Onde meccaniche elastiche/Onde stazionarie

A differenza dei tipi di onde finora studiate, le onde stazionarie non si propagano nello spazio. Queste nascono dalla sovrapposizione di onde aventi stessa frequenza, stessa lunghezza d'onda e stessa ampiezza, ma si propagano in direzioni opposte. Le due onde hanno, genericamente, funzione:

${\begin{aligned}&\alpha _{1}(x,\,t)=A\sin(kx-\omega t)\\&\alpha _{2}(x,\,t)=A\sin(kx+\omega t)\end{aligned}}$

L'onda risultante ha funzione quindi (utilizzando le espressioni di prostaferesi):

$\alpha (x,\,t)=2A\cos \omega t\,\sin kx$

L'onda, quindi, non si propaga, ma rimane in una porzione limitata dello spazio. Un punto di generica coordinate $x$ oscilla di moto armonico con pulsazione $\omega$ e ampiezza $2A\sin kx$. Vi saranno anche punti fermi che non oscillano, quelli per i quali $\sin kx=0$, ovvero quando:

$kx=n\pi \Rightarrow x={\frac {n\pi }{k}}={\frac {n\pi }{\frac {2\pi }{\lambda }}}=n{\frac {\lambda }{2}}$

Con $n$ numero intero. Questi punti si troveranno, quindi, a multipli interi di metà lunghezza d'onda, e vengono chiamati nodi dell'onda stazionaria. Così come questi punti non oscillano, altri punti oscilleranno di ampiezza massima; per questi vale $sinkx=1$, quindi:

$kx={\frac {2n+1}{2}}\pi \Rightarrow x={\frac {(2n+1){\frac {\pi }{2}}}{\frac {2\pi }{\lambda }}}=n{\frac {\lambda }{2}}+{\frac {\lambda }{4}}$

Questi punti vengono invece chiamata ventri dell'onda stazionaria.

In un'onda stazionaria, quindi, ogni punto oscilla con pulsazione $\omega =kv={\frac {2\pi v}{\lambda }}$, e avranno frequenza pari a $nu={\frac {v}{\lambda }}$.

Un esempio classico di onda stazionaria è una corda vibrante, i cui estremi sono fissati, come le corde di uno strumento musicale; la lunghezza $L$ della corda sarà tale che $L=n{\frac {\lambda }{2}}$, ovvero conterrà un numero intero di mezze lunghezze d'onda. Quando è presente un solo ventre, avremo che $L={\frac {\lambda }{2}}$, e la corda si trova alla sua armonica fondamentale; per $n>2$, si dice che la corda si trova alle armoniche superiori.

Quando una corda vibra, il contributo maggiore alla vibrazione è dato dalla sua armonica fondamentale, mentre le armoniche superiori contribuiscono in minor modo. Il mescolamento dei vari modi di vibrazione, chiamati modi normali, definisce il timbro di uno strumento musicale.

Come abbiamo visto, la lunghezza d'onda di un'onda stazionaria è determinata da vincoli geometrici. La frequenza del suono generato da una corda oscillante, tuttavia, dipende dalla velocità di propagazione dell'onda che, come abbiamo visto meglio trattando le onde trasversali, vale

$v={\sqrt {\frac {\tau }{\mu }}}$

Da cui deriva che la frequenza del suono generato da una corda vibrante è:

$\nu ={\frac {1}{\lambda }}\,{\sqrt {\frac {\tau }{\mu }}}$

Dove $\lambda$ è la lunghezza d'onda dell'onda, mentre $\tau$ e $\mu$ sono caratteristiche fisiche della corda vibrante.