Sistemi e tecnologie elettroniche/Gli amplificatori: comportamento in frequenza
Uno stadio amplificatore deve avere una certa risposta in frequenza in base alla frequenza (= rapidità di variazione) del segnale in ingresso.
Se vi sono elementi dinamici (induttori, condensatori), l'amplificazione non è più una costante ma dipende dalla frequenza: .
Celle del I ordine
modificaNel dominio del tempo, si studia il comportamento asintotico durante una risposta al gradino .
Gli elementi dinamici introducono un ritardo nella risposta del circuito: per esempio, durante la risposta al gradino di un circuito RC la tensione ai capi del condensatore non assume istantaneamente il valore del gradino (amplificato nel caso degli amplificatori), ma è caratterizzato da un transitorio che tende asintoticamente a tale valore → lo studio di frequenze elevate richiede rapidi transitori.
La risposta al gradino di un circuito dinamico del I ordine è definita univocamente dai comportamenti asintotici a e a e dalla costante di tempo :
I circuiti del II ordine hanno invece una risposta al gradino più complessa.
Si dimostra che → graficamente la funzione assume in un valore che è aumentato/diminuito, a partire da , del 63% rispetto all'intervallo tra e .
Inoltre, la tangente al grafico in interseca l'asintoto per in :
Nel dominio della frequenza, si rappresenta tramite il diagramma di Bode il comportamento dinamico del circuito.
La funzione di rete è un rapporto di funzioni polinomiali che sono le espressioni di due segnali sinusoidali:
Gli zeri sono le radici del numeratore (di cui nulle), i poli sono le radici del denominatore (di cui nulle). I poli sono una caratterizzazione univoca del comportamento del circuito, indipendentemente dalla funzione di rete. Il diagramma di Bode è la rappresentazione grafica della funzione di rete nella sua restrizione ai numeri complessi (cioè l'amplificazione di tensione nel caso particolare degli amplificatori), in funzione della frequenza angolare (u.m. rad/s) espressa in scala logaritmica.[3]
L'espressione in decibel (dB) del modulo della funzione di rete (cioè il guadagno di potenza nel caso particolare degli amplificatori) è, sostituendo con e applicando le proprietà dei logaritmi e dei numeri complessi:
Il diagramma di Bode è dato dalla somma dei contributi dei singoli termini:
- la costante contribuisce con una retta orizzontale;
- ogni zero nullo contribuisce con una retta di pendenza 20 dB/dec passante per ;
- ogni zero non nullo contribuisce con una spezzata composta da:
- a sinistra dello zero, una retta orizzontale costante:
- in corrispondenza dello zero, uno scostamento verticale di entità trascurabile:
- a destra dello zero, una retta di pendenza 20 dB/dec intersecante l'asse orizzontale nello zero:
- a sinistra dello zero, una retta orizzontale costante:
- ogni polo contribuisce con una spezzata analoga a quella degli zeri, ma con pendenza negativa.
Per i tratti a pendenza 20 dB/dec, i rapporti tra frequenze e i rapporti tra ampiezze sono uguali.
Filtri passa-alto
modificaSe si pone un condensatore in serie al flusso di segnale si ottiene un filtro passa-alto.
Cella RC passa-alto
modificaAnalisi nel tempo
modificaApplicando un segnale a gradino a una cella RC passa-alto, la tensione di uscita :
presenta una risposta transitoria che ha nel tempo un andamento esponenziale decrescente.
Il grafico di è toccato in dalla retta tangente:
di coefficiente angolare :
che interseca l'asse delle ascisse nel punto :
Per questo motivo, la costante di tempo è detta costante di decadimento.
Analisi in frequenza
modificaIl condensatore posto in serie al flusso di segnale si comporta come un filtro passa-alto, cioè attenua in dB[4] a basse frequenze:
- i segnali a bassa frequenza ( ) non passano: il condensatore si comporta come un circuito aperto → ;
- i segnali ad alta frequenza ( ) passano: il condensatore si comporta come un cortocircuito → .
Applicando il partitore di tensione sulla resistenza, si trova la seguente funzione di rete:
avente uno zero nell'origine ( ) e un polo in , con .
I segnali ad alta frequenza in realtà vengono epurati della loro componente continua (DC), cioè viene mantenuta solamente la sinusoide azzerando il valor medio attorno a cui essa oscilla.
Amplificatore con cella RC passa-alto
modificaIntroducendo, come impedenza del generatore reale, un condensatore in serie nella linea di ingresso di un amplificatore, esso si comporta come un filtro passa-alto, filtrando le componenti continue dei segnali sinusoidali in ingresso e rispondendo con un transitorio agli ingressi a gradino.
Posto costante, la tensione filtrata dalla cella RC viene poi amplificata nella tensione di uscita dell'amplificatore. La funzione di rete complessiva:
presenta un diagramma di Bode analogo a quello della funzione di rete della singola cella RC, ma per le proprietà dei logaritmi con sfalsamento costante pari a :
Condensatori di disaccoppiamento tra stadi amplificatore in cascata
modificaSe due stadi amplificatore sono posti in cascata separati da un condensatore di disaccoppiamento, il condensatore si comporta come un filtro passa-alto. La costante di tempo τ è uguale al prodotto tra la capacità e la resistenza equivalente vista ai capi del condensatore allo spegnimento di tutti i generatori indipendenti.
Filtri passa-basso
modificaA differenza di quello passa-alto, in un filtro passa-basso l'uscita viene presa ai capi del condensatore.
Cella RC passa-basso
modificaAnalisi nel tempo
modificaNella risposta al gradino, la tensione di uscita ha un andamento esponenziale crescente:
Analisi in frequenza
modificaUn filtro passa-basso consente il passaggio di segnali solo al di sotto di una certa frequenza. La funzione di rete ha un polo a frequenza :
Il diagramma di Bode presenta un'attenuazione in dB dei segnali ad alta frequenza ( ).
Amplificatore con cella RC passa-basso
modificaLa funzione di rete complessiva di un amplificatore passa-basso è:
con .
A nel dominio del tempo e per nel dominio della frequenza il condensatore si comporta come un circuito aperto, e il circuito diventa un normale stadio amplificatore con un generatore reale in ingresso e una resistenza di carico in uscita:
Pertanto la funzione di rete complessiva si può scrivere come il prodotto tra il valore in banda passante dell'amplificazione ( ) e un termine legato al comportamento passa-basso:
dove vale ancora: .
Filtri passa-banda
modificaIl circuito in figura presenta un condensatore di disaccoppiamento all'ingresso (cella passa-alto) e un carico reattivo all'uscita (cella passa-basso). I due condensatori si dicono disaccoppiati dal generatore di tensione interno all'amplificatore.
Analisi in frequenza
modificaIl diagramma di Bode risulta dalla composizione dei due filtri passa-alto e passa-basso, aventi rispettivamente costanti di tempo e e poli e , posti in cascata al flusso di segnale:
Si definisce banda passante lo spettro di frequenza compreso tra la frequenza di taglio inferiore e la frequenza di taglio superiore :
- la frequenza di taglio inferiore corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo dovuta al filtro passa-alto;
- la frequenza di taglio superiore corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo dovuta al filtro passa-basso.
Mentre per annullare l'effetto passa-alto basta rimuovere il condensatore in ingresso, l'effetto passa-basso non si può eliminare a causa degli effetti di tipo capacitivo propri dei transistori, che sono dei dispositivi a semi-conduttore, di cui è composto l'amplificatore stesso.
Analisi nel tempo
modificaLa risposta nel tempo all'onda quadra (= successione di gradini alternati con periodo ) è una sovrapposizione dei transitori passa-alto e passa-basso. I ritardi e le rapidità con cui si manifestano i comportamenti passa-alto e passa-basso dipendono dall'ordine di grandezza del periodo dell'onda quadra rispetto agli ordini di grandezza delle costanti di tempo e associate rispettivamente ai comportamenti passa-alto e passa-basso:[5]
- se : il comportamento passa-alto è trascurabile perché il suo transitorio si manifesta con troppo ritardo → prevale il comportamento passa-basso: allo sbalzo di tensione il segnale è totalmente attenuato, ma questa attenuazione si riduce durante il tratto costante;
- se : il comportamento passa-basso è trascurabile perché il suo transitorio si esaurisce subito → prevale il comportamento passa-alto: al termine del breve transitorio passa-basso il segnale è totalmente amplificato, ma questa amplificazione si riduce durante il tratto costante.
Amplificatore in continua
modificaGli amplificatori in continua (es. alimentatori) forniscono segnali DC a tensione costante (→ ) indipendentemente dal carico, perché hanno una frequenza di taglio inferiore .
Celle del II ordine
modificaA seconda del tipo di segnale su cui deve operare, un amplificatore deve garantire una banda passante entro la quale rientrino tutte le possibili frequenze del tipo di segnale:
- amplificatori a larga banda (audio): banda di ampiezza ~Mhz centrata intorno a basse frequenze ~Mhz (es. altoparlante);
- amplificatori accordati (di potenza RF): banda di ampiezza ~Mhz centrata intorno ad alte frequenze ~Ghz (es. microfono).
Amplificatori accordati
modificaGli amplificatori accordati sono di solito realizzati con celle reattive del II ordine, cioè circuiti risonatori aventi un induttore e un condensatore nella stessa maglia. Un circuito risonatore è caratterizzato da una funzione di trasferimento a poli complessi coniugati del tipo:
dove:
- è la frequenza di risonanza;
- ("xi") è lo smorzamento.
Amplicatore accordato con cella RC
modificaL'amplificatore con cella LC è un amplificatore accordato con impedenza di carico costituita dal parallelo di un induttore , un condensatore e un resistore .
Analisi in frequenza
modificaTramutando internamente all'amplificatore la serie generatore di tensione-resistore nel parallelo generatore di corrente-resistore, si trova la seguente funzione di rete :
dove:
il cui modulo ha un andamento in frequenza "a campana" di ampiezza ∼ centrata attorno a .
Analisi nel tempo
modificaSe la resistenza di perdita è sufficientemente piccola → non è troppo elevato, le risposte al gradino e all'impulso presentano un andamento oscillante di periodo con uno smorzamento proporzionale a .
Da rete a doppio bipolo
modificaSi opera in maniera analoga agli amplificatori resistivi in continua, tenendo conto che i 3 parametri , e possono essere complessi.
Linearità e non linearità
modificaRappresentazione della relazione tra ingresso e uscita
modificaLa relazione tra tensione di ingresso e tensione di uscita di un dispositivo si può rappresentare attraverso:
- due grafici separati di e ;
- il grafico della funzione di trasferimento ;
- il grafico della transcaratteristica : è variabile a seconda di → è difficile rappresentare comportamenti dovuti a bipoli dinamici.
Moduli lineari
modificaIl grafico della transcaratteristica ideale è una retta passante per l'origine.
Il grafico della transcaratteristica di un modulo lineare[6] è una retta che si discosta dall'idealità in base a 3 parametri, a 2 a 2 indipendenti:
- guadagno : differenza di pendenza tra i due andamenti rettilinei;
- offset (verticale): valore di uscita a ingresso nullo;
- offset (orizzontale): valore d'ingresso che annulla l'uscita.
Moduli non lineari
modificaIl grafico della transcaratteristica di un modulo non lineare non ha andamento rettilineo, e non vale più il principio di sovrapposizione degli effetti.
Il circuito raddrizzatore è un modulo non lineare, ma lineare a tratti, che restituisce in uscita solo le tensioni d'ingresso positive:
Altri moduli permettono di saturare un ingresso di tipo sinusoidale entro un certo intervallo di valori.
Moduli reali
modifica- limiti di dinamica: tutti i moduli reali non sono lineari, ma alcuni sono approssimabili linearmente, cioè la transcaratteristica è approssimabile a una retta (per esempio la tangente) entro una restrizione di valori in ingresso, cioè limitando le dinamiche[7] d'ingresso e uscita, che sono strettamente correlate tra loro attraverso la pendenza della retta; in uno stadio amplificatore, la dinamica di uscita è limitata dalla dinamica delle tensioni di alimentazione, in particolare superiormente a e inferiormente a ;
- limiti fisici: se la tensione in ingresso è troppo elevata può danneggiare il modulo, soprattutto se la tensione di alimentazione è bassa;
- limiti di banda: mentre la frequenza massima non può superare i limiti fisici del modulo, la frequenza minima può anche essere scelta nulla, ma è consigliabile limitare anche la frequenza minima per escludere le frequenze basse di rumore.
Un amplificatore non lineare introduce una distorsione nel segnale: se per esempio viene fornito in ingresso un segnale con una singola frequenza fondamentale , il segnale amplificato sarà caratterizzato anche dalle sue frequenze multiple , , ecc. dette armoniche. La distorsione armonica totale misura il livello di distorsione del segnale amplificato in uscita rispetto alla fondamentale:
Note
modifica- ↑ Nel dominio del tempo, il condensatore si comporta come un cortocircuito all'inizio del transitorio ( ) e come un circuito aperto al termine del transitorio, e viceversa per l'induttore.
- ↑ Nel dominio della frequenza, il condensatore si comporta come un circuito aperto a bassa frequenza (in continua) e come un cortocircuito ad alta frequenza, e viceversa per l'induttore.
- ↑ Nella scala logaritmica, si dice decade l'intervallo tra due potenze del 10.
- ↑ Un'attenuazione del segnale nel diagramma di Bode significa che il logaritmo è negativo → il suo argomento è compreso tra 0 e 1 → la tensione di uscita è minore di quella in ingresso.
- ↑ Anche se l'onda quadra non è propriamente un segnale sinusoidale, i segnali a gradino e a onda quadra si possono in realtà immaginare come segnali a frequenza variabile che è infinita in corrispondenza degli sbalzi di tensione, e si riduce progressivamente fino ad annullarsi nei tratti di tensione costante. Questa interpretazione spiega intuitivamente i grafici delle risposte al gradino delle celle RC.
- ↑ Per un modulo lineare vale la sovrapposizione degli effetti: l'uscita si può esprimere come la somma delle risposte parziali agli ingressi.
- ↑ In questo caso, la dinamica è l'intervallo di valori che il segnale di ingresso/uscita può assumere garantendo la linearità della curva generata.