Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Tutti i connettivi
Date due sentenze, abbiamo quattro combinazioni. Poiché ad ogni combinazione può corrispondere un valore di Vero o Falso, tutte le possibili combinazioni sono sedici. Quindi esistono 16 possibili connettivi per sentenze composte da due frasi.
Costruiamo la tavola di verità per tutti i connettivi possibili.
| A | B | 00 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Vero | Vero | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T |
| Vero | Falso | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T |
| Falso | Vero | F | F | F | F | T | T | T | T | F | F | F | F | T | T | T | T |
| Falso | Falso | F | F | F | F | F | F | F | F | T | T | T | T | T | T | T | T |
Questo è l'elenco completo. Possiamo notarne alcuni che già conosciamo, o comunque interessanti.
- 01: è la congiunzione AND ().
- 07: è la disgiunzione OR ().
- 13: è l'implicazione ().
- 09: è l'equivalenza o doppia implicazione (), cioè .
- 00: è la costante Falso ().
- 15: è la costante Vero ().
Altri connettivi interessanti:
- 14: NAND (), cioè la negazione della congiunzione, chiamato anche connettivo di Sheffer.
- 06: XOR (), disgiunzione esclusiva, vera se e solo se una e una sola delle due sentenze è vera.
- 08: NOR (), la negazione della disgiunzione.
Il connettivo NAND è funzionalmente completo, cioè da questo solo connettivo è possibile derivare tutti gli altri.
Potete provare con le tavole di verità che questo sia effettivamente vero. Provate anche a cercare altri connettivi che hanno la stessa proprietà.