Fisica classica/Strumenti ottici

Occhio Umano

Occhio umano; 8 cristallino (lente convergente), 13 retina, 14 umor vitreo, 2 muscoli ciliari

Dal punto di vista dell'ottica l'occhio umano è una lente convergente (il cristallino n.8 nella figura) che focalizza i raggi sulla retina (n.13 nella figura). La distanza q in questo caso è fissa (distanza tra il cristallino e la retina (attraverso l'umor vitreo è fissa), mentre la distanza focale è variabile in quanto, se l'occhio è sano in condizione di riposo le immagini all'infinito convergono sulla retina:

${\frac {1}{f_{\infty }}}={\frac {1}{q}}$

Mentre per focalizzare oggetti vicini la contrazione dei muscoli ciliari (n.2) modifica il raggio di curvatura del cristallino, fino a riuscire a focalizzare oggetti a circa $p_{v}=25\ cm$ di distanza. Per cui il fuoco vicino vale f_v che si ricava da:

${\frac {1}{p_{v}}}+{\frac {1}{f_{\infty }}}={\frac {1}{f}}_{v}\$

.

Lente d'ingrandimento

Il più semplice degli strumenti ottici è la singola lente convergente sottile in aria. Frequentemente essa è usata come lente di ingrandimento per aiutare l’occhio a distinguere i dettagli di un oggetto. In un occhio normale e con normale illuminazione dell’oggetto la distanza tra oggetto ed occhio per la quale si ha la migliore precisione nella percezione dei dettagli è di 25 cm. Ciò che conta per la percezione visiva di particolari è l’angolo sotto cui l’oggetto è visto dall’occhio. Infatti dato un oggetto rettilineo di lunghezza y, non si può scendere sotto un determinato valore della sua distanza dall’occhio, sia perché l’occhio non è comunque capace di accomodarsi a distanza dell’oggetto inferiori ad un minimo (punto prossimo), sia perché in ogni caso l’eccessivo avvicinamento produce riduzione della capacità di percepire dettagli. Indicata con δ la distanza della visione distinta, un oggetto AB di lunghezza y, si presenta per la migliore osservazione sotto l’angolo α tale che:

$y=\delta \tan \alpha \$

Una lente reale, quindi non necessariamente sottile, esistono due fuochi per ogni semispazio separato dalla lente. La distanza cale di tali fuochi è eguale solo per lenti sottili.

Una lente di ingrandimento opportunamente interposta tra oggetto ed occhio migliora la capacità di percezione di dettagli, in quanto fa aumentare l’angolo sotto cui è visto l’oggetto. Per questo si pone l’oggetto tra lente e fuoco anteriore, in vicinanza del fuoco stesso. Al di là della lente i raggi quindi saranno paralleli. Comunque si disponga l'occhio al di là della lente, in condizione di riposo, i raggi convegeranno sull'occhio sulla retina. L'immagine vista dall'occhio è diritta, virtuale e molto lontana. L’occhio la percepisce sotto un angolo β tale che:

$y\approx 2f\tan \beta /2\$

Si dice ingrandimento visuale $I_{v}\$ della lente il rapporto:

$I_{v}={\frac {\tan \beta }{\tan \alpha }}={\frac {\delta }{f}}\$

La lente di ingrandimento consente di avvicinare gli oggetti all’occhio e di vederli ancora nitidi. Ciò produce un aumento della loro dimensione apparente.

Nell'esempio fatto prima è stata descritta una lente di ingrandimento di lunghezza focale 8.3 cm che quindi determina un ingrandimento di circa 3 volte. Per ottenere un ingrandimento maggiore sarebbe necessario una lunghezza focale minore e quindi un raggio di curvatura minore. Ma raggi di curvatura molto piccoli sono possibili solo per lenti molte piccole, in pratica difficilmente con una lente di ingrandimento si riesce ad ingrandire più di 3-5 volte. Notiamo che dovendosi conservare l'energia luminosa il processo di ingrandimento determina una perdita di luminosità pari al quadrato dell'ingrandimento stesso : in quanto la luce deve dividersi su un'area maggiore.

In tutti gli strumenti ottici il rapporto tra la tangente dell'angolo in cui l'immagine reale o virtuale viene percepita dall'occhio utilizzando lo strumento ottico e la tangente dell'angolo con cui sarebbe percepita dall'occhio senza l'ausilio dello strumento è l'ingrandimento dello strumento stesso.

Cannocchiale

Il cannocchiale, nella sua versione più semplice (cannocchiale astronomico o di Keplero) è un sistema di due lenti in aria, adatto all’osservazione di oggetti lontani. La prima lente, convergente e di grande distanza focale (anche qualche metro), detta obiettivo, è fissa rispetto al supporto cilindrico del sistema, mentre la seconda lente, anch’ essa convergente ed avente lo stesso asse ottico dell’obiettivo, può essere traslata lungo l’asse stesso e prende il nome di oculare. Trattandosi di oggetti lontani, l’immagine reale è capovolta, di lunghezza y_OB, formata dall’obiettivo, cade in vicinanza del suo piano focale, situato a distanza F_OB dall’obbiettivo stesso. L’oculare, la cui caratteristica ottica è di avere piccola distanza focale, viene sistemato in modo da portare il suo primo fuoco F_OC in prossimità dell’immagine formata dall’obiettivo. L’immagine formata dall’oculare, che è poi l’immagine formata dall’intero sistema, sarà, analogamente al caso della lente di ingrandimento semplice, virtuale ingrandita e capovolta rispetto all’oggetto lontano.

Per quanto riguarda l’ingrandimento visuale del cannocchiale, l’angolo α sotto cui è visto ad occhio nudo l’oggetto, è praticamente coincidente, data la grande distanza dell’oggetto, con l’angolo con cui lo stesso oggetto è visto dal centro dell’obiettivo. Con questa approssimazione si può scrivere:

$y_{OB}=F_{OB}\tan \alpha \$

$y_{OB}=F_{OC}\tan \beta \$

da cui si ha che l'ingrandimento verticale:

$I_{v}={\frac {\tan \beta }{\tan \alpha }}={\frac {F_{OB}}{F_{OC}}}\$

Per rendere alto l’ingrandimento visuale di un cannocchiale occorre rendere minima la focale F_OC dell’oculare e rendere grande la focale F_OC dell’obiettivo. Tuttavia non risulta conveniente allungare esageratamente il cannocchiale anche per ragioni di flusso energetico raccoglibile sulla immagine: è infatti da osservare che la pupilla d’uscita del sistema ottico, in questo caso coincidente con l’immagine del contorno dell’obiettivo formata dall’oculare, diminuisce al crescere della distanza tra oculare ed obiettivo. Nella ricerca astronomica, la necessità di disporre di strumenti ottici sempre più potenti ha condotto a cannocchiali astronomici molto lunghi e con obiettivi di grande diametro.

In un cannocchiale l’obiettivo forma un’immagine che viene ingrandita dall’oculare.

Aberrazione delle lenti

Le aberrazioni sono responsabili della distorsione delle immagini fornite dagli strumenti ottici. Le aberrazioni possono essere drasticamente ridotte progettando in modo opportuno le lenti. Dal momento che non è possibile contenere tutte le aberrazioni utilizzando una sola lente, gli obiettivi e gli oculari vengono realizzati con più lenti, che così diventano dei sistemi ottici. Definendo in modo opportuno il tipo di vetro di ciascuna lente, la curvatura di ogni superficie e la distanza fra una lente e l'altra, è possibile controllare in modo soddisfacente le aberrazioni del sistema. In linea generale, il grado di correzione di un obiettivo o di un oculare dipende dal numero di lenti da cui è formato. Le principali aberrazioni sono elencate:

• Aberrazione cromatica: L’aberrazione cromatica dipende dal fatto che l’indice di rifrazione del vetro varia con la lunghezza d’onda della luce. Un sistema formato da lenti, anche in approssimazione parassiale, fornisce di un oggetto che emette luce bianca tante immagini colorate, a distanze diverse e con ingrandimenti diversi. A causa di tale difetto i bordi di un oggetto appaiono da un lato blu e dall'altro rosso.

• Aberrazione sferica: L’aberrazione sferica dipende dal fatto che la sfera non è la superficie ideale per focalizzare nello stesso punto raggi che provengono da grande distanza. Quindi raggi paralleli all'asse ottico si focalizzano non su un punto geoemetrico sull'asse ottico ( il fuoco) ma su una linea giacente sull'asse ottico ma di dimensioni tanto maggiori quanto più grande è l'aberrazione sferica.

• Coma: Simile all'aberrazione sferica si ha per oggetti fuori dall'asse ottico che formano che anche se puntiformi formano una immagine che ha una estensione spaziale. Quindi una stella appare simile ad una cometa.

• Astigmatismo: si ha per raggi che formano un grande angolo con l'asse ottico. Quindi questa è una aberrazione longitudinale A causa di tale aberrazione l'immagine di un cerchio su un piano perpendicolare all'asse ottico appare come una ellisse. Quindi un pianeta appare come una ellisse.

Microscopio

La lente di ingrandimento riesce con difficoltà ad ingrandire una decina di volte gli oggetti. Oltre questo limite tutte le aberrazioni fanno sentire il proprio effetto. Lo strumento più utilizzato per avere un ingrandimento migliore è il microscopio ottico. Attualmente tali strumenti riescono ad ingrandire fino a 1000 volte: il limite è dato dalla lunghezza d'onda della luce. Infatti non si riescono a distinguere con un microscopio ottico oggetti che abbiano una dimensione inferiore a 0.5 μm.

Il microscopio, come il cannocchiale, è costituito da due distinti sistemi di lenti, uno detto obiettivo e l’altro oculare. L’obiettivo riceve luce attraverso il campione e proietta un’immagine di questo in prossimità dell’estremo superiore del corpo del microscopio, in corrispondenza del piano focale dell’oculare. È responsabile della ricchezza di dettagli dell’immagine ottenuta e contribuisce in buona parte all’ingrandimento. L’oculare consente all’occhio di osservare l’immagine prodotta dall’obiettivo ingrandendola ulteriormente. È importante sottolineare che l’oculare non contribuisce in alcun modo al potere risolvente del sistema ottico; semplicemente amplifica l’immagine, separando maggiormente i dettagli già presenti in essa, in modo da renderli apprezzabili all’occhio. L’obiettivo ha il compito di formare l’immagine ingrandita dell’oggetto in osservazione.

Facendo riferimento alla figura l’obiettivo è una lente convergente di piccola focale, davanti al quale, poco a sinistra del suo primo fuoco F_o è posto l’oggetto. Di tale oggetto, di lunghezza Y, a distanza D dall’obiettivo si forma l’immagine reale e capovolta, di lunghezza Y’’. L’ingrandimento lineare trasversale dell’obiettivo vale:

$I_{ob}={\frac {Y''}{Y}}={\frac {1}{f_{ob}}}\$

L’oculare è una lente convergente di focale f_oc, disposta in modo tale che il suo primo fuoco F_oc cada leggermente a sinistra dell’immagine formata dall’obiettivo. L’oculare forma allora un’immagine virtuale molto lontana che l’occhio, disposto sul secondo fuoco dell’oculare, vede sotto un angolo β tale che:

$Y''=f_{oc}\tan \beta \$

da cui:

$\tan \beta ={\frac {Y''}{f_{oc}}}={\frac {DY}{f_{ob}f_{oc}}}\$

Definita δ la distanza minima a cui si osserva ad occhio nudo, e quindi con un oggetto di altezza Y appare sotto un angolo α :

$Y=\delta \tan \alpha \$

Il microscopio fornisce quindi un ingrandimento:

$I_{v}={\frac {\tan \beta }{\tan \alpha }}={\frac {D\delta }{f_{ob}f_{oc}}}\$