuto

Filtro di ricostruzione

Un circuito logico non può lavorare su campioni dalla durata infinitesima (delta) → un modulo di sample e hold legge il valore del segnale a tempi prefissati e quindi mantiene stabile tale valore fino al campione successivo.

Il mantenimento ha l'effetto di attenuare le componenti spettrali ad alta frequenza → il filtro di ricostruzione deve tener conto della distorsione spettrale dovuta al mantenimento tramite un peaking verso il limite di banda.

Per approfondire, vedi 3.5 Condizionamento del segnale.

Quantizzazione

Quantizzazione

Rappresentazione xy

Errore di quantizzazione

L'operazione di quantizzazione permette di rappresentare un segnale in forma numerica: ogni campione del segnale campionato viene approssimato al livello associato all'intervallo a cui appartiene. L'intervallo di ampiezze $S$ è suddiviso in un numero finito $2^{N}$ intervalli di ampiezza uniforme; al centro di ogni intervallo vi è un livello, che è rappresentato da una sequenza di $N$ bit.

Si definisce errore (o rumore) di quantizzazione $\varepsilon _{q}$ la differenza fra un campione reale e la sua versione quantizzata:

$\left|\varepsilon _{q}\right|\leq {\frac {S}{2^{N+1}}}$

La qualità del segnale quantizzato è espressa in termini del rapporto segnale/rumore ${\text{SNR}}_{q}$:

${\text{SNR}}_{q}={\frac {\sigma _{A}^{2}}{\sigma _{\varepsilon _{q}}^{2}}}$

dove:

• $\sigma _{A}^{2}$ è la potenza del segnale non ancora quantizzato;
• $\sigma _{\varepsilon _{q}}^{2}$ è la potenza del rumore di quantizzazione $\varepsilon _{q}$:

  $\sigma _{\varepsilon _{q}}^{2}={\frac {S^{2}}{12\cdot 4^{N}}}$

A parità di ampiezza $S$, il rapporto segnale/rumore:

• 
  ${\text{SNR}}_{q}$ al variare di $N$
• 
  ${\text{SNR}}_{q}$ al variare di $A$

• aumenta linearmente all'aumentare del numero di bit;
• aumenta linearmente all'aumentare della dinamica $A$ del segnale, ma diminuisce velocemente se la dinamica del segnale supera l'ampiezza $S$ → serve un modulo amplificatore per far sì che la dinamica massima del segnale sia pari all'ampiezza di fondo scala $S$: D5. Condizionamento del segnale#Amplificatore di condizionamento.