Fisica classica/Corda vibrante

Corda vibranteModifica

Uno dei casi più facili da studiare è la propagazione di un'onda su una corda tesa. Il modello si adatta bene alla descrizione di molti strumenti musicali a corda, nei quali viene prodotto un suono la cui frequenza è costante o come viene detto in linguaggio musicale una precisa nota. Arpe, chitarre, pianoforti e violini sono solo alcuni dei numerosi strumenti a corda. Ma anche le corde vocali si basano sulle proprietà delle corde vibranti

Se chiamiamo   la lunghezza della corda,   la sua massa e   la sua tensione meccanica.

Quando la corda viene deflessa si piega con una forma approssimabile con un arco di cerchio. Se chiamiamo   il raggio e   l'angolo sotteso dall'arco. Si ha ovviamente che  . La forza di richiamo elastico sulla corda vale:

 

Tale forza è la forza centripeta quindi detta   la velocità di propagazione dell'onda nella corda:

 

Se chiamiamo   la densità lineare di massa della corda (massa diviso lunghezza):

 

e

 

Dalla combinazione delle due espressioni della forza si ha che:


 

Da cui si ricava che:

 

Notiamo che avremmo potuto scrivere per il tratto infinitesimo di corda  , che la sua massa vale:

 

Detta   l'allontanamento di tale tratto dalla posizione equilibrio, l'equazione differenziale che governa l'allontamento della posizione di equilibrio è (se l'allontanamento dalla posizione di equilibrio è piccolo:

 
 

questa equazione è l'equazione caratteristica delle onde