Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Momento d'inerzia

Abbiamo introdotto nello scorso modulo il momento di inerzia.

Definizione

Si definisce momento d'inerzia di un corpo rigido l'integrale:

$I=\int r^{2}dm$

Dove $r$ è la distanza dall'asse di rotazione dell'elemento infinitesimo di massa $dm$.

Il momento di inerzia varia a seconda della forma del corpo rigido e della sua massa. In questo modulo calcoleremo i momenti di inerzia di solidi noti. Ricordiamo che ci sono tre modi per esprimere $dm$, in base al tipo di densità:

$dm\,\Rightarrow {\begin{cases}\rho \,dV=\rho (x,\,y,\,z)dx\,dy\,dz\quad &{\mbox{volumica}}\\\sigma \,dS=\sigma (x,\,y)dx\,dy\quad &{\mbox{superficiale}}\\\lambda \,dl=\lambda (x)dx\quad &{\mbox{lineare}}\end{cases}}$

Ricordiamo infine che, per i corpi rigidi formati da più forme, il momento d'inerzia risulta essere additivo; per fare un esempio, il momento di inerzia del pendolo di un orologio a pendolo sarà la somma del momento della sbarretta e del momento del disco.

Momento d'inerzia di un anello

Prendiamo un anello di raggio $R$ e massa $M$, che ruota attorno all'asse ortogonale che passa per il suo centro. Avremo che tutti i punti distano dall'asse $Rh=R$; possiamo scrivere $dm=\lambda dl$, dove $\lambda ={\frac {M}{2\pi R}}$, ovvero la massa totale diviso la lunghezza totale dell'anello. Il momento di inerzia per un asse passante per il centro, quindi, sarà:

${\begin{aligned}I_{c}=&\int h^{2}dm=\int h^{2}\lambda dl=\int R^{2}\,{\frac {M}{2\pi R}}dl={\frac {MR}{2\pi }}\int dl=\\&{\frac {MR}{2\pi }}\cdot 2\pi R=MR^{2}\end{aligned}}$

Un'osservazione importante è che questo risultato coincide con il momento di inerzia di un cilindro cavo; in questo caso potremmo scrivere $dm=\sigma dS=\sigma \,Ldl={\frac {M}{2\pi RL}}\,Ldl={\frac {M}{2\pi R}}dl$, che è esattamente uguale al caso dell'anello.

Momento d'inerzia di un disco omogeneo

Prendiamo un disco omogeneo di raggio $R$ e massa $M$ ruotante attorno a un asse ortogonale passante per il suo centro. La densità di massa superficiale sarà $\sigma ={\frac {M}{\pi R^{2}}}$. Per calcolare il momento di inerzia del disco, lo dividiamo in tanti piccoli anellini concentrici, i cui raggi $r$ vanno da 0 a $R$. Allora avremo che $h=r$, $dm=\sigma dS$ e $dS=2\pi rdr$. Calcoliamo il momento:

${\begin{aligned}I_{c}=&\int _{0}^{R}h^{2}dm=\int _{0}^{R}h^{2}\sigma dS=\left(\int _{0}^{R}r^{2}(2\pi r)dr\right){\frac {M}{\pi R^{2}}}=\\&{\frac {M}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}2\pi r^{3}dr=2{\frac {M}{R^{2}}}\int _{0}^{R}r^{3}dr={\frac {2M}{R^{2}}}\,{\frac {R^{4}}{4}}={\frac {MR^{2}}{2}}\end{aligned}}$

Abbiamo fin da subito portato fuori la densità $\sigma$ poiché non influiva nel calcolo dell'integrale. Notiamo che lo stesso risultato lo si ottiene per un cilindro omogeneo pieno. In questo caso potremmo scrivere $dm=\rho dV=\rho L2\pi rdr$, dove $\rho ={\frac {M}{\pi R^{2}L}}$. Quindi l'infinitesimo di massa $dm={\frac {M}{\pi R^{2}L}}\,L2\pi rdr={\frac {2M}{R}}rdr$, esattamente come il caso appena analizzato.

Momento d'inerzia di una sbarretta

Prendiamo una sbarretta omogenea, di cui larghezza e spessore sono trascurabili (ovvero risulta notevole solo la lunghezza) che ruota attorno a un asse passante per il suo centro. In questo caso $dm=\lambda dl$, e $dl=dx$ semplicemente; la densità $\lambda ={\frac {M}{L}}$. La distanza dall'asse $h=|x|$, per evitare problemi di segno. Avremo quindi:

$I_{c}=\int h^{2}dm=\int h^{2}\lambda dl={\frac {M}{L}}\int _{-{\frac {L}{2}}}^{\frac {L}{2}}x^{2}dx={\frac {M}{L}}{\frac {x^{3}}{3}}|_{-{\frac {L}{2}}}^{\frac {L}{2}}={\frac {ML^{2}}{12}}$

Momento d'inerzia di un disco bucato

Prendiamo un disco omogeneo, come il caso analizzato prima, solo che questo presenta un buco al suo centro. Chiameremo $r_{1}$ il raggio del buco, mentre $r_{2}$ sarà la distanza tra la circonferenza esterna del disco e quella del buco. Notiamo che $r_{1}+r_{2}=r$, ovvero la loro somma dà il raggio del disco.

In questo caso, avremo $\sigma ={\frac {M}{\pi (r_{2}^{2}-r_{1}^{2})}}$, poi $dS=2\pi rdr$ e la distanza dall'asse, come prima, $h=r$. Il metodo utilizzato è lo stesso precedente, ovvero dividere in anellini il disco bucato. Il momento di inerzia sarà:

${\begin{aligned}I_{c}=&\int h^{2}dm=\int h^{2}\sigma dS=\sigma \int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\,2\pi rdr=2\pi \sigma \int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}dr=\\&2\pi \cdot {\frac {M}{\pi (r_{2}^{2}-r_{1}^{2})}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}dr={\frac {2M}{(r_{2}^{2}-r_{1}^{2})}}\cdot {\frac {r^{4}}{4}}|_{r_{1}}^{r_{2}}={\frac {M}{2}}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})\end{aligned}}$

Momento d'inerzia di una sfera

In questo caso, prendiamo una sfera omogenea ruotante attorno a un qualsiasi asse passante per il suo centro. La sua massa $M$ e raggio $R$. L'infinitesimo $dm=\rho dV$, dove $\rho ={\frac {3}{4}}{\frac {M}{\pi R^{3}}}$.

Per calcolare il momento d'inerzia della sfera, la dividiamo in tanti dischi infinitesimi a posizione $x$. Il loro raggio sarà: ${\bar {R}}=R^{2}-x^{2}$ e spessore $dx$.

A seguire, ogni dischetto viene diviso in tanti piccolini anellini, allo stesso modo del calcolo del momento di inerzia di un disco. Passiamo alla dimostrazione.

${\begin{aligned}I_{c}=&\rho \int h^{2}dV=\rho \int _{-R}^{R}dx\,\int _{0}^{\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right)}r^{2}(2\pi r)dr=\\=&\rho \int _{-R}^{R}dx\,2\pi {\frac {(R^{2}-x^{2})^{2}}{4}}={\frac {\pi \rho }{2}}\int _{-R}^{R}(R^{4}-2x^{2}R^{2}+x^{4})dx=\\=&{\frac {\pi \rho }{2}}\left[\int _{-R}^{R}R^{4}dx-\int _{-R}^{R}2x^{2}R^{2}dx+\int _{-R}^{R}x^{4}dx\right]=\\=&{\frac {\pi \rho }{2}}\left[2R^{5}-{\frac {4}{3}}R^{5}+{\frac {2}{3}}R^{5}\right]={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {3}{4}}{\frac {M}{\pi R^{3}}}\,\left({\frac {16}{15}}\right)R^{5}=\\=&{\frac {2}{5}}MR^{2}\end{aligned}}$

Teorema di Huygens-Steiner

Concludiamo il modulo con un teorema di importanza fondamentale. I momenti di inerzia qui sopra calcolati sono rispetto al centro di massa, ovvero i corpi ruotano attorno a un asse che passa nel loro baricentro. Per definizione di momento d'inerzia, però, cambiando l'asse di rotazione, cambia anche il valore di $I$. Per questo motivo, poiché spesso si ha a che fare con corpi che ruotano attorno a punti diversi dal centro di massa, è opportuno dimostrare il teorema di Huygens-Steiner, che afferma:

Il momento d'inerzia di un corpo rigido ruotante attorno a un asse qualsiasi è pari a:

$I_{a}=I_{c}+Md^{2}$

Dove $I_{c}$ è il momento d'inerzia del corpo rispetto al centro di massa e $d$ è invece la distanza tra gli assi.

Dimostrazione

Prendiamo, per semplicità, un sistema discreto; di questo analizzo un generico punto $P_{i}$. Disegno il piano passante per $P_{i}$ che sia perpendicolare ai due assi. I punti di intersezione tra piano e assi sono $A_{i}$ e $C_{i}$, dove ricordiamo che l'asse $a$ è l'asse generico, mentre quello passante per il centro è $c$. Avremo a questo punto:

${\begin{aligned}&h_{i}={\vec {C_{i}P_{i}}}\\&d={\vec {C_{i}A_{i}}}\\&h_{i}^{'}={\vec {A_{i}P_{i}}}\end{aligned}}$

La relazione che lega le tre distanze qui sopra è: ${\vec {h_{i}}}^{'}={\vec {h_{i}}}+{\vec {d}}$. Inoltre, ${\vec {h_{i}}}^{'}$ è la distanza del punto $P_{i}$ dall'asse $a$, ovvero quella che ci serve per calcolare il momento d'inerzia:

${\begin{aligned}I_{a}=&\sum _{i}m_{i}(h_{i}')^{2}=\sum _{i}m_{i}<{\vec {h_{i}}}'\cdot {\vec {h_{i}}}'>=\sum _{i}m_{i}({\vec {h_{i}}}+{\vec {d}})({\vec {h_{i}}}+{\vec {d}})=\\=&\sum _{i}m_{i}(h_{i})^{2}+2d\sum _{i}m_{i}h_{i}+d^{2}\sum _{i}m_{i}=\\I_{a}=&I_{c}+Md^{2}\end{aligned}}$

Nell'ultimo passaggio, l'espressione $\sum _{i}m_{i}h_{i}$ viene nulla, poiché essa rappresenta la distanza del centro di massa dall'asse $c$, ma il centro di massa appartiene all'asse $c$. È così dimostrato il teorema.

Tabella dei momenti d'inerzia

Solidi	Momenti di inerzia rispetto al centro di massa	Momenti di inerzia rispetto a un estremo
Anello o cilindro cavo	$I_{c}=MR^{2}$	$I_{a}=2MR^{2}$
Disco o cilindro pieno	$I_{c}={\frac {MR^{2}}{2}}$	$I_{a}={\frac {3}{2}}MR^{2}$
Sbarretta	$I_{c}={\frac {ML^{2}}{12}}$	$I_{a}={\frac {ML^{2}}{3}}$
Disco o cilindro bucato	$I_{c}={\frac {M}{2}}(r_{2}^{2}+r_{1}^{2})$	$I_{a}={\frac {M}{2}}(3r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+3r_{2}^{2})$
Sfera	$I_{c}={\frac {2}{5}}MR^{2}$	$I_{a}={\frac {7}{5}}MR^{2}$