La funzione d'onda di una particella in un campo esterno
U
(
r
)
{\displaystyle U(\mathbf {r} )}
i
ℏ
∂
Ψ
∂
t
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
+
U
(
r
)
Ψ
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U(\mathbf {r} )\Psi }
Livelli energetici di una particella in una buca di potenziale di larghezza
a
{\displaystyle a}
E
n
=
ℏ
2
2
m
π
2
n
2
a
2
(
n
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
)
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{n}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\pi ^{2}{\frac {n^{2}}{a^{2}}}\qquad (n=1,2,3,...)}
Funzioni d'onda degli stati stazionari :
ψ
n
(
x
)
=
c
o
s
t
.
×
sin
n
π
x
a
(
0
<
x
<
a
)
{\displaystyle \psi _{n}(x)=\mathrm {cost.} \times \sin {\frac {n\pi x}{a}}\qquad (0<x<a)}
Livelli energetici di un oscillatore armonico:
E
n
=
(
n
+
1
2
)
ℏ
ω
(
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega \qquad (n=0,1,2,...)}
Funzioni d'onda degli stati stazionari:
ψ
n
(
x
)
=
c
o
s
t
.
×
e
−
(
α
x
)
2
/
2
H
n
(
α
x
)
,
α
=
m
ω
ℏ
{\displaystyle \psi _{n}(x)=\mathrm {cost.} \times e^{-(\alpha x)^{2}/2}H_{n}(\alpha x),\qquad \alpha ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}}
(
H
n
(
ξ
)
{\displaystyle H_{n}(\xi )}
Particella in un campo a simmetria sferica
modifica
La funzione d'onda di una particella in un campo
U
=
(
r
)
{\displaystyle U=(r)}
ψ
=
R
(
r
)
Y
l
m
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle \psi =R(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )}
dove
Y
l
m
{\displaystyle Y_{lm}}
l
=
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
.
.
.
{\displaystyle l=0,1,2,3,4,...}
momento angolare si indicano con le lettere
s
,
p
,
d
,
f
,
g
,
.
.
.
{\displaystyle s,p,d,f,g,...}
Particella in un campo coulombiano. Spettro discreto
modifica
Livelli energetici di una particella in un campo coulombiano attrattivo
U
=
−
α
/
r
{\displaystyle U=-\alpha /r}
E
n
=
−
m
α
2
2
ℏ
2
⋅
1
n
2
(
n
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
)
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{n}=-{\frac {m\alpha ^{2}}{2\hbar ^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}\qquad (n=1,2,3,...)}
Funzioni radiali degli stati stazionari (in unità
α
,
m
,
ℏ
{\displaystyle \alpha ,m,\hbar }
R
n
l
=
c
o
s
t
.
×
e
−
r
/
n
(
2
r
n
)
l
L
n
+
l
2
l
+
1
(
2
r
/
n
)
{\displaystyle R_{nl}=\mathrm {cost.} \times e^{-r/n}\left({\frac {2r}{n}}\right)^{l}L_{n+l}^{2l+1}(2r/n)}
(
L
n
+
l
2
l
+
1
(
ξ
)
{\displaystyle L_{n+l}^{2l+1}(\xi )}
