Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Pendolo fisico

Nella meccanica del punto materiale abbiamo già parlato del pendolo, trattando in quel caso un semplice punto materiale appeso a un filo. Nella realtà, però, abbiamo a che fare con strumenti ben diversi, con caratteristiche fisiche ben diverse che non possono essere approssimabili a punti materiali: trattiamo qui di pendoli fisici, ovvero di oggetti che pendolano.

Qualsiasi oggetto può comportarsi da pendolo fisico; l'esempio più immediato, e rilevante per confronto con il pendolo semplice, è una sbarretta omogenea che può ruotare attorno a un estremo. La variabile che descrive il moto del corpo è l'angolo $\theta$ che la sbarretta forma con la verticale, quindi il problema presenta un solo grado di libertà. Come verso positivo, scegliamo l'angolo che forma a destra della verticale.

Le forze agenti sul corpo sono la reazione del vincolo ${\vec {R}}$, che è applicata al perno attorno al quale ruota il corpo; non conosciamo nulla di questa forza, ne modulo, ne direzione o verso. Conosciamo invece la forza peso $M{\vec {g}}$ applicata al centro di massa della sbarretta, ovvero al centro geometrico, e diretta verso il basso. Per studiare il moto sfruttiamo la seconda legge cardinale dei sistemi, scegliendo come polo il punto $O$ attorno al quale la sbarretta ruota. Avremo quindi:

${\vec {\tau }}^{ext}={\vec {r_{1}}}\wedge M{\vec {g}}+{\vec {r_{2}}}\wedge {\vec {R}}={\vec {r_{1}}}\wedge M{\vec {g}}$

Avendo scelto come polo $O$ il braccio della forza vincolare è nullo e non contribuisce quindi al momento. Il fattore ${\vec {r_{1}}}\wedge M{\vec {g}}$ ha invece modulo:

$|{\vec {r_{1}}}\wedge M{\vec {g}}|={\frac {l}{2}}\,Mg\,\sin \theta$

La distanza dal polo del centro di massa è infatti metà sbarretta, e l'angolo formato tra il braccio e la forza peso è lo stesso che l'asta forma con la verticale. Notiamo inoltre che il momento è di richiamo: per angoli positivi esso assume segno negativo e l'asta ruota in senso orario, tendendo a tornare alla posizione d'equilibrio; analogamente, per angoli negativi ha verso positivo, l'asta ruota in senso antiorario e torna sempre verso la posizione di equilibrio. La componente lungo l'asse $z$ sarà quindi:

$\tau _{z}=-{\frac {l}{2}}\,Mg\,\sin \theta$

Applichiamo ora la legge cardinale:

$\tau _{z}={\frac {dJ}{dt}}=I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\,\Rightarrow \,I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {l}{2}}\,Mg\,\sin \theta$

Otteniamo l'espressione:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {l\,Mg}{2\,I}}\,\sin \theta =0$

Per angoli piccoli approssimiamo $\sin \theta \approx \theta$, ottenendo l'equazione differenziale di un oscillatore armonico:

${\ddot {\theta }}+{\frac {l\,Mg}{2\,I}}\,\theta =0$

La pulsazione del moto sarà $\omega ={\sqrt {\frac {l\,Mg}{2\,I}}}$, mentre la soluzione del problema è data dall'equazione:

$\theta (t)=\theta _{MAX}\,\sin(\omega t+\varphi )$

Ricordiamo che il momento d'inerzia di una sbarretta ruotante attorno a un asse passante per l'estremo è $I={\frac {Ml^{2}}{3}}$; sostituendolo nell'espressione della pulsazione:

$\omega ={\sqrt {{\frac {l}{2}}\,{\frac {M}{Ml^{2}}}\,3g}}={\sqrt {{\frac {3}{2}}\,{\frac {g}{l}}}}$

Che è molto simile a quella ottenuta per il pendolo semplice, che ricordiamo essere $\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}$.

Pendolo fisico a cono

Come per il pendolo semplice, anche per il pendolo fisco può esserci il caso in cui l'oggetto non oscilli bensì ruoti attorno a una quota fissa, mantenendo l'angolo $\theta$ con la verticale costante. Le forze agenti restano sempre ${\vec {R}}$, reazione vincolare, e $M{\vec {g}}$, forza peso, applicata al centro della sbarretta. Come polo scegliamo anche questa volta il punto di vincolo $O$, per cui la reazione vincolare non contribuisce al momento in questo caso. Quindi sarà:

${\vec {\tau }}^{ext}={\vec {r}}\wedge M{\vec {g}}$

In modulo avremo che $\tau ={\frac {l}{2}}Mg\sin \theta$. Per il momento angolare, invece:

${\vec {J}}=\int {\vec {r}}\wedge dm{\vec {v}}\,\Rightarrow \,|{\vec {J}}|=\int _{0}^{l}rdmv=\lambda \int _{0}^{l}rdrv$

Però, come già sappiamo, questo procedimento porta a

$|{\vec {J}}|=I\omega =\left({\frac {Ml^{2}}{3}}\sin \theta \right)\omega$

La componente verticale del momento angolare sarà data da $J_{z}=J\sin \theta ={\frac {Ml^{2}}{3}}\sin ^{2}\theta \omega$

Il momento delle forze esterne, in modulo, è uguale a $|{\vec {\tau }}|=\left|{\frac {d{\vec {J}}}{dt}}\right|=J_{z}\,\omega ={\frac {Ml^{2}}{3}}\sin ^{2}\theta \omega ^{2}$; uguagliandolo al momento sopra calcolato:

${\frac {Ml^{2}}{3}}\sin ^{2}\theta \omega ^{2}={\frac {l}{2}}Mg\sin \theta \,\Rightarrow \,\omega ^{2}={\frac {3}{2}}{\frac {g}{l\sin \theta }}$