Meccanica quantistica/Formalismo

Introduzione allo spazio di Hilbert

Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno e completo rispetto alla sua norma. Lo spazio di Hilbert che si utilizza per la meccanica quantistica è il cosiddetto spazio $L^{2}$, che è un caso particolare di spazio di Hilbert, di cui segue una descrizione semplificata. Sia $f$ una funzione da $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {C}$. La funzione $f$ appartiene allo spazio $L^{2}$ se:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f|^{2}d\mathbf {r}$

è un numero (reale) finito (si dice cioè che $f$ è a quadrato integrabile). Se $f$ appartiene a $L^{2}$, tale quantità si dice norma di $f$. La funzione si dice normalizzata se la sua norma è unitaria. Il prodotto interno (o scalare) dello spazio $L^{2}$ tra due funzioni $f$ e $g$ è

$\langle f|g\rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}gd\mathbf {r}$

Se il prodotto scalare tra due funzioni è nullo, tali funzioni si dicono ortogonali.

Notazione bra-ket

La notazione bra-ket è stata introdotta da Dirac per rappresentare in modo più compatto e leggero le funzioni utilizzate in meccanica quantistica. Se $f$ appartiene allo spazio $L^{2}$, la si può indicare con la notazione $|f\rangle$ (detta ket). La notazione $\langle f|$ (detta bra) corrisponde all'operatore

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}\bullet d\mathbf {r}$

per cui si avrà:

$\langle f|f\rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}fd\mathbf {r} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f|^{2}d\mathbf {r}$

che è la norma di $f$ e

$\langle f|g\rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}gd\mathbf {r}$

è il prodotto scalare tra $f$ e $g$.