Meccanica quantistica/Teoria delle perturbazioni

Perturbazioni indipendenti dal tempo

Correzioni del primo e del secondo ordine ai livelli energetici di un sistema quantistico soggetto a una perturbazione ${\widehat {V}}$ indipendente dal tempo:

${\mathcal {E}}_{n}^{(1)}=V_{nn},\qquad {\mathcal {E}}_{n}^{(2)}=\sum _{m\neq n}{\frac {\left|V_{mn}\right|^{2}}{{\mathcal {E}}_{n}^{(0)}-{\mathcal {E}}_{m}^{(0)}}}$

Correzione del primo ordine alla funzione d'onda :

$\psi _{n}^{(1)}=\sum _{m\neq n}{\frac {V_{mn}}{{\mathcal {E}}_{n}^{(0)}-{\mathcal {E}}_{m}^{(0)}}}\psi _{m}^{(0)}$

Le correzioni a un livello degenere sono determinate dall'equazione

$\det(V_{nn'}-{\mathcal {E}}^{(1)}\delta _{nn'})=0$

Perturbazioni dipendenti dal tempo

Supponiamo ora che la perturbazione ${\widehat {V}}$ dipenda esplicitamente dal tempo. Se all'istante iniziale il sistema si trova nell'n-esimo stato stazionario, la funzione d'onda del sistema a un istante qualsiasi, in prima approssimazione, è

$\Psi _{n}=\sum a_{kn}(t)\Psi _{k}^{(0)}$

dove

$a_{kn}^{(0)}=\delta _{kn},\qquad a_{kn}^{(1)}=-{\frac {i}{\hbar }}\int V_{kn}e^{i\omega _{kn}t}\,dt$

(Dirac, 1926)

Transizioni per effetto di una perturbazione periodica

Probabilità di transizione a uno stato dello spettro continuo per effetto di una perturbazione periodica ${\widehat {V}}={\widehat {V}}_{0}e^{-i\omega t}+{\widehat {V}}_{0}^{+}e^{i\omega t}$:

$dw_{fi}={\frac {2\pi }{\hbar }}|V_{fi}|^{2}\delta ({\mathcal {E}}_{f}-{\mathcal {E}}_{i}^{(0)}-\hbar \omega )\,d\nu _{f}$

Transizioni nello spettro continuo

La probabilità di transizione tra stati dello spettro continuo per effetto di una perturbazione costante è data dalla regola d'oro di Fermi:

$dw_{fi}={\frac {2\pi }{\hbar }}|V_{fi}|^{2}\delta ({\mathcal {E}}_{f}-{\mathcal {E}}_{i})d\nu _{f}$

Correzione del primo ordine alla funzione d'onda:

$\Psi _{i}=\left(\psi _{i}^{(0)}+\int {\frac {V_{fi}}{{\mathcal {E}}_{i}-{\mathcal {E}}_{f}}}\psi _{f}^{(0)}d\nu _{f}\right)\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {E}}_{i}t\right)$