Onde meccaniche elastiche/Interferenza

In questo modulo studieremo cosa accade in un mezzo se si propagano più onde contemporaneamente.

Supponiamo che in una regione di spazio si propaghino due onde di uguale lunghezza d'onda e sfasate tra loro di un fattore $\delta$; queste onde le chiameremo coerenti e, ipotizzando abbiamo la stessa ampiezza, possiamo esprimerle come:

${\begin{aligned}&\alpha _{1}(x,\,t)=A\sin(kx-\omega t)\\&\alpha _{2}(x,\,t)=A\sin(kx-\omega t-\delta )\end{aligned}}$

Vedremo come il risultato delle due onde non sia intuitivo; si è portati a dire che l'ampiezza della risultante sia la somma delle due, e invece vedremo come anche essa non sia uniforme nello spazio. Innanzitutto, le due onde hanno la stessa intensità pari a:

$I_{1}=I_{2}={\frac {1}{2}}A^{2}\rho \omega ^{2}v$

Per il principio di sovrapposizione, possiamo scrivere il fenomeno risultante come:

$\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}=A\sin(kx-\omega t)+A\sin(kx-\omega t-\delta )$

Scritta così, non è proprio il massimo, sfruttando le leggi di prostaferesi, ovvero $\sin a+\sin b=2\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)$, possiamo scrivere la risultante come:

$\alpha (x,\,t)=2A\cos \left({\frac {kx-\omega t-kx+\omega t+\delta }{2}}\right)\sin \left({\frac {kx-\omega t+kx-\omega t-\delta }{2}}\right)$

Svolgendo i calcoli, otteniamo la funzione dell'onda risultante:

$\alpha (x,\,t)=2A\cos {\frac {\delta }{2}}\sin \left(kx-\omega t-{\frac {\delta }{2}}\right)$

Osserviamo che anche la risultante ha una natura ondulatoria. La lunghezza d'onda è pari a quella delle onde generatrici, ma l'ampiezza $\left|2A\cos {\frac {\delta }{2}}\right|$ non è la somma delle ampiezze precedenti, bensì dipende da $\delta$. Avremo allora

• se $\cos {\frac {\delta }{2}}=\pm 1$, interferenza costruttiva
• se $\cos {\frac {\delta }{2}}=0$, interferenza distruttiva

Ricaviamoci adesso l'intensità dell'onda risultante, ovvero:

$I_{r}={\frac {1}{2}}\rho \omega ^{2}vA^{2}={\frac {1}{2}}\rho \omega ^{2}v\left(4A^{2}\cos ^{2}{\frac {\delta }{2}}\right)=4I\cos ^{2}{\frac {\delta }{2}}$

Come l'ampiezza, anche l'interferenza dipende da $\delta$; come prima, si hanno interferenza costruttive o distruttive.

Come possiamo esprimere lo sfasamento $\delta$? Questo si può fare sia temporalmente che spazialmente. Consideriamo l'istante $t=0$; le due onde si esprimono:

${\begin{aligned}&\alpha _{1}(x,\,0)=A\sin kx\\&\alpha _{2}(x,\,0)=A\sin(kx-\delta )=A\sin \left[k\left(x-{\frac {\delta }{k}}\right)\right]\end{aligned}}$

Le due onde hanno la stessa ampiezza, stessa lunghezza d'onda ma sono sfasate spazialmente. Allora possiamo ragionare in termini di spazio, quindi:

• se ${\frac {\delta }{k}}=0,\,2\pi ,\,4\pi ...$ le ampiezze si sommano, interferenza costruttiva
• se ${\frac {\delta }{k}}=\pi ,\,3\pi ,\,5\pi ...$ le ampiezze si sottraggono, interferenza distruttiva

Oltre allo sfasamento spaziale, può esserci il caso del ritardo temporale; scelta una posizione $x=0$, le due onde saranno:

${\begin{aligned}&\alpha _{1}(0,\,t)=-A\sin \omega t\\&\alpha _{2}(0,\,t)=-A\sin \omega \left(t+{\frac {\delta }{\omega }}\right)\end{aligned}}$

Le due onde sono ritardate di un tempo $\tau ={\frac {\delta }{\omega }}$. Questo vuol dire che le due onde sono coerenti e generate da due punti diversi dello spazio $S_{1}$ e $S_{2}$, e giungono con tempi diversi in due punti $P_{1}$ e $P_{2}$. Questo genera un fenomeno di interferenza: in alcune regioni dello spazio si ha un'interferenza costruttiva, in altre distruttiva. La conservazione dell'energia è mantenuta, solo che la densità di energia nello spazio non è più costante, ma varia da regione a regione.

Battimenti

Anche il fenomeno dei battimenti rientra nelle interferenze; questi si hanno quando i numeri d'onda delle due onde sono diversi, ma di una quantità molto piccola, ovvero:

${\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\approx 10^{-2}$

Possiamo scrivere le due onde come sappiamo fare e ricavarne la risultante sfruttando ancora una volta prostaferesi:

${\begin{aligned}&\alpha _{1}(x,\,t)=A\sin(k_{1}x-\omega _{1}t)\\&\alpha _{2}(x,\,t)=A\sin(k_{2}x-\omega _{2}t)\end{aligned}}$

$\alpha (x,\,t)=2A\cos \left[\left({\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}\right)x-\left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}\right)t\right]\sin \left[\left({\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}\right)x-\left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)t\right]$

Se sono soddisfatte le ipotesi del problema, ovvero che i numeri d'onda differiscano di poco, possiamo allora approssimare:

$\omega _{1}\approx \omega _{2}\approx {\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}=\omega$

$k_{1}\approx k_{2}\approx {\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}=k$

Quindi scriviamo l'onda risultante come:

${\begin{aligned}&\alpha (x,\,t)=2A\cos \left[\left({\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}\right)x-\left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}\right)t\right]\sin(kx-\omega t)\\&\alpha (x,\,t)=B(x,\,t)\sin(kx-\omega t)\end{aligned}}$

L'onda $B(x,\,t)$ ha ampiezza modulata e velocità:

$v_{B}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\omega _{1}\omega _{2}}{k_{1}-k_{2}}}$

Ricordando che $\omega _{1}=k_{1}v$ e $\omega _{2}=k_{2}v$, allora otteniamo che:

$v_{B}={\frac {k_{1}v-k_{2}v}{k_{1}-k_{2}}}=v$

In conclusione, nel fenomeno dei battimenti, l'onda risultante è il prodotto tra un'onda modulata e un'onda modulante, con la stessa velocità; sentiremo quindi un suono che scompare periodicamente.