Sistemi e tecnologie elettroniche/Gli amplificatori: comportamento in frequenza

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Uno stadio amplificatore deve avere una certa risposta in frequenza in base alla frequenza (= rapidità di variazione) del segnale in ingresso.

Se vi sono elementi dinamici (induttori, condensatori), l'amplificazione non è più una costante ma dipende dalla frequenza: .

Celle del I ordineModifica

Analisi della risposta al gradino nel dominio del tempo[1]Modifica

Nel dominio del tempo, si studia il comportamento asintotico durante una risposta al gradino  .

Gli elementi dinamici introducono un ritardo nella risposta del circuito: per esempio, durante la risposta al gradino di un circuito RC la tensione ai capi del condensatore non assume istantaneamente il valore del gradino (amplificato nel caso degli amplificatori), ma è caratterizzato da un transitorio che tende asintoticamente a tale valore → lo studio di frequenze elevate richiede rapidi transitori.

La risposta al gradino di un circuito dinamico del I ordine è definita univocamente dai comportamenti asintotici a   e a   e dalla costante di tempo  :

 

I circuiti del II ordine hanno invece una risposta al gradino più complessa.

Si dimostra che   → graficamente la funzione   assume in   un valore che è aumentato/diminuito, a partire da  , del 63% rispetto all'intervallo   tra   e  .

Inoltre, la tangente al grafico in   interseca l'asintoto per   in  :

 

Analisi del comportamento dinamico nel dominio della frequenza[2]Modifica

Nel dominio della frequenza, si rappresenta tramite il diagramma di Bode il comportamento dinamico del circuito.

La funzione di rete   è un rapporto di funzioni polinomiali che sono le espressioni di due segnali sinusoidali:

 

Gli zeri sono le radici del numeratore (di cui   nulle), i poli sono le radici del denominatore (di cui   nulle). I poli sono una caratterizzazione univoca del comportamento del circuito, indipendentemente dalla funzione di rete. Il diagramma di Bode è la rappresentazione grafica della funzione di rete   nella sua restrizione ai numeri complessi   (cioè l'amplificazione di tensione   nel caso particolare degli amplificatori), in funzione della frequenza angolare   (u.m. rad/s) espressa in scala logaritmica.[3]

L'espressione in decibel (dB) del modulo della funzione di rete   (cioè il guadagno di potenza   nel caso particolare degli amplificatori) è, sostituendo   con   e applicando le proprietà dei logaritmi e dei numeri complessi:

 

Il diagramma di Bode è dato dalla somma dei contributi dei singoli termini:

  • la costante   contribuisce con una retta orizzontale;
  • ogni zero nullo contribuisce con una retta di pendenza 20 dB/dec passante per  ;
  • ogni zero non nullo contribuisce con una spezzata composta da:
    • a sinistra dello zero, una retta orizzontale costante:
       
    • in corrispondenza dello zero, uno scostamento verticale di entità trascurabile:
       
    • a destra dello zero, una retta di pendenza 20 dB/dec intersecante l'asse orizzontale nello zero:
       
  • ogni polo contribuisce con una spezzata analoga a quella degli zeri, ma con pendenza negativa.

Per i tratti a pendenza 20 dB/dec, i rapporti tra frequenze e i rapporti tra ampiezze sono uguali.

Filtri passa-altoModifica

Se si pone un condensatore in serie al flusso di segnale si ottiene un filtro passa-alto.

Cella RC passa-altoModifica

Analisi nel tempoModifica

Applicando un segnale a gradino a una cella RC passa-alto, la tensione di uscita  :

 

presenta una risposta transitoria che ha nel tempo un andamento esponenziale decrescente.

Il grafico di   è toccato in   dalla retta tangente:

 

di coefficiente angolare  :

 

che interseca l'asse delle ascisse   nel punto  :

 

Per questo motivo, la costante di tempo   è detta costante di decadimento.

Analisi in frequenzaModifica

Il condensatore posto in serie al flusso di segnale si comporta come un filtro passa-alto, cioè attenua in dB[4] a basse frequenze:

  • i segnali a bassa frequenza ( ) non passano: il condensatore si comporta come un circuito aperto →  ;
  • i segnali ad alta frequenza ( ) passano: il condensatore si comporta come un cortocircuito →  .

Applicando il partitore di tensione sulla resistenza, si trova la seguente funzione di rete:

 

avente uno zero nell'origine ( ) e un polo in  , con  .

I segnali ad alta frequenza in realtà vengono epurati della loro componente continua (DC), cioè viene mantenuta solamente la sinusoide azzerando il valor medio attorno a cui essa oscilla.

Amplificatore con cella RC passa-altoModifica

Introducendo, come impedenza del generatore reale, un condensatore in serie nella linea di ingresso di un amplificatore, esso si comporta come un filtro passa-alto, filtrando le componenti continue dei segnali sinusoidali in ingresso e rispondendo con un transitorio agli ingressi a gradino.

Posto   costante, la tensione   filtrata dalla cella RC viene poi amplificata nella tensione   di uscita dell'amplificatore. La funzione di rete   complessiva:

 

presenta un diagramma di Bode analogo a quello della funzione di rete   della singola cella RC, ma per le proprietà dei logaritmi con sfalsamento costante pari a  :

 

Condensatori di disaccoppiamento tra stadi amplificatore in cascataModifica

Se due stadi amplificatore sono posti in cascata separati da un condensatore di disaccoppiamento, il condensatore si comporta come un filtro passa-alto. La costante di tempo τ è uguale al prodotto tra la capacità   e la resistenza equivalente   vista ai capi del condensatore allo spegnimento di tutti i generatori indipendenti.

Filtri passa-bassoModifica

A differenza di quello passa-alto, in un filtro passa-basso l'uscita viene presa ai capi del condensatore.

Cella RC passa-bassoModifica

Analisi nel tempoModifica

Nella risposta al gradino, la tensione di uscita   ha un andamento esponenziale crescente:

 
Analisi in frequenzaModifica

Un filtro passa-basso consente il passaggio di segnali solo al di sotto di una certa frequenza. La funzione di rete   ha un polo a frequenza  :

 

Il diagramma di Bode presenta un'attenuazione in dB dei segnali ad alta frequenza ( ).

Amplificatore con cella RC passa-bassoModifica

La funzione di rete complessiva di un amplificatore passa-basso è:

 

con  .

A   nel dominio del tempo e per   nel dominio della frequenza il condensatore si comporta come un circuito aperto, e il circuito diventa un normale stadio amplificatore con un generatore reale in ingresso e una resistenza di carico   in uscita:

 

Pertanto la funzione di rete complessiva si può scrivere come il prodotto tra il valore in banda passante dell'amplificazione   ( ) e un termine legato al comportamento passa-basso:

 

dove vale ancora:  .

Filtri passa-bandaModifica

Il circuito in figura presenta un condensatore di disaccoppiamento all'ingresso (cella passa-alto) e un carico reattivo all'uscita (cella passa-basso). I due condensatori si dicono disaccoppiati dal generatore di tensione interno all'amplificatore.

Analisi in frequenzaModifica

Il diagramma di Bode risulta dalla composizione dei due filtri passa-alto e passa-basso, aventi rispettivamente costanti di tempo   e   e poli   e  , posti in cascata al flusso di segnale:

 

Si definisce banda passante   lo spettro di frequenza compreso tra la frequenza di taglio inferiore   e la frequenza di taglio superiore  :

  • la frequenza di taglio inferiore   corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo dovuta al filtro passa-alto;
  • la frequenza di taglio superiore   corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo dovuta al filtro passa-basso.

Mentre per annullare l'effetto passa-alto basta rimuovere il condensatore in ingresso, l'effetto passa-basso non si può eliminare a causa degli effetti di tipo capacitivo propri dei transistori, che sono dei dispositivi a semi-conduttore, di cui è composto l'amplificatore stesso.

Analisi nel tempoModifica

La risposta nel tempo all'onda quadra (= successione di gradini alternati con periodo  ) è una sovrapposizione dei transitori passa-alto e passa-basso. I ritardi e le rapidità con cui si manifestano i comportamenti passa-alto e passa-basso dipendono dall'ordine di grandezza del periodo   dell'onda quadra rispetto agli ordini di grandezza delle costanti di tempo   e   associate rispettivamente ai comportamenti passa-alto e passa-basso:[5]

  • se  : il comportamento passa-alto è trascurabile perché il suo transitorio si manifesta con troppo ritardo → prevale il comportamento passa-basso: allo sbalzo di tensione il segnale è totalmente attenuato, ma questa attenuazione si riduce durante il tratto costante;
  • se  : il comportamento passa-basso è trascurabile perché il suo transitorio si esaurisce subito → prevale il comportamento passa-alto: al termine del breve transitorio passa-basso il segnale è totalmente amplificato, ma questa amplificazione si riduce durante il tratto costante.

Amplificatore in continuaModifica

Gli amplificatori in continua (es. alimentatori) forniscono segnali DC a tensione costante (→  ) indipendentemente dal carico, perché hanno una frequenza di taglio inferiore  .

Celle del II ordineModifica

A seconda del tipo di segnale su cui deve operare, un amplificatore deve garantire una banda passante entro la quale rientrino tutte le possibili frequenze del tipo di segnale:

  • amplificatori a larga banda (audio): banda di ampiezza ~Mhz centrata intorno a basse frequenze ~Mhz (es. altoparlante);
  • amplificatori accordati (di potenza RF): banda di ampiezza ~Mhz centrata intorno ad alte frequenze ~Ghz (es. microfono).

Amplificatori accordatiModifica

Gli amplificatori accordati sono di solito realizzati con celle reattive del II ordine, cioè circuiti risonatori aventi un induttore e un condensatore nella stessa maglia. Un circuito risonatore è caratterizzato da una funzione di trasferimento a poli complessi coniugati del tipo:

 

dove:

  •   è la frequenza di risonanza;
  •   ("xi") è lo smorzamento.

Amplicatore accordato con cella RCModifica

L'amplificatore con cella LC è un amplificatore accordato con impedenza di carico costituita dal parallelo di un induttore  , un condensatore   e un resistore  .

Analisi in frequenzaModifica

Tramutando internamente all'amplificatore la serie generatore di tensione-resistore nel parallelo generatore di corrente-resistore, si trova la seguente funzione di rete  :

 

dove:

 

il cui modulo ha un andamento in frequenza "a campana" di ampiezza ∼  centrata attorno a  .

Analisi nel tempoModifica

Se la resistenza di perdita è sufficientemente piccola →   non è troppo elevato, le risposte al gradino e all'impulso presentano un andamento oscillante di periodo   con uno smorzamento proporzionale a  .

Da rete a doppio bipoloModifica

Si opera in maniera analoga agli amplificatori resistivi in continua, tenendo conto che i 3 parametri  ,   e   possono essere complessi.

Linearità e non linearitàModifica

Rappresentazione della relazione tra ingresso e uscitaModifica

La relazione tra tensione di ingresso   e tensione di uscita   di un dispositivo si può rappresentare attraverso:

  • due grafici separati di   e  ;
  • il grafico della funzione di trasferimento  ;
  • il grafico della transcaratteristica  : è variabile a seconda di   → è difficile rappresentare comportamenti dovuti a bipoli dinamici.

Moduli lineariModifica

Il grafico della transcaratteristica ideale è una retta passante per l'origine.

Il grafico della transcaratteristica di un modulo lineare[6] è una retta che si discosta dall'idealità in base a 3 parametri, a 2 a 2 indipendenti:

  • guadagno  : differenza di pendenza tra i due andamenti rettilinei;
  • offset   (verticale): valore di uscita a ingresso nullo;
  • offset   (orizzontale): valore d'ingresso che annulla l'uscita.

Moduli non lineariModifica

Il grafico della transcaratteristica di un modulo non lineare non ha andamento rettilineo, e non vale più il principio di sovrapposizione degli effetti.

Il circuito raddrizzatore è un modulo non lineare, ma lineare a tratti, che restituisce in uscita solo le tensioni d'ingresso positive:

 

Altri moduli permettono di saturare un ingresso di tipo sinusoidale entro un certo intervallo di valori.

Moduli realiModifica

  • limiti di dinamica: tutti i moduli reali non sono lineari, ma alcuni sono approssimabili linearmente, cioè la transcaratteristica è approssimabile a una retta (per esempio la tangente) entro una restrizione di valori in ingresso, cioè limitando le dinamiche[7] d'ingresso e uscita, che sono strettamente correlate tra loro attraverso la pendenza della retta; in uno stadio amplificatore, la dinamica di uscita è limitata dalla dinamica delle tensioni di alimentazione, in particolare superiormente a   e inferiormente a  ;
  • limiti fisici: se la tensione in ingresso è troppo elevata può danneggiare il modulo, soprattutto se la tensione di alimentazione è bassa;
  • limiti di banda: mentre la frequenza massima non può superare i limiti fisici del modulo, la frequenza minima può anche essere scelta nulla, ma è consigliabile limitare anche la frequenza minima per escludere le frequenze basse di rumore.

Un amplificatore non lineare introduce una distorsione nel segnale: se per esempio viene fornito in ingresso un segnale con una singola frequenza fondamentale  , il segnale amplificato sarà caratterizzato anche dalle sue frequenze multiple  ,  , ecc. dette armoniche. La distorsione armonica totale   misura il livello di distorsione del segnale amplificato in uscita rispetto alla fondamentale:

 

NoteModifica

  1. Nel dominio del tempo, il condensatore si comporta come un cortocircuito all'inizio del transitorio ( ) e come un circuito aperto al termine del transitorio, e viceversa per l'induttore.
  2. Nel dominio della frequenza, il condensatore si comporta come un circuito aperto a bassa frequenza (in continua) e come un cortocircuito ad alta frequenza, e viceversa per l'induttore.
  3. Nella scala logaritmica, si dice decade l'intervallo tra due potenze del 10.
  4. Un'attenuazione del segnale nel diagramma di Bode significa che il logaritmo è negativo → il suo argomento è compreso tra 0 e 1 → la tensione di uscita è minore di quella in ingresso.
  5. Anche se l'onda quadra non è propriamente un segnale sinusoidale, i segnali a gradino e a onda quadra si possono in realtà immaginare come segnali a frequenza variabile che è infinita in corrispondenza degli sbalzi di tensione, e si riduce progressivamente fino ad annullarsi nei tratti di tensione costante. Questa interpretazione spiega intuitivamente i grafici delle risposte al gradino delle celle RC.
  6. Per un modulo lineare vale la sovrapposizione degli effetti: l'uscita si può esprimere come la somma delle risposte parziali agli ingressi.
  7. In questo caso, la dinamica è l'intervallo di valori che il segnale di ingresso/uscita può assumere garantendo la linearità della curva generata.