Sistemi e tecnologie elettroniche/Amplificatore operazionale ideale

Amplificatore differenziale

A differenza di un amplificatore standard il cui ingresso $V_{i}$ è sempre riferito a massa, l'amplificatore differenziale è caratterizzato in ingresso dalla tensione differenziale $V_{d}$:

$V_{d}=V_{+}-V_{-}$

dove $V_{+}$ è la tensione al terminale non invertente (+) e $V_{-}$ è la tensione al terminale invertente (−). La tensione di uscita $V_{u}$ si può esprimere come la combinazione lineare delle tensioni applicate ai singoli terminali di ingresso, ed è pertanto proporzionale alla tensione differenziale $V_{d}$ con un guadagno differenziale $A$:

${\begin{cases}V_{u}=AV_{+}+BV_{-}\\A>0,\,A=-B\end{cases}}\Rightarrow V_{u}=A\left(V_{+}-V_{-}\right)=AV_{d}$

Amplificatore operazionale ideale

Un amplificatore differenziale si dice operazionale ideale (AO) se:

• la tensione differenziale è proporzionale alla tensione in uscita $V_{u}$ con un guadagno differenziale $A_{d}$ infinito:

  $V_{u}=A_{d}V_{d},\quad A_{d}\rightarrow +\infty$

Siccome $V_{u}$ è una tensione finita, la condizione imposta sul guadagno differenziale implica: $V_{d}\rightarrow 0$

• le correnti che scorrono ai terminali di ingresso sono nulle: $i_{+}=i_{-}=0$
• non è presente una resistenza in uscita: $R_{u}=0$

Modello dei sistemi reazionati

I sistemi reazionati sono basati sul principio della reazione negativa (o feedback):

1. il segnale di ingresso $i$ viene amplificato nell'uscita $u$ di un fattore $A$: $u=A\cdot d$;
2. l'uscita $u$ viene ridotta nella parte $E$ del fattore di partizione $\beta$: $E=\beta \cdot u$;
3. la parte $E$ viene riportata al morsetto invertente;
4. la parte $E$ viene confrontata con l'ingresso $i$ tramite l'errore $d$, che è la differenza tra l'ingresso $i$ e la parte $E$:

${\begin{cases}d=i-E\\E=\beta \cdot u\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}d=i-\beta u\\u=A\cdot d\end{cases}}\Rightarrow u={\frac {A}{1+A\beta }}i$

Si parla di reazione negativa perché la parte $E$ dell'uscita $u$, riportata sul morsetto invertente, viene sottratta all'ingresso $i$.

Il guadagno di anello $T=A\beta$ è il contributo del ramo di reazione all'amplificazione del segnale. Se non c'è reazione ($\beta =0$), l'amplificazione si dice ad anello aperto, e l'ingresso $i$ è amplificato esattamente del fattore $A$: $u=A\cdot i$.

Criticità

Se $A\beta =-1$ l'uscita $u$ diverge → il sistema reazionato diventa instabile.

Amplificatori reazionati

Poiché il guadagno di anello di un amplificatore operazionale ideale è sempre infinito:

$A=A_{d}\rightarrow +\infty \Rightarrow A\beta \rightarrow +\infty$

l'amplificatore operazionale ideale rende l'amplificazione ${\tfrac {u}{i}}$ complessiva del sistema reazionato indipendente dal fattore $A$:

$A\beta \rightarrow +\infty \Rightarrow {\frac {u}{i}}={\frac {A}{1+A\beta }}\simeq {\frac {1}{\beta }},\quad \beta <1\Rightarrow u>i$

Generalmente, le resistenze di ingresso e di uscita si comportano idealmente o da cortocircuiti o da circuiti aperti a seconda se i segnali sono correnti o tensioni.

L'amplificatore è invertente se il segnale viene applicato al morsetto invertente e viceversa, con la convenzione: tensione verso l'uscita dell'operazionale, corrente entrante nell'uscita dell'operazionale.

Se il circuito comprende un solo amplificatore operazionale, affinché sia un circuito amplificatore il ramo di reazione deve essere sempre collegato al morsetto invertente.

Per studiare un circuito con amplificatori operazionali, si possono usare le regole dell'elettrotecnica per eliminare gli elementi che non perturbano il comportamento del circuito (ad es. i resistori in parallelo con generatori di tensione diventano circuiti aperti).

Amplificatore di tensione non invertente ($V\longrightarrow V$)

L'amplificatore operazionale può essere impiegato per realizzare circuiti amplificatori di tensione, con guadagno $A_{V}$ assegnato, di tipo reazionato: la parte $E=V_{E}$ della tensione $u=V_{u}$ viene riportata al morsetto invertente e confrontata con la tensione $d=V_{d}$. Le resistenze $R_{1}$ e $R_{2}$ sono in serie perché $i_{-}=0$ → la tensione $V_{u}$ si ripartisce su di esse:

${\begin{cases}V_{E}={\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}V_{u}=\beta V_{u}\\V_{d}=V_{i}+V_{E}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}V_{d}=V_{i}-\beta V_{u}\\V_{d}\rightarrow 0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}V_{u}={\frac {1}{\beta }}V_{i}\\V_{u}=A_{V}V_{i}\end{cases}}\Rightarrow A_{V}={\frac {V_{u}}{V_{i}}}={\frac {1}{\beta }}=1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}$

Parametri

Il circuito può quindi essere modellato come il suo doppio bipolo equivalente definito da 3 parametri:

${\begin{cases}A_{V}=1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}\\R_{i}\rightarrow +\infty \\R_{u}\rightarrow 0\end{cases}}$

• la resistenza di ingresso $R_{i}$ è infinita perché le correnti ai terminali di ingresso sono nulle;
• la resistenza $R_{u}$ interna all'amplificatore operazionale ideale è nulla → la tensione $V_{u}$ non si ripartisce tra i resistori $R_{u}$ e $R_{c}$, ma si applica interamente al resistore $R_{c}$ indipendentemente dal suo valore di resistenza;
• l'amplificazione $A_{V}$ del circuito è minore di quella che avrebbe l'amplificatore operazionale ideale se preso singolarmente, ma ci sono dei vantaggi:
  • l'amplificazione è indipendente dalle caratteristiche dell'amplificatore operazionale;
  • l'amplificazione dipende solo dal rapporto delle resistenze $R_{1}$ e $R_{2}$ → è indipendente dai singoli valori di resistenza purché il loro rapporto sia mantenuto;
  • il sistema reazionato ha migliori prestazioni e una maggiore stabilità.

Inseguitore di tensione

L'inseguitore di tensione (o voltage follower) è un buffer che trasferisce tutta la tensione $V_{i}$ sul carico $R_{c}$ indipendentemente dal suo valore di resistenza.

Resistenze

La resistenza di carico $R_{c}$ e la resistenza $R_{S}$ del generatore reale sono disaccoppiate:

• la tensione $V_{S}$ del generatore non viene ripartita in $V_{i}$ e non dipende dalla resistenza interna $R_{S}$:

${\begin{cases}V_{i}=V_{S}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{S}}}\\R_{i}\rightarrow +\infty \end{cases}}\Rightarrow V_{i}=V_{S}$

• la resistenza $R_{u}$ è nulla → la tensione $V_{u}$ non si ripartisce tra i resistori $R_{u}$ e $R_{c}$, ma si applica interamente al resistore $R_{c}$ indipendentemente dal suo valore di resistenza.

Tensioni

L'inseguitore può essere visto come un amplificatore con guadagno $A_{V}$ unitario, in cui tutta la tensione di uscita $V_{u}$ viene riportata attraverso il terminale invertente a quella d'ingresso $V_{i}$:

${\begin{cases}A_{V}={\frac {1}{\beta }}=1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}\\R_{1}=0\wedge R_{2}\rightarrow +\infty \end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}\beta =1\\V_{d}=V_{i}-\beta V_{u}\rightarrow 0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}V_{i}=V_{u}\\A_{V}=1\end{cases}}$

Amplificatore di transresistenza invertente ($I\longrightarrow V$)

Il generatore di corrente è disaccoppiato dal carico:

• la resistenza d'ingresso $R_{i}$ è idealmente nulla:

${\begin{cases}R_{i}={\frac {V_{-}}{I_{i}}}={\frac {-V_{d}}{I_{i}}}\\V_{d}\rightarrow 0\end{cases}}\Rightarrow R_{i}=0$

• la resistenza $R_{u}$ è nulla → la tensione $V_{u}$ non si ripartisce tra i resistori $R_{u}$ e $R_{c}$, ma si applica interamente al resistore $R_{c}$ indipendentemente dal suo valore di resistenza.

Se il generatore non fosse disaccoppiato dal carico, il generatore invierebbe corrente verso un circuito aperto. È un amplificatore invertente perché ha una transresistenza $R_{m}$ negativa:

${\begin{cases}V_{u}=-V_{d}-R_{M}I_{M}\\V_{d}\rightarrow 0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}V_{u}=-R_{M}I_{M}\\I_{-}=0\Rightarrow I_{M}=I_{i}\end{cases}}\Rightarrow R_{m}={\frac {V_{u}}{I_{i}}}=-R_{M}<0$

Fotorivelatore

In un fotorivelatore le correnti e la tensione $V_{u}$ sono proporzionali all'intensità $L$ della radiazione luminosa incidente:

$I_{i}=I_{M}=KL\Rightarrow V_{u}=-R_{M}I_{i}=-KR_{M}L$

dove $K$ è una proprietà intrinseca del fotorivelatore.

Amplificatore di tensione invertente ($V\longrightarrow V$)

Il generatore di tensione d'ingresso è applicato al morsetto invertente anziché a quello non invertente.

Parametri

• amplificazione $A_{V}$: anche in questo caso dipende solo dal rapporto tra le due resistenze $R_{1}$ e $R_{2}$:

${\begin{cases}I_{1}={\frac {V_{i}-V_{d}}{R_{1}}}\\V_{d}\rightarrow 0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}I_{1}={\frac {V_{i}}{R_{1}}}\\I_{-}=0\Rightarrow I_{1}=I_{2}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}I_{2}={\frac {V_{i}}{R_{1}}}\\V_{d}\rightarrow 0\Rightarrow V_{u}=-R_{2}I_{2}\end{cases}}\Rightarrow A_{V}={\frac {V_{u}}{V_{i}}}=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}$

• resistenza $R_{i}$: coincide con la resistenza $R_{1}$ → non rientra nei casi ideali;
• resistenza $R_{u}$: è quella nulla dell'amplificatore operazionale ideale, perché l'uscita è indipendente dal carico.

Integratore attivo

L'integratore attivo è un amplificatore di tensione invertente il cui amplificatore operazionale è un circuito attivo: la resistenza di reazione è sostituita da un condensatore avente ai capi una tensione $V_{u}$:

${\begin{cases}-V_{u}\left(s\right)={\frac {1}{sC}}\cdot I_{2}\left(s\right)\\I_{2}\left(s\right)=I_{1}={\frac {V_{i}\left(s\right)}{R}}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}V_{u}\left(s\right)=-{\frac {1}{RC}}\cdot {\frac {V_{i}\left(s\right)}{s}}\\{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {X\left(s\right)}{s}}\right]\left(t\right)=\int _{0}^{t}x\left(\alpha \right)d\alpha \end{cases}}\Rightarrow V_{u}\left(t\right)=-{\frac {1}{RC}}\cdot {\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {V_{i}\left(s\right)}{s}}\right]\left(t\right)=-{\frac {1}{RC}}\cdot \int _{0}^{t}V_{i}\left(\alpha \right)d\alpha$

Derivatore attivo

$V_{u}=-RI_{1}=-sCRV_{i}\Rightarrow V_{u}\left(t\right)=-RC{\frac {dV_{i}}{dt}}$

Amplificatore di corrente non invertente ($I\longrightarrow I$)

L'uscita in corrente richiede che l'impedenza di carico $Z_{c}$ sia posta in serie all'uscita dell'amplificatore operazionale.

Parametri

• amplificazione $A_{i}$: è indipendente dall'impedenza $Z_{c}$:

${\begin{cases}I_{-}=0\Rightarrow I_{i}=I_{1}\\V_{d}\rightarrow 0\Rightarrow R_{1}I_{1}=R_{2}I_{2}\\I_{u}=I_{1}+I_{2}\end{cases}}\Rightarrow A_{i}={\frac {I_{u}}{I_{i}}}=1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}$

• resistenza $R_{i}$: è nulla → non rientra nei casi ideali;
• resistenza $R_{u}$: $I_{1}$ e $I_{2}$ non dipendono da $Z_{c}$ → la corrente $I_{u}$ non dipende dal valore di carico $Z_{c}$ → la resistenza $R_{u}$ è infinita.

Inseguitore di corrente

L'inseguitore di corrente è un buffer che, analogamente all'inseguitore di tensione, trasferisce tutta la corrente $I_{i}$ sul carico $Z_{c}$ indipendentemente dal suo valore di resistenza.

Resistenze

La resistenza di carico $Z_{c}$ e la resistenza $R_{S}$ del generatore reale sono disaccoppiate:

• la corrente $I_{i}$ del generatore non viene ripartita in $I_{1}$ e non dipende dalla resistenza interna $R_{S}$:

${\begin{cases}I_{1}=I_{i}{\frac {G_{i}}{G_{i}+G_{S}}}\\R_{i}=0\Rightarrow G_{i}\rightarrow +\infty \end{cases}}\Rightarrow I_{1}=I_{i}$

• la resistenza $R_{u}$ interna all'amplificatore operazionale ideale è infinita → la corrente $I_{u}$ non si ripartisce tra i resistori $R_{u}$ e $Z_{c}$, ma attraversa interamente il resistore $Z_{c}$ indipendentemente dal suo valore di resistenza.

Correnti

L'inseguitore può essere visto come un amplificatore con guadagno $A_{i}$ unitario:

${\begin{cases}A_{V}={\frac {I_{u}}{I_{i}}}=1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}\\R_{1}=0\wedge R_{2}\rightarrow +\infty \end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}I_{i}=I_{u}\\A_{V}=1\end{cases}}$

Amplificatore di transconduttanza non invertente ($V\longrightarrow I$)

Parametri

• transconduttanza $G_{m}$:

  ${\begin{cases}I_{-}=0\Rightarrow I_{u}=I_{S}={\frac {V_{S}}{R_{S}}}\\V_{d}\rightarrow 0\Rightarrow V_{S}=V_{i}\end{cases}}\Rightarrow G_{m}={\frac {I_{u}}{V_{i}}}={\frac {1}{R_{S}}}$

• resistenza $R_{i}$: la tensione del generatore non viene ripartita in $V_{i}$:

  ${\begin{cases}R_{i}={\frac {V_{i}}{I_{i}}}\\I_{i}=I_{+}=0\end{cases}}\Rightarrow R_{i}\rightarrow +\infty$

• resistenza $R_{u}$: la corrente $I_{u}$ è uguale alla corrente $I_{S}$ indipendentemente dal valore di carico $R_{c}$ → la resistenza $R_{u}$ è infinita.