Logica matematica/Intermezzo Euclide

La Geometria Assiomatica di Euclide

Per approfondire, vedi Elementi di Euclide.

Euclide, nei suoi monumentali "Elementi", ha costruito il primo sistema assiomatico della storia, derivando l' intera geometria piana da 5 postulati.

I libri iniziano con 23 definizioni (come punto, linea, superficie), seguite da 5 postulati e 5 nozioni comuni, che oggi sarebbero indicati collettivamente come assiomi.

I cinque assiomi

Dati due punti esiste un segmento retto che li unisce.
Un segmento retto può essere esteso in un linea retta.
Dato un segmento retto, esiste un cerchio che ha come raggio il segmento e come centro uno dei due punti finali del segmento.
Tutti gli angoli retti sono congruenti.
Se due linee intersecano una terza con angoli interni la cui somma sia minore di due angoli retti, allora le due linee devono intersecarsi.

Il quinto postulato

I primi quattro postulati sono evidenti e definiscono proprietà o costruzioni locali, il quinto postulato invece definisce una proprietà che può non essere locale e coinvolgere anche l' infinito. Proprio per questo sin dall' antichità era osservato con sospetto e lo stesso Euclide lo ha usato con parsimonia.

Molti matematici pensavano che non fosse indipendente e che potesse essere un teorema dimostrabile utilizzando gli altri quattro. Per millenni i tentativi di dimostrazione si sono susseguiti senza successo.

Saccheri

Giovanni Girolamo Saccheri, un matematico e logico gesuita della fine del 1600, è la persona che più si è avvicinata alla soluzione di questo problema prima dello sviluppo delle geometrie non-euclidee.

Saccheri era profondamente convinto che il quinto postulato fosse un teorema derivabile dagli altri quattro e ha tentato di dimostrarlo "per assurdo". Ha quindi sviluppato una serie di teoremi cercando delle contraddizioni nella negazione del quinto postulato.

La geometria ellittica (dove le parallele hanno angoli interni maggiori di 180 gradi) forniva quasi subito una contraddizione con il secondo postulato, cioè le linee rette non possono essere infinite, molto più dura invece era scoprire una contraddizione nella geometria iperbolica (angoli interni minori di 180 gradi). Alla fine Saccheri non trovò contraddizioni, ma cose cosi "ripugnanti per la natura della retta" da ritenere di essere riuscito nel suo intento.

Convinto di aver dimostrato la correttezza della geometria euclidea non si era reso conto di aver sviluppato la geometria non-euclidea.

Le geometrie non Euclidee

Nel 1800 più autori hanno scoperto in maniera indipendente che l' assioma delle parallele poteva essere negato, creando così delle nuove geometrie. La geometria Euclidea ha come modello il piano, le geometrie non euclidee hanno degli spazi curvati, con curvatura positiva (geometria ellittica) o negativa (geometria iperbolica).

Queste geometrie sono apparentemente innaturali, ma verso la fine del secolo i fisici hanno scoperto che lo spazio è curvo. La relatività di Einstein abbandona definitivamente la geometria Euclidea come sistema adatto a descrivere la realtà fisica.

Lobachevsky, Boylai, Gauss

La prima geometria non euclidea è stata descritta dal matematico russo Lobachevsky, che ha pubblicato i fondamenti della geometria iperbolica nel 1829.

In quelli stessi anni Boylai, un matematico ungherese, ha svolto gli stessi studi che però sono stati pubblicati solo nel 1832 come appendice di un volume scritto dal padre. Gauss, leggendo queste note, scrisse a Boylai dicendo che aveva sviluppato le stesse idee alcuni anni prima, ma che non le aveva pubblicate.

Riemann

Bernhard Riemann, con una famosa nota del 1854, ha completato il lavoro di questi pionieri e sistematizzato anche la geometria ellittica.

Sorpresa finale: l' assioma di Pasch

Nel 1882 Pasch ha scoperto che alcuni teoremi di Euclide non potevano essere dimostrati utilizzando i soli 5 postulati! Nonostante per 2000 anni il fior fiore dei matematici avesse osservato ed analizzato gli assiomi, nessuno si era ancora accorto che qualcosa non era stato espresso ed era implicitamente utilizzato nelle dimostrazioni.

In particolare il piano era immaginato continuo, nessun assioma escludeva per esempio che i punti avessero solo coordinate espresse da numeri razionali.