Fisica classica/Linea di trasmissione

Linea di trasmissione

Consideriamo una linea elettrica uniforme, ad esempio un cavo coassiale, caratterizzata da una induttanza $L_{l}\$ per unità di lunghezza e da una capacità $C_{l}\$ per unità di lunghezza. La linea è alimentata in corrente alternata in maniera tale che in ogni tratto possiamo definire una corrente $I(x,t)\$ ed una differenza di potenziale $V(x,t)\$

Ai capi di ogni elemento infinitesimo lungo $dx\$ e quindi di induttanza $dL=L_{l}dx\$ vi sarà una caduta di potenziale, per la legge di Faraday:

$dV_{L}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}dx=-(L_{l}dx){\frac {\partial I}{\partial t}}\$

(1)

Contemporaneamente, avendo l'elemento una capacità $dC=C_{l}dx\$ vi sarà un assorbimento corrente pari a:

$dI_{C}=-{\frac {\partial I}{\partial x}}dx=-(C_{l}dx){\frac {\partial V}{\partial t}}\$

(2)

Differenziando parzialmente l'eq. 1 rispetto al tempo si ottiene:

$-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t\partial x}}=-L_{l}{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}\$

(3)

Mentre differenziando parzialmente la eq. 2 rispetto allo spazio si ha che:

$-{\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}=-C_{l}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\partial t}}\$

(4)

Quindi a causa del Teorema di Schwartz le due derivate miste nell'equazioni 3 e 4 sono eguali e quindi combinando le due equazioni si ha che:

$-{\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}=C_{l}L_{l}{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}\$

(5)

Anche in questo caso si ha come soluzione l'equazione delle onde unidimensionali. Invertendo il procedimento, cioè differenziando la la eq. 1 per lo spazio e la 2 per il tempo si sarebbe infatti ottenuta una equazione equivalente per la tensione:

$-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=C_{l}L_{l}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}\$

(6)

Quindi in una linea di trasmissione non dissipativa (notiamo come nei conti si sia trascurata sia la resistenza di perdita lungo la linea (dovuta alla resistenza della linea) che quella in parallelo dovuta alle perdite del dielettrico. Con queste ipotesi lungo la linea di trasmissione le perturbazioni di corrente e tensione si propagano con una velocità pari a:

$v={\frac {1}{\sqrt {L_{l}C_{l}}}}\$