Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Esercizi su tavole di verità

Calcolare con le tavole di verità le seguenti proposizioni:

(A ∨ B) → A

Soluzione es n°1

A	B	A ∨ B	(A ∨ B ) → A
Vero	Vero	T	T
Vero	Falso	T	T
Falso	Vero	T	F
Falso	Falso	F	T

Come possiamo notare dalla colonna finale l' espressione non è sempre vera, cioè non è una tautologia.

L' espressione viene soddifatta (ha valore Vero) nei primi due e nell' ultimo caso, ma il terzo caso (A Falso e B Vero) porta ad avere come risultato globale il valore di Falso.

In linguaggio naturale: A o B non sempre implicano A, infatti A o B può essere vera con A falsa.

(A → A) → (B → C)

Soluzione es n°2

A	B	C	A → A	B → C	(A → A) → (B → C)
Vero	Vero	Vero	T	T	T
Vero	Vero	Falso	T	F	F
Vero	Falso	Vero	T	T	T
Vero	Falso	Falso	T	T	T
Falso	Vero	Vero	T	T	T
Falso	Vero	Falso	T	F	F
Falso	Falso	Vero	T	T	T
Falso	Falso	Falso	T	T	T

Anche questa sentenza non è sempre vera. Dalla tabella di verità possiamo notare che A implica sempre A (abbiamo sempre T nella colonna corrispondente), ma questo non è sufficiente ad implicare che B implichi C.

A → (A ∧ B)

Soluzione es n°3

A	B	A ∧ B	A → (A ∧ B)
Vero	Vero	T	T
Vero	Falso	F	F
Falso	Vero	F	T
Falso	Falso	F	T

A non è sufficiente ad implicare A e B.

(A → B) → ($\neg$A → $\neg$B)

Soluzione es n°4

A	B	A → B	$\neg$A → $\neg$B	(A → B) → ($\neg$A → $\neg$B)
Vero	Vero	T	T	T
Vero	Falso	F	T	T
Falso	Vero	T	F	F
Falso	Falso	T	T	T

Questa sentenza è un ragionamento errato che spesso si sente fare nei discorsi di ogni giorno: se A implica B allora non A implica non B. Da questa tabella di verità si vede che non è sempre vero (anche se spesso è vero).

La regola corretta che coinvolge negazione ed implicazione (contrapposizione) dice che se A implica B allora non B implica non A (verrà dimostrata con un esercizio successivo).

Provare con le tavole di verità i seguenti teoremi:

(A → B) → ($\neg$B → $\neg$A) regola di contrapposizione.

Soluzione es n°5

A	B	A → B	$\neg$B → $\neg$A	(A → B) → ($\neg$B → $\neg$A)
Vero	Vero	T	T	T
Vero	Falso	F	F	T
Falso	Vero	T	T	T
Falso	Falso	T	T	T

Questa è una tautologia. La regola di contrapposiozione che lega implicazione e negazione ci dice quindi che se A implica B allora non B implica non A.

$\neg$(A ∨ B) ↔ ($\neg$A ∧ $\neg$B) deMorgan per la disgiunzione.

Soluzione es n°6

A	B	$\neg$(A ∨ B)	$\neg$A ∧ $\neg$B	$\neg$(A ∨ B) ↔ ($\neg$A ∧ $\neg$B)
Vero	Vero	F	F	T
Vero	Falso	F	F	T
Falso	Vero	F	F	T
Falso	Falso	T	T	T

$\neg$(A ∧ B) ↔ ($\neg$A ∨ $\neg$B) deMorgan per la congiunzione.

A	B	$\urcorner (A)$	$\urcorner (B)$	$(A\land B)$	$\urcorner (A\land B)$	$(\urcorner A\lor \urcorner B)$	$\urcorner (A\land B)\Longleftrightarrow (\urcorner A\lor \urcorner B)$
Vero	Vero	Falso	Falso	Vero	Falso	Falso	Vero
Vero	Falso	Falso	Vero	Falso	Vero	Vero	Vero
Falso	Vero	Vero	Falso	Falso	Vero	Vero	Vero
Falso	Falso	Vero	Vero	Falso	Vero	Vero	Vero

((A → B) ∧ (C → D)) → ((A ∧ C) → (B ∧ D)) preclarum theorema.

A → $\neg$$\neg$A

Soluzione es n°9

A	$\neg$A	$\neg \neg$A	A → $\neg \neg$A
Vero	F	T	T
Falso	T	F	T

La formula è una tautologia.