Fisica classica/Il vettore di Poynting

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L'equazioni di Maxwell ammettono come soluzioni le onde elettromagnetiche, le quali per la loro propagazione non necessitano di nessun mezzo.

Radiazione elettromagnetica prodotta da un dipolo oscillante diretto verticalmente, l'intensità del campo elettrico è data dal colore, mentre il vettore di Poynting è rappresentato come frecce.

Le onde elettromagnetiche trasportano energia come è chiaro nella esperienza pratica, e vedremo che posseggono anche quantità di moto. Per quantificare l'energia trasportata facciamo ricorso alle proprietà elementari della materia poco densa, quindi ci riferiamo a gas rarefatti o plasmi. La trattazione potrebbe essere fatta in maniera più generale, ma si sarebbe dovute considerare la forma più generale delle equazioni di Maxwell in presenza di materia e questo appesantisce la trattazione. Indichiamo genericamente il campo elettromagnetico con ${\vec {E}}(t)\$ e ${\vec {B}}(t)\$. La materia ci serve qui per prevedere la presenza nel volume $T\$ attraversato dall'onda elettromagnetica di cariche libere $q\$ indipendenti l'una dall'altra. La forza di Lorentz agente su ogni singola carica $q\$ con velocità istantanea ${\vec {v}}(t)\$ sarà:

${\vec {F}}=q[{\vec {E}}(t)+{\vec {v}}(t)\times {\vec {B}}(t)]$

(1)

La potenza media dissipata (la linea orizzontale sopra la formula indica tale operazione di media) da tale campo elettrico e magnetico variabile nel tempo sarà:

${\overline {W}}={\overline {q[{\vec {E}}(t)+{\vec {v}}(t)\times {\vec {B}}(t)]\cdot {\vec {v}}(t)}}={\overline {q{\vec {E}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)}}$

(2)

Essendo ovviamente $[{\vec {v}}(t)\times {\vec {B}}(t)]\cdot {\vec {v}}(t)\equiv 0\$. La potenza totale mediamente dissipata nel volume $T\$ dove sono presenti $dN=nd\tau \$ cariche, $n\$ è il numero di cariche per unità di volume ed $d\tau \$ è l'elemento di volume di $T\$. L'operazione di integrazione se il volume è sufficientemente grande fa mediare la potenza, per cui si può eliminare il segno di media:

${\overline {W}}=\int _{N}q{\vec {E}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)dN=\int _{T}nq{\vec {E}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)d\tau =\int _{T}{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}d\tau$

(3)

Tale equazione rappresenta una estensione della legge di Joule in forma differenziale. Dalla IV equazione (11) di Maxwell

$W={\frac {1}{\mu _{o}}}\int _{T}{\vec {E}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})d\tau -\epsilon _{o}\int _{T}{\vec {E}}(t)\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

(4)

Date due grandezze vettoriali, in questo caso ${\vec {E}}(t)\$ e ${\vec {B}}(t)\$, si può dimostrare esplicitando la divergenza ed il rotore che:

${\vec {E}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})=-{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {B}})+{\vec {B}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})$

sostituendo l'ultima eguaglianza vettoriale nella eq.4 si ha che:

$W=-{\frac {1}{\mu _{o}}}\int _{T}{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {B}})d\tau +{\frac {1}{\mu _{o}}}\int _{T}{\vec {B}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})d\tau -\epsilon _{o}\int _{T}{\vec {E}}(t)\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

(5)

Se sostituiamo nell'eq.5 la legge di Faraday in forma differenziale ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\$ si avrà che la potenza media dissipata nel volume vale:

$W=-{\frac {1}{\mu _{o}}}\int _{T}{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {B}})d\tau -{\frac {1}{\mu _{o}}}\int _{T}{\vec {B}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}d\tau -\epsilon _{o}\int _{T}{\vec {E}}(t)\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

(6)

Il primo integrale, mediante il teorema di Gauss, si può trasformare in un integrale esteso alla superficie $S\$ che delimita il volume $T\$, mentre invertendo il segno di derivata temporale con il segno di integrale nel secondo e terzo termine e raggruppando si ha che:

$W=-\int _{S}({\frac {1}{\mu _{o}}}{\vec {E}}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {dS}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\int _{T}\left({\frac {B^{2}}{\mu _{o}}}+\epsilon _{o}E^{2}\right)d\tau \right]$

(7)

Il secondo termine è la variazione di energia elettrica e magnetica all'interno del volume (quindi niente di nuovo rispetto alla elettrostatica e la magnetostatica), mentre la grandezza nuova è il vettore di Poynting:

${\vec {I}}={\frac {1}{\mu _{o}}}{\vec {E}}\times {\vec {B}}\$

(8)

che rappresenta la potenza trasportata dall'onda elettromagnetica per unità di superficie . Come si vede la direzione di ${\vec {I}}\$, essendo mutuamente perpendicolare ai vettori trasversali, è lungo la direzione di propagazione dell'onda stessa. Le dimensioni del vettore di Poynting sono quindi quelle di una energia diviso un tempo ed una lunghezza al quadrato. La massima potenza dissipabile da un'onda elettromagnetica per ragioni di conservazione dell'energia è ovviamente proprio l'intensità del vettore di Poynting. Se si ha una sorgente puntiforme di onde elettromagnetiche, quindi l'onda ha una simmetria sferica, mentre l'intensità dei campi elettrici e magnetici dell'onda diminuiscono con $1/r\$, l'intensità del vettore di Poynting diminuisce con il quadrato della distanza dalla sorgente. Questo garantisce che, se non viene assorbita l'onda, in condizioni stazionarie in tutte le sfere concentriche vi sia istante per istante la stessa energia e quindi l'espressione implica la conservazione dell'energia. Notiamo come nel ragionamento fatto sia stata la parte elettrica dell'onda che ha compiuto lavoro sulle cariche eventualmente dissipando energia.

La quantità di moto trasportata da un'onda elettromagnetica, potrebbe in maniera formale ricavarsi in forma generale come è stato fatto per ricavare l'energia: il ragionamento sarebbe complicato dal fatto di dovere introdurre il tensore di Maxwell. Si può semplificare il ragionamento considerando il caso microscopico per un'onda progressiva che dissipa parte della energia interagendo con un insieme di cariche indipendenti. Questa ultima ipotesi è eguale a quella fatta precedente per ricavare l'energia media dissipata da un'onda elettromagnetica.

Quindi se consideriamo una superficie normale alla direzione di propagazione dell'onda $\delta I\$ in cui è presente una carica $\Delta Q\$ e se da tale superficie viene assorbita una frazione $\Delta |I|\$ della onda elettromagnetica che l'attraversa. La potenza assorbita dalle $\Delta N\$ cariche sarà:

$\Delta |I|\Delta S=\Delta Nq|v_{E}||E|\$

(9)

La forza media esercitata da tale onda sarà data da:

${\overline {\vec {F(t)}}}=\Delta N\left(q{\overline {\vec {E(t)}}}+q{\overline {{\vec {v(t)}}\times {\vec {B(t)}}}}\right)=\Delta Nq{\overline {{\vec {v(t)}}\times {\vec {B(t)}}}}\$

(10)

Ma ${\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{E}\$, e ${\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\vec {c}}\times {\vec {E}}$, quindi possiamo scrivere che:

$|{\vec {v(t)}}\times {\vec {B(t)}}|={\frac {|v_{E}||E|}{c}}\$

con direzione eguale a quella dell'onda elettromagnetica stessa, quindi sostituendo tutte queste espressioni nella eq. 25 si ha che la pressione $p\$ vale:

$p={\frac {\overline {\vec {F(t)}}}{\Delta S}}=\Delta Nq{\frac {|v_{E}||E|}{c\Delta S}}\$

Ma se sostituiamo in questa espressione la eq.8 si ha che:

$p={\frac {|\Delta I|}{c}}\$

(11)

Quindi la pressione esercitata dalla radiazione è pari alla variazione di intensità dell'onda elettromagnetica stessa. Quindi se venisse assorbita totalmente la pressione esercitata sarebbe:

$p={\frac {|I|}{c}}\$

Se invece fosse riflessa totalmente la pressione esercitata sarebbe:

$p={\frac {2|I|}{c}}\$