Fisica classica/Dielettrici

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Si chiamano isolanti o dielettrici i materiali che non hanno idealmente cariche libere e quindi non conducono l'elettricità. M. Faraday si rese conto che inserendo un materiale isolante tra le armature di un condensatore a facce piane e parallele la capacità del condensatore aumentava. Ora giacché la capacità di un condensatore è data dal rapporto tra la carica e la differenza di potenziale, poiché :la carica sulle armature rimane la stessa (conservazione della carica), non cambia la distanza tra le armature e la loro superficie, di conseguenza per potere aumentare la capacità è necessario che la differenza di potenziale diminuisca di quanto aumenta la capacità. Dunque essendo in un condensatore a facce piane e parallele il campo elettrico proporzionale alla differenza di potenziale,il campo elettrico si deve ridurre nel dielettrico di quanto aumenta la capacità.

Ad esempio se la capacità del condensatore aumenta di dieci volte e viene mantenuta la carica sulle armature, il campo elettrico
nel dielettrico diminuisce di 10 volte rispetto al valore che aveva nel vuoto.

La costante adimensionale di cui viene ridotto il campo elettrico in un condensatore a facce piane e parallele dipende dal materiale di cui è fatto il dielettrico e viene chiamata costante dielettrica relativa ed è una grandezza adimensionale che si indica con il simbolo $\varepsilon _{r}\$.

Materiale	$\varepsilon _{r}$	Rigidità dielettrica (V/m)
Elio	$1.000065\$	$1.5\cdot 10^{5}$
Aria	$1.0006\$	$3\cdot 10^{6}$
Carta	$3.7\$	$5\cdot 10^{7}$
Gomma	$7\$	$1.6\cdot 10^{7}$
Vetro (pyrex)	$4.7\$	$3\cdot 10^{7}$
Porcellana	$6.5\$	$1.5\cdot 10^{7}$
Acqua	$80\$

Quindi un condensatore a facce piane parallele con distanza $d\$ tra le armature, superficie affacciata $S\$ riempito totalmente con un dielettrico avrà una capacità pari a:

$C=\varepsilon _{o}\varepsilon _{r}{\frac {S}{d}}\$

Questo si traduce che in un mezzo isolante uniforme l'espressione della forza di Coulomb con cui due cariche puntiformi $q_{1}\$ e $q_{2}\$ a distanza ${\overrightarrow {r}}_{12}\$ si attraggono o respingono è pari:

${\overrightarrow {F}}_{12}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\text{ }}{\frac {q_{1}{\text{ }}q_{2}}{r_{12}^{3}}}{\overrightarrow {r}}_{12}\$

Se lo spazio non è uniformemente riempito di un dielettrico, le considerazioni da fare hanno una maggiore complessità e bisogna fare altre considerazioni illustrate nel seguito che permettono di studiare l'elettrostatica in presenza di dielettrici.

Il vettore Polarizzazione

Schema di un condensatore a facce piane parallele con un dielettrico

La spiegazione del fenomeno non differisce di molto da quello che avviene in un conduttore, infatti si genera sulla superficie affacciata del dielettrico una densità di carica superficiale dovuta ai dipoli indotti nel dielettrico.

La polarizzazione dipende molto sia dal materiale che dallo stato della materia. Quindi sulle superfici del dielettrico sarà presente una carica di polarizzazione che non annulla integralmente il campo elettrico, come nel caso dei conduttori, ma ne riduce l'intensità. Poiché l'effetto è dovuto ai dipoli elettrici o allineati o provocati dal campo elettrico esterno, per studiare compiutamente un dielettrico all'interno di un campo esterno dobbiamo definire un nuovo campo vettoriale, diverso da zero solo all'interno e sulla superficie del dielettrico: il vettore di Polarizzazione ${\vec {P}}\$. Tale vettore è proporzionale al numero dei dipoli presenti per unità di volume per la loro intensità:

${\vec {P}}=n{\vec {p}}\$

Dove $n\$ è la densità di materia (il numero di atomi per unità di volume) e ${\vec {p}}\$ è il dipolo elettrico medio del generico atomo ( o molecola) dovuto al campo presente.

Il vettore ${\vec {P}}\$ ha le dimensioni di una carica superficiale, ed in effetti sulla superficie del dielettrico si ha una densità di carica di polarizzazione (di segno opposto alla carica sulla armatura vicina) il cui valore è pari a:

$\sigma _{pol}={\vec {P}}\cdot {\hat {n}}\$

Maggiore è l'intensità del vettore di polarizzazione maggiore è la densità di carica di polarizzazione. La polarizzazione del dielettrico deve essere proporzionale al campo ${\vec {E}}\$ (elettrico) localmente presente. Il condensatore a facce piane parallele riempito da un dielettrico è un buon esempio per trovare il legame tra campo elettrico e vettore di polarizzazione. Distinguiamo tra la densità di cariche libere $\sigma _{L}\$ e la densità di cariche di polarizzazione $\sigma _{pol}\$.

L'ipotesi più ragionevole, spesso non verificata in alcuni mezzi, è che il vettore polarizzazione sia proporzionale al campo ${\vec {E}}\$ presente localmente:

${\vec {P}}=\varepsilon _{o}\chi {\vec {E}}\$

Mostriamo come $\chi \$, detta normalmente suscettività del mezzo, sia pari a $\varepsilon _{r}-1\$. Tale cosa è chiara nel caso unidimensionale (eliminiamo il simbolo di vettore). Infatti nel condensatore a facce piane parallele, ripetendo il ragionamento fatto per dimostrare il teorema di Coulomb (considerando un cilindro gaussiano con una faccia dentro il metallo e l'altra dentro il dielettrico) l'espressione del flusso totale del campo elettrico vale:

$ES={\frac {(\sigma _{L}-\sigma _{pol})S}{\varepsilon _{o}}}\$

Quindi semplificando e sostituendo:

$E={\frac {\sigma _{L}-\varepsilon _{o}\chi E}{\varepsilon _{o}}}\$

$E(1+\chi )={\frac {\sigma _{L}}{\varepsilon _{o}}}\$

Detto, $E_{o}=\sigma _{L}/\varepsilon _{o}\$, il campo elettrico senza dielettrico:

$E={\frac {E_{o}}{(1+\chi )}}\$

Ma poiché dentro il dielettrico:

$E={\frac {E_{o}}{\varepsilon _{r}}}\$

segue che:

$\chi =\varepsilon _{r}-1\$

generalizzando:

${\vec {P}}=\varepsilon _{o}(\varepsilon _{r}-1){\vec {E}}\$

Spiegazione microscopica della polarizzazione

Esistono due meccanismi che giustificano la polarizzazione nei dielettrici la deformazione degli atomi o molecole e l'orientamento dei dipoli permanenti presenti. Vi sono sostanze che non avendo momento elettrico permanente hanno solo la polarizzazione per deformazione. Le altre sostanze hanno entrambi i meccanismi, ma per semplicità di trattazione qui vengono discussi separatamente i due casi, nel caso particolare dei gas rarefatti. Nei liquidi e nei solidi le cose sono molto più complesse.

Polarizzazione per deformazione

Il fenomeno della polarizzazione per deformazione

In presenza di un campo elettrico locale, gli elettroni possono deformare i propri orbitali spostando leggermente la propria posizione rispetto ai nuclei, formando un dipolo per ogni atomo del materiale: la somma dei dipoli microscopici produce il dipolo totale macroscopico caratterizzato da ${\vec {P}}\$. Tale fenomeno consiste nel fatto che il nucleo, positivo, subisce una forza elettrica approssimativamente proporzionale al campo elettrico presente localmente (${\vec {E}}_{l}\$) e contemporaneamente gli elettroni una forza eguale e contraria avendo cariche opposte. Quindi per effetto del campo elettrico esterno ${\vec {E}}_{l}\$, gli atomi che erano privi di momento di dipolo elettrico assumono un dipolo elettrico (${\vec {p}}\$) pari alla carica del nucleo moltiplicata lo spostamento subito dal nucleo rispetto al centro degli orbitali. Notare che lo spostamento in gioco modifica minimamente la struttura atomica in quanto date le dimensioni atomiche (frazioni di nm) i campi elettrici propri degli atomi sono molti ordini di grandezza superiori ai campi esterni che si possono ragionevomente generare. Possiamo quindi scrivere che:

${\vec {p}}=\alpha _{d}{\vec {E}}_{l}$

dove $\alpha _{d}\$ è il coefficiente detto di polarizzabilità elettronica per deformazione. Il legame tra ${\vec {p}}\$ è ${\vec {P}}\$ è dato da:

${\vec {P}}=n{\vec {p}}=n\alpha _{d}{\vec {E}}_{l}\$

Dove $n\$ è la densità volumetrica degli atomi (numero atomi /volume). Quindi:

$n\alpha _{d}=\varepsilon _{o}(\varepsilon _{r}-1)\$

$\alpha _{d}=\varepsilon _{o}(\varepsilon _{r}-1)/n\$

Il campo elettrico locale ${\vec {E}}_{l}$ è il campo agente sull'atomo considerato e non comprende il contributo dell'atomo stesso. In realtà poiché il caso considerato è ristretto ai gas rarefatti, il campo elettrico locale quasi coincide con quello applicato dall'esterno, infatti in questo caso si può trascurare il contributo al campo elettrico delle altre regioni del dielettrico, cosa che non è possibile nei gas densi, nei liquidi e nei solidi.

Esempio dell'elio gas
Immaginiamo di avere un campo elettrico $E_{l}\$ applicato ad un gas composto da atomi di elio a
pressione atmosferica $p=101\ kPa\$, temperatura ambiente $T=293\ K\$.
Dall'equazione di stato dei gas scritta per una mole:
$PV=N_{A}k_{B}T\$
dove  $N_{A}\$ (è il numero di Avogadro, $k_{B}\$ la costante di Boltzmann) quindi:
$n={\frac {N_{A}}{V}}={\frac {P}{k_{B}T}}=2.5\cdot 10^{25}\ m^{-3}\$ 
quindi:
$\alpha _{He}={\frac {\varepsilon _{o}(\varepsilon _{r}-1)}{n}}=2.3\cdot 10^{-41}\ F\cdot m^{2}$
L'atomo di elio ha 
numero atomico $Z=2\$  quindi ogni nucleo è soggetto ad una forza pari a $F_{ext}=ZeE_{l}\$ (opposta
a  quella a cui sono soggetti gli elettroni). Contemporaneamene immaginando che si possa
appossimare gli orbitali con una sfera uniformemente carica, dal teorema di Gauss il campo al
suo interno (dovuto agli elettroni) è pari a:
$E={\frac {\rho r}{3\varepsilon _{o}}}=-{\frac {Ze}{4/3\pi R^{3}}}{\frac {r}{3\varepsilon _{o}}}=-{\frac {Ze}{4\pi R^{3}}}{\frac {r}{\varepsilon _{o}}}\$
dove $\rho =-Ze/(4/3\pi R^{3})\$, $R\$ è il raggio  dell'atomo, $r\$ la distanza dal centro.
Quindi la sfera se è spostata di $r\$ rispetto al centro esercita una forza attrattiva sul nucleo
pari a:
$F_{a}=-{\frac {(Ze)^{2}}{4\pi R^{3}}}{\frac {r}{\varepsilon _{o}}}\$
Quindi se imponiamo che $F_{ext}+F_{a}=0\$ si ha che la deformazione dell'atomo deve essere pari a:
$r={\frac {4\pi \varepsilon _{o}R^{3}}{Ze}}E_{l}\$
La deformazione corrisponde ad un dipolo elettrico che vale:
$|p|=Zer=4\pi \varepsilon _{o}R^{3}E_{l}\$
Per avere una idea se poniamo che $R\approx 0.057nm\$ (un valore ragionevole per l'elio)
ed un campo esterno di $E_{l}=10^{5}\ V/m\$ (molto elevato per l'elio come si vede in seguito). 
Si ha che la deformazione è di solo $r=6.7\cdot 10^{-18}\ m$!! ed il dipolo di
$|p|=2\cdot 10^{-36}\ Cm$.
La costante di proporzionalità tra campo applicato e dipolo è proprio la 
polarizzabilità  elettronica:
$\alpha _{d}=4\pi \varepsilon _{o}R^{3}=2.1\cdot 10^{-41}\ Fm^{2}\$
che è ragionevolmente simile a quanto calcolato con i parametri macroscopici.

Polarizzazione per orientamento

Il fenomeno della polarizzazione per orientamento se si potesse trascurare l'agitazione termica (ipotesi in realtà irrealistica)

Molte molecole, in particolare quelle caratterizzate da una configurazione non simmetrica, sono dotate di un momento di dipolo intrinseco. Cioè il centro delle cariche positive non coincide con quello delle cariche negative: un esempio è la molecola dell'acqua che ha un momento di dipolo pari a $|p_{H_{2}O}|\ =6\cdot 10^{-30}\ Cm$, vi sono molecole con momento maggiore, ma l'acqua è una delle molecole con valore molto maggiore della norma. Se non è presente nessun campo elettrico i singoli dipoli sono orientati casualmente e il momento totale del sistema macroscopico è nullo. Se è presente un campo elettrico esterno, i momenti di dipolo si orientano parallelamente ad esso e il loro valore medio è quindi diverso da zero come mostrato nella figura, se non vi fosse l'agitazione termica. Ma anche se si è in presenza di un campo elettrico intenso (ad esempio $E=10^{5}\ V/m\$) la differenza di energia tra un dipolo orientato nella direzione del campo elettrico o nella direzione opposta $DU=2|p||E|\$ è molto inferiore alla energia media dovuta alla agitazione termica. Infatti nel caso numerico considerato (la molecola dell'acqua) $DU=1.2\cdot 10^{-24}\ J$ assolutamente trascurabile rispetto alla energia media termica $k_{B}T\approx 4\cdot 10^{-21}\ J$. Quindi per quanto intenso sia il campo elettrico un numero molto piccolo di dipoli è orientato nella direzione del campo locale ${\vec {E}}_{l}$. Il momento di dipolo medio dipende dall'intensità del campo, ma una piccola percentuale si orienta nella direzione del campo (al contrario di come apparentemente avviene nella figura). Quindi aumentando il campo sempre più dipoli si allineeranno con il campo, ma il numero disposti casualmente continua a rimanere molto elevato. Il calcolo analitico va fatto considerando la distribuzione di Boltzmann, ed è un tipico calcolo di meccanica statistica con tale calcolo si dimostra che:

$\langle {\vec {p}}\rangle ={\frac {p_{0}^{2}{\vec {E}}_{l}}{3k_{B}T}}=\alpha _{o}{\vec {E}}_{l}\$

dove $k_{B}\$ è la costante di Boltzmann, $T\$ è la temperatura assoluta, ${\vec {p}}_{0}\$ è il momento di dipolo intrinseco ed $\alpha _{o}\$ è il coefficiente di polarizzabilità elettronica per orientamento. Il legame tra ${\vec {p}}_{0}\$ e ${\vec {P}}\$ è anche in questo caso:

${\vec {P}}=n{\vec {p}}=n\alpha _{o}{\vec {E}}_{l}\$

e quindi:

$\alpha _{o}=\varepsilon _{o}(\varepsilon _{r}-1)/n\$

Nel caso di molecole polari esiste anche la polarizzabilità per deformazione. Per cui, posso definire una polarizzabilità totale:

$\alpha =\alpha _{o}(T)+\alpha _{d}\$

Ma mentre la polarizzabilità per orientamento dipende fortemente dalla temperatura, quella per deformazione è completamente insensibile, quindi a bassa temperatura per le sostanze che hanno un momento di dipolo proprio domina sempre la polarizzazione per orientamento fino a quando le molecole sono mobili (stato di fluido). Mentre ad alta temperatura la costante dielettrica di tutte le sostanze tende a diminuire fino a tendere asintoticamente alla polarizzabilità per deformazione. Queste considerazioni valgono in elettrostatica, se i campi elettrici sono variabili nel tempo le cose sono più complicate.

Carica volumetrica di polarizzazione

Una sfera dielettrica in un campo elettrico

Immaginiamo di porre un dielettrico con una certa superficie di contorno in un campo elettrico esterno senza aggiungere cariche esterne. Si genereranno sulla superficie esterna delle cariche di polarizzazione la cui densità vale, come abbiamo visto: $\sigma _{pol}={\vec {P}}\cdot {\hat {n}}\$. Se il flusso del vettore ${\vec {P}}\$ attraverso la superficie esterna del dielettrico è identicamente eguale a 0 non vi è da aggiungere altro per quanto riguarda le cariche di polarizzazione, come è il caso della sfera mostrata in figura. Se invece tale flusso è diverso da zero, a causa della conservazione della carica vi saranno anche delle cariche di polarizzazione all'interno del volume, in maniera da garantire che la carica totale si conservi. Detta $S\$ la superficie esterna del dielettrico che delimita il volume $T\$ deve essere:

$\int _{S}{\vec {P}}\cdot {\vec {dS}}+\int _{T}\rho _{pol}d\tau =0\$

Ma applicando il teorema della divergenza al primo membro si ha che:

$\int _{T}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}d\tau =-\int _{T}\rho _{pol}d\tau \$

ma i due vettori debbono coincidere qualsiasi sia la forma del dielettrico di volume $T\$, quindi solo se gli integrandi coincidono può verificarsi tale possibilità:

$\rho _{pol}=-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}\$

Quindi il vettore ${\vec {P}}\$ fornisce informazioni sia sulla carica superficiale che su quella volumetrica.

Il vettore spostamento elettrico

Se è nota la carica elettrica può essere utile definire un campo vettoriale:

${\vec {D}}=\varepsilon _{o}{\vec {E}}+{\vec {P}}\$

detto spostamento elettrico. Tale campo che ha le stesse dimensioni di $P\$ (densità di carica superficiale) è collegato alle sole cariche libere. Infatti riscrivendo l'equazione di Gauss locale, artificialmente distinguendo tra densità volumetrica di cariche libere $\rho _{L}\$ e quelle di polarizzazione $\rho _{pol}\$, si ha che:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho _{L}+\rho _{pol}}{\varepsilon _{o}}}={\frac {\rho _{L}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}}{\varepsilon _{o}}}$

${\vec {\nabla }}\cdot (\varepsilon _{o}{\vec {E}}+{\vec {P}})=\rho _{L}\$

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho _{L}\$

Cioè l'equazione di Gauss in forma locale introducendo il vettore ${\vec {D}}\$ si scrive solo in funzione della densità delle cariche libere.

Interfaccia tra due dielettrici

Dall'ultima espressione locale, utilizzando il teorema della divergenza in maniera inversa rispetto a quanto fatto nel vuoto, si ricava che:

$\int _{S\ chiusa}{\vec {D}}\cdot {\vec {dS}}=Q_{lib}\$

Inoltre anche in presenza di materia continua a valere in condizioni elettrostatiche:

$\oint _{L}{\vec {E}}\cdot {\vec {dl}}=0$

Quindi immaginiamo un cammino chiuso che passi da un mezzo (1) ad un altro (2), parallelo alla superficie di separazione, ma che si discosti dal bordo di uno spostamento infinitesimo, per garantire che sia verificata la equazione precedente occorre che la componente tangenziale del campo elettrico alla superficie di separazione sia eguale nei due mezzi, algebricamente:

$E_{t1}=E_{t2}\$

Mentre invece, se non vi è carica libera nell'interfaccia tra i due mezzi, considerando una superficie gaussiana, cilindrica di altezza infinitesima con le facce parallele alla superficie di separazione dei due mezzi per metà in un dielettrico, il fatto che il flusso dello spostamento elettrico sia nullo attraverso tale superficie (che non contiene cariche libere), ha come conseguenza che:

$D_{n1}=D_{n2}\$

Energia associata al campo elettrostatico in presenza di materia

Estendiamo quanto visto nel vuoto alla presenza di materia.

Assemblando della cariche (libere) la cui densità finale per unità di volume $\rho _{L}\$ in una regione di spazio limitata. Il potenziale locale sarà influenzato dalla sola densità delle cariche libere e dai dielettrici presenti attraverso il potenziale elettrico, l'energia necessaria per generare la distribuzione sarà quindi:

$U=\int _{Spazio}{\frac {1}{2}}\rho _{L}V\operatorname {d} \tau$

Applicando teorema di Gauss in forma differenziale per il vettore spostamento elettrico:

$U=\int _{Spazio}{\frac {1}{2}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}\right)V\operatorname {d} \tau \$

Poiché:

${\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {D}}V\right)=\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}\right)V+{\vec {D}}\cdot {\vec {\nabla }}V\$

da cui:

$\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}\right)V={\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {D}}V\right)-{\vec {D}}\cdot {\vec {\nabla }}V\$

quindi:

$U=\int _{Spazio}{\frac {1}{2}}\left[{\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {D}}V\right)-{\vec {D}}\cdot {\vec {\nabla }}V\right]\operatorname {d} \tau \$

Usando la formula inversa dal potenziale elettrico al campo:

$U={\frac {1}{2}}\int _{Spazio}{\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {D}}V\right)\operatorname {d} \tau +{\frac {1}{2}}\int _{T}{\vec {D}}\cdot {\vec {E}}\operatorname {d} \tau \$

Essendo l'integrale esteso a tutto lo spazio, quindi una sfera di raggio infinito, il primo termine per il teorema della divergenza diventa il flusso del prodotto del campo elettrico che va al minimo con $1/R^{2}\$ e del potenziale $V\$ che almeno va come $1/R\$ (Entrambi decrescono più velocemente se la carica netta è nulla). Poiché l'integrale superficiale di una sfera va come $R^{2}\$ si ha che il primo termine si annulla, quindi rimane solo il secondo termine:

$U={\frac {1}{2}}\int _{Spazio}{\vec {D}}\cdot {\vec {E}}\operatorname {d} \tau \$

Quindi ${\frac {1}{2}}{\vec {D}}\cdot {\vec {E}}\$ è l'energia per unità di volume del campo elettrostatico.

Rigidità dielettrica

Una lastra di plexiglas in cui è avvenuto il breakdown elettrico

Tutti i dielettrici presentano un certo numero di cariche libere, in proporzioni assolutamente trascurabili rispetto a un buon conduttore, ma sempre presenti. Infatti la radioattività naturale e i raggi cosmici ionizzano continuamente tutti i materiali. Ovviamente maggiore è la densità del dielettrico, maggiore è la probabilità di tali eventi. Tali cariche libere a differenza dei conduttori sono in presenza di un campo elettrico dentro il dielettrico (in quanto anche in condizioni statiche per quanto ridotto il campo elettrico è presente all'interno) e quindi subiscono una forza di trascinamento e tra un urto e quello successivo possono acquistare tanta energia cinetica da ionizzare l'atomo che incontrano nel loro cammino. Con un meccanismo di questo genere il numero delle cariche libere si può moltiplicare. Se tali eventi avvengono con sufficiente frequenza il dielettrico smette di essere un isolante e si crea quella che viene detta la moltiplicazione a valanga: un numero enorme di portatori di carica viene generato. Nel caso dei fluidi, la perdita della qualità di isolamento è temporanea e il dielettrico una volta rimosso il campo elettrico esterno ritorna nello stato di partenza. Nei solidi al contrario tale evento è in genere distruttivo in quanto viene modificato strutturalmente il solido stesso. Il campo elettrico esterno per cui un dielettrico perde le sue proprietà isolanti viene chiamato rigidità elettrica ed il suo valore è molto dipendente dalla storia del materiale, dall'umidità e da un numero elevato di concause. Per cui il suo valore non è una grandezza fissa ma è soggetta a notevoli fluttuazioni. All'inizio di questo capitolo sono dati alcuni valori indicativi della rigidità dielettrica per alcuni dielettrici.

Un esempio è utile per chiarire quanto detto.

Bibliografia

• C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 1998, ISBN 978-88-207-1633-2.

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