Logica matematica/Insiemi
Le esposizioni della logica differiscono riguardo alla quantità di teoria degli insiemi che usano. Alcune di esse fanno pesante uso di tale teoria, ma benché la maggior parte di tali esposizioni non ne sia pesantemente influenzata, è quasi impossibile non incontrarla almeno in minima parte.
Non sarà un punto focale di questo libro, ma spesso verrà usato un vocabolario minimo di tale teoria. Questa sezione introduce notazione e vocabolario usati.
Il concetto di "insieme"
modificaIntuitivamente, la nozione di insieme può essere pensata come quel processo di astrazione mediante il quale associamo degli elementi distinti in un unico oggetto, detto insieme (o classe). Tale descrizione può essere considerata vaga e imprecisa, ma in vista degli scopi di questo libro, possiamo attenerci a questo punto di vista intuitivo. Non è richiesta alcuna particolare omogeneità tra gli elementi di un insieme: è possibile associare nello stesso insieme un numero qualsiasi di elementi, di qualsivoglia genere. La definizione di un insieme potrà avvenire attraverso l'elencazione dei suoi elementi, oppure specificando una proprietà che i medesimi devono soddisfare.
Esempio 1.1
È possibile parlare di un insieme a cui appartengono il nome del monte più alto d'Italia, la terza lettera dell'alfabeto italiano e le soluzioni dell'equazione . Tale insieme ha elementi: Monte Bianco, C e -1. È anche possibile parlare dell'insieme dei "numeri reali maggiori di 0".
Come si può intuire, il primo modo, più diretto, non è in grado di descrivere il secondo insieme, perché non possiamo in alcun modo elencare i suoi elementi, mentre il secondo richiede che la proprietà (il predicato "essere maggiore di") sia formulata su un insieme predefinito; in questo caso, quello dei numeri reali. Comunque sia definita, affinché una collezione di elementi possa essere considerata come un insieme vero e proprio, deve sempre essere possibile stabilire se un qualsiasi elemento appartiene o no a essa.
