Onde meccaniche elastiche/Formulario

Onde meccaniche

Funzione generale di un'onda meccanica:

$\alpha (x,\,t)$

Equazione differenziali alle coordinate parziali che ogni funzione d'onda soddisfa:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}$

Onde sinusoidali

Funzione generale di un'onda sinusoidale:

$\alpha (x,\,t)=A\sin \left[{\frac {2\pi }{\lambda }}(x\mp vt)\right]$

Lunghezza d'onda: $\lambda =vT$

Altri modi per scrivere le onde sinusoidali:

$\alpha (x,\,t)=A\sin(\omega t+\varphi )$

$\alpha (x,\,t)=A\sin(kx\mp \omega t+\varphi )$

Con numero d'onda $K={\frac {2\pi }{\lambda }}$, pulsazione $\omega ={\frac {2\pi v}{\lambda }}={\frac {2\pi }{T}}$

Principio di sovrapposizione

La risultante di più onde che si propagano nello stesso mezzo è:

$\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\cdots$

Onde longitudinali

Equazione differenziale delle onde longitudinali:

${\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial x^{2}}}={\frac {\rho }{E}}{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t^{2}}}$

Con $v={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}$

In un mezzo omogeneo che riempie uniformemente lo spazio (aria o gas):

${\frac {dV}{V}}=-{\frac {1}{k}}dP$

Con velocità: $v={\sqrt {\frac {\gamma P}{\rho }}}$, oppure, in funzione dei parametri del gas: $v={\sqrt {\gamma {\frac {RT}{M}}}}$

Onde trasversali

Equazione differenziale delle onde trasversali:

${\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{\tau }}{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t^{2}}}$

Con velocità: $v={\sqrt {\frac {\tau }{\mu }}}$

Intensità e energia

L'intensità definita come:

$I={\frac {dE}{dSdt}}$

Esprimibile in funzione dei parametri dell'onda

$I={\frac {1}{2}}\rho \omega ^{2}A^{2}$

Intensità di riferimento per la scala in decibel $I_{0}=10^{-12}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}}}$; intensità in decibel:

$I_{db}=10\cdot \log _{10}\left({\frac {I}{I_{0}}}\right)$

Proporzionalità tra ampiezza dell'onda e distanza: $A\propto {\frac {1}{r}}$

Interferenza

Risultante di due onde che si propagano nello stesso mezzo con stesso lunghezza d'onda, stessa pulsazione e stessa ampiezza:

$\alpha (x,\,t)=2A\cos {\frac {\delta }{2}}\sin \left(kx-\omega t-{\frac {\delta }{2}}\right)$

Intensità dell'onda risultante:

$I={\frac {1}{2}}\rho \omega ^{2}v\,4A^{2}\cos ^{2}{\frac {\delta }{2}}=4I\cos ^{2}{\frac {\delta }{2}}$

Battimenti

Risultante di un battimento:

$\alpha (x,\,t)=2A\cos \left[\left({\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}\right)x-\left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}\right)t\right]\,\sin(kx-\omega t)=B(x,\,t)\sin(kx-\omega t)$

Onde stazionarie

Espressione generale di un'onda stazionaria:

$\alpha (x,\,t)=2A\cos \omega t\,\sin kx$

Posizione dei nodi: $x_{N}=n{\frac {\lambda }{2}}$ e dei ventri: $x_{V}=n{\frac {\lambda }{2}}+{\frac {\lambda }{4}}$

Frequenza del suono generato da una corda vibrante:

$\nu ={\frac {1}{\lambda }}\,{\sqrt {\frac {\tau }{\mu }}}$