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Rimbalzo a catena

Questo esperimento è visibile su YouTube nel canale di Physics Girl: "stacked ball drop".

Si prende un pallone da basket e uno da pallavolo, ben gonfi. Si fa notare che questi palloni rimbalzano fino quasi a raggiungere la quota di partenza, e che, come sottolineato da  Galileo, tutti i gravi cadono con la stessa accelerazione, ovvero che i due palloni, se lasciati cadere dalla stessa altezza, arrivano insieme al suolo con la stessa velocità.

Si dispongono quindi impilati, tenendo quello più piccolo e leggero sopra quello pesante da basket. Fino a che altezza arriverà il pallone superiore? La stessa di prima? Il doppio? di più?

Con grande sorpresa il pubblico ha visto che il pallone da pallavolo è arrivato a 3-4 metri di altezza o anche di più. Perché?

Fig. 1. Calcolo dell’urto tra due palle nell’approssimazione di urto perfettamente elastico e masse infinitamente diverse.

Per ottenere la risposta in maniera semplice (Figura 1), supponiamo che i palloni siano corpi perfettamente elastici, e che la massa di quello più peso sia infinitamente più grande di quella dell’altro.

Bisogna poi ricordarsi la relazione che viene dalla conservazione dell’energia tra altezza di partenza e velocità finale. L’importante è ricordare che le altezze estremali  sono proporzionali al quadrato della velocità al suolo. Si fa vedere che entrambe le palle percorrono la stessa distanza prima di rimbalzare.

Entrambi i palloni arrivano a terra con la stessa velocità $-v$, ma mentre quello di sotto rimbalza contro il suolo, che è fermo, e inverte la sua velocità, quello di sopra impatta con il primo pallone. La sua velocità relativa rispetto a questo è $-2v$, e quindi riparte con velocità $2v$ verso l’alto nel sistema di riferimento del primo pallone. Dato che questo viaggiava a velocità $v$ rispetto al suolo, il secondo pallone viaggia a velocità $3v$ nel sistema di riferimento fisso.

Quindi arriverebbe, se tutto fosse ideale, a un’altezza uguale a ... $9h_{0}$! Se facciamo partire i due palloni da un’altezza di 1 metro e mezzo, possiamo facilmente raggiungere il soffitto (magari sfasciando una lampadario, con un notevole impatto scenico).

Se mettiamo una terza pallina (per esempio da tennis) in cima al secondo pallone, in principio potremmo arrivare a... $49h_{0}$!

Dal punto di vista pratico, non è facile tenere le palle in equilibrio prima di lasciarle cadere. Conviene preparare dei cerchietti di plastica da inserire tra le palle o modellare degli appoggi con della plastilina o altro materiale.

Fig. 2. Schema degli "strati a cipolla" di una stella massiccia nelle ultime fasi di vita. (Non in scala).

Questa catena di rimbalzi è all'origine delle esplosioni di supernova: in una stella gli strati esterno sono in equilibrio tra forza di gravità e pressione di radiazione proveniente dal nucleo, dove è in corso la fusione degli elementi. Via via che si producono elementi più pesanti la stella diventa simile a una cipolla, con strati sempre più densi via via che si va verso l'interno.

Quando la produzione di energia cessa, questi strati cadono verso il nucleo, e rimbalzano a causa della repulsione di Fermi e della repulsione elettrostatica. Gli strati più esterni vengono quindi accelerati da un meccanismo simile a quello dei rimbalzi a catena.

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Concetti fisici:

• Caduta dei gravi
• Urti elastici
• Conservazione dell'energia

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