I tableaux semantici sono stati introdotti da Jaakko Hintikka ed Evert Willem Beth alla fine degli anni '50, poi ripresi da Raymond Smullyan in First order logic e rielaborati successivamente da Melvin Fitting e Reiner Hähnle.
Prima di esporre le regole del calcolo, è necessario a tal fine definire il concetto di formula segnata; una formula segnata è una proposizione a cui è assegnato un valore di verità, cioè viene assunta come vera o falsa. Per fare ciò, si utilizzano i simboli e : essi fungono da operatori, assegnando alle formule un valore booleano, rispettivamente vero e falso. Quest'operazione è detta valutazione booleana.
Diamo ora una definizione formale:
Definizione
e sono detti simboli divalutazione;
se è una formula proposizionale, allora e sono formule segnate.
Lo schema proposto da Smullyan, per la scomposizione delle formule del calcolo proposizionale, suddivide esse in due categorie. Secondo questo schema, una formula del calcolo proposizionale, che non sia un atomo, appartiene a una delle due seguenti categorie:
α-formula: formula proposizionale congiuntiva, la cui soddisfacibilità equivale alla soddisfacibilità di entrambe le sue componenti;
β-formula: formula proposizionale disgiuntiva, la cui soddisfacibilità equivale alla soddisfacibilità di almeno una tra le sue due componenti.
In altre parole, lo schema raggruppa in due categorie tutte le formule del calcolo proposizionale del tipo e , con : quelle che agiscono congiuntivamente e quelle che agiscono disgiuntivamente.
La scomposizione di Smullyan è usata per definire le corrispondenti regole per i tableaux, o regole di espansione dei tableaux. Per ogni connettivo logico è definita la corrispondente -regola e -regola, cioè la regola che assegna i valori di verità agli operandi, in base al connettivo e al valore booleano della corrispondente formula; la sigla a destra della riga sta a indicare la rispettiva regola. La virgola va letta come un "and", mentre la barra verticale come un "or".
S è l'insieme di formule segnate precedentemente sviluppate, cioè la parte di formula congiuntiva da lasciare inalterata.
Dimostrare la validità delle regole per i tableaux è semplicissimo, perché esse fanno direttamente riferimento alle tavole di verità dei connettivi. Si prenda, ad esempio, la congiunzione: essa è vera se e solo se entrambi gli operandi sono veri; perciò, nella -regola dell'and, entrambi gli operandi vengono segnati veri in maniera congiunta; mentre, dato che essa è falsa se e solo se almeno uno degli operandi è falso, nella -regola entrambi gli operandi vengono segnati falsi in maniera disgiunta. Le regole per gli altri connettivi vengono dedotte nel medesimo modo.
Supponiamo che sia un insieme finito di formule segnate.
Tableau
Un tableau è un albero binario in cui ogni nodo è etichettato da un insieme di formule segnate.
Dato , l'albero binario costituito dal solo nodo radice etichettato da stesso è detto tableau iniziale per e denotato .
Passo di espansione
Dato , se è un tableau per , e è un nodo foglia di , possiamo costruire un tableau per attraverso un passo di espansione.
si ottiene applicando le regole di espansione dei tableaux ad una delle formule segnate del nodo foglia , in particolare:
nel caso la regola sia congiuntiva, si aggiunge come figlio di un nodo contenente l'espansione che si ottiene applicando la suddetta regola;
nel caso la regola sia disgiuntiva, si aggiungono come figli di due nodi contenenti le rispettive espansioni disgiunte.
Il tableau si dice ottenuto da con un passo di espansione.
Tableau ben costruito
Dati due tableaux e per , è un'espansione coerente di sse è stato ottenuto da attraverso un numero finito di passi di espansione.
Un tableau per si dice ben costruito sse è stato ottenuto per espansioni coerenti dal tableau radice e nessun nodo è stato oggetto di più di un'espansione coerente.
Tableau completo
Un tableau per è completo sse è ben costruito e non può più essere oggetto di espansioni coerenti.
Il nodo di un tableau può essere visto come la congiunzione delle formule che appaiono in esso (negando le formule segnate con ) e l'intero tableau come una disgiunzione di congiunzioni.
Chiusura
Un ramo di un tableau si dice chiuso sse, per qualche formula , sia che occorrono nella congiunzione che etichetta il nodo del ramo, oppure se in essa occorre o . Altrimenti, il ramo è detto aperto. La coppia e si chiama coppia complementare.
Un tableau è chiuso sse tutti i suoi rami sono chiusi, altrimenti è aperto.
Tableau-refutazione
Una tableau-refutazione di una formula è un tableau chiuso, la cui radice è etichettata da .
Una tableau-refutazione di una formula da , insieme finito di formule, è un tableau chiuso, la cui radice è etichettata da .
Tableau-dimostrazione
Una tableau-dimostrazione di una formula è un tableau chiuso, la cui radice è etichettata da . è un teorema del sistema di calcolo dei tableaux sse ha una tableau-dimostrazione. In questo caso scriviamo
Tableau-deduzione
Una tableau-deduzione di una formula da , insieme finito di formule, è un tableau chiuso, la cui radice è etichettata da . In questo caso scriviamo
Il sistema dei tableaux è corretto e completo. Prima di enunciare la correttezza e completezza, mostriamo la semantica che servirà a darne la dimostrazione.
Un insieme di formule segnate è soddisfacibile sse esiste un modello tale che . Un tableau è soddisfacibile sse almeno uno dei suoi nodi è soddisfacibile.
Supponiamo per assurdo che sia chiuso ma soddisfacibile. Allora , per qualche modello . Siccome è chiuso, abbiamo che per qualche formula , oppure , oppure . Se , allora e , contraddizione; se , allora , contraddizione con la definizione di modello; se , allora , contraddizione con la definizione di modello.
Il lemma si dimostra per induzione strutturale sulle regole di espansione. Consideriamo solo il caso della -regola della disgiunzione. Sia una formula; se è il tableau iniziale per , sse sse ( oppure ), per qualche modello . Se è il tableau ottenuto espandendo tramite l'applicazione della -regola della disgiunzione, è , e sse ( oppure ) sse ( oppure ); dunque sse ( oppure ). Di conseguenza, soddisfa almeno un ramo di , e quindi sse .
Dato un insieme di formule segnate, esso è soddisfacibile sse ogni suo tableau completo è aperto. Inoltre, se un tableau per è completo, allora ad ogni suo nodo foglia aperto corrisponde almeno un modello per , cioè, se è una foglia aperta di , allora l'insieme di simboli proposizionali , costituito dai simboli proposizionali di segnati veri, e ogni suo sovrainsieme , dove sono simboli proposizionali che non compaiono in , è un modello per , ovvero e .
Per la conservazione dell'equivalenza, per ogni modello esiste un nodo foglia di tale che sse . sse e . Dato che è completo, ogni nodo foglia aperto è costituito da soli simboli proposizionali segnati, dunque è possibile costruire i modelli che lo soddisfano a partire dalle sue formule segnate, e si può vedere facilmente che questi modelli sono esattamente (dato che, per ogni atomo , sse ) e ogni suo sovrainsieme , dove sono simboli proposizionali che non compaiono segnati in (altrimenti potremmo avere che , per qualche ). Dunque, è soddisfacibile sse ogni suo tableau completo ha almeno un modello, cioè se è aperto.
A questo punto possiamo illustrare il teorema di correttezza e completezza debole, che riguarda solo le tautologie.
Per la correttezza, dobbiamo mostrare che se ha una tableau-dimostrazione, allora è una tautologia. Ma, per definizione, una tableau-dimostrazione per è un tableau completo e chiuso per , quindi, per il teorema dei modelli, è insoddisfacibile, dunque non esiste alcun modello tale che , perciò è una tautologia.
Per la completezza, dobbiamo mostrare che se è una tautologia, allora ha una tableau-dimostrazione. Ma se è una tautologia, allora non esiste alcun modello tale che , perciò è insoddisfacibile, quindi, per il teorema dei modelli, esiste un tableau chiuso per , e sapendo che un tableau chiuso per coincide con una tableau-dimostrazione per , allora ha una tableau-dimostrazione, quindi è un teorema del sistema di calcolo dei tableaux.
Per definizione, sse esiste una tableau-deduzione di da . è un tableau chiuso. Per il teorema dei modelli, abbiamo che è chiuso sse è insoddisfacibile, dunque, per il lemma della verità, è insoddisfacibile sse è insoddisfacibile.
Dato che , allora . Dal teorema di compattezza della soddisfacibilità, sapendo che , si deduce che è insoddisfacibile sse è insoddisfacibile e, per il lemma della verità, è insoddisfacibile sse è insoddisfacibile; quindi, per il teorema dei modelli, abbiamo che è insoddisfacibile sse ha un tableau chiuso sse , quindi sse .
È semplice dimostrare come il tempo impiegato per costruire un tableau per una formula sia esponenziale sulla lunghezza di . Infatti, supponendo che sia la lunghezza di , l'altezza dell'albero sarà minore o uguale , e siccome ad ogni livello il numero dei nodi può al massimo raddoppiare rispetto al livello precedente, ciò significa che l'ultimo livello avrà al più nodi.
Definizione
