Meccanica quantistica/Formalismo

Introduzione allo spazio di HilbertModifica

Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno e completo rispetto alla sua norma. Lo spazio di Hilbert che si utilizza per la meccanica quantistica è il cosiddetto spazio  , che è un caso particolare di spazio di Hilbert, di cui segue una descrizione semplificata. Sia   una funzione da   a  [1]. La funzione   appartiene allo spazio   se:

 [2]

è un numero (reale) finito (si dice cioè che   è a quadrato integrabile). Se   appartiene a  , tale quantità si dice norma di  . La funzione si dice normalizzata se la sua norma è unitaria. Il prodotto interno (o scalare) dello spazio   tra due funzioni   e   è

 [3]

Se il prodotto scalare tra due funzioni è nullo, tali funzioni si dicono ortogonali.

Notazione bra-ketModifica

La notazione bra-ket è stata introdotta da Dirac per rappresentare in modo più compatto e leggero le funzioni utilizzate in meccanica quantistica. Se   appartiene allo spazio  , la si può indicare con la notazione   (detta ket). La notazione   (detta bra) corrisponde all'operatore

 

per cui si avrà:

 

che è la norma di   e

 

è il prodotto scalare tra   e  .

Applicazione alla meccanica quantisticaModifica

NoteModifica

  1. In generale, la funzione   può non essere definita su tutto  , tuttavia in meccanica quantistica le funzioni d'interesse lo sono.
  2. L'integrazione è da intendersi secondo Lebesgue
  3. L'asterisco indica il complesso coniugato.