Onde meccaniche elastiche/Onde longitudinali

Come già detto, le onde longitudinali si propagano nella stessa direzione di propagazione dell'onda. Prendiamo allora, come esempio, una sbarra di materiale elastico, di sezione costante $S$; lungo questa si propaga una perturbazione $\alpha (x,\,t)$. Un elemento di sbarra, di lunghezza $dx$, viene sottoposto alla forza di richiamo $d{\vec {F}}$ quando è investito dalla perturbazione. Per il secondo principio della dinamica:

$dF=dm\,a=\rho Sdx\,a=\rho Sdx\,{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t^{2}}}$

Abbiamo scritto la massa come $dm=\rho dV$, considerando che il volume dell'elemento vale $dV=Sdx$. L'accelerazione a cui è sottoposto l'elemento è esattamente $a={\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t^{2}}}$. La forza di richiamo è espressa dalla legge di Hooke per materiali metallici sottoposti a compressione, con $E$ modulo di Young:

$F(x)=-ES{\frac {dh}{h}}=-ES{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}$

La compressione si propaga lungo tutto il mezzo; scegliamo un asse orizzontale e poniamo l'elemento considerato tra le posizioni $x$ e $x+dx$; la forza agisce in questo intervallo in versi opposti, quindi:

$dF=F(x)-F(x+dx)=-{\frac {\partial F}{\partial x}}dx$

In questa sostituiamo l'espressione ricavata dalla legge di Hooke, per poi uguagliarla a quella trovata sfruttando il secondo principio della dinamica:

${\begin{aligned}dF=-&{\frac {\partial F}{\partial x}}dx=ES{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial x^{2}}}dx\\&ES{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial x^{2}}}dx=\rho Sdx{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial x^{2}}}={\frac {\rho }{E}}\,{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

Che riconosciamo essere la funzione di un'onda, che ha velocità pari a $v={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}$. Come possiamo notare, la velocità dell'onda dipende solo da caratteristiche fisiche del mezzo e non dalla perturbazione.

Il suono come onda longitudinale

Lo studio di una compressione che si propaga in un mezzo è strettamente legato al caso del suono, il quale, infatti, trattasi di una compressione delle particelle dell'aria che si propaga nello spazio.

Trattiamo quindi il caso di un mezzo elastico omogeneo che occupi tutto lo spazio uniformemente. Chiamato ${\frac {1}{k}}$ il coefficiente di compressibilità volumica del mezzo, studiamo come varia la pressione dell'aria. Dalla legge di Hooke $dF=-ES{\frac {dh}{h}}$ sappiamo che questa è la forza di richiamo, che genera quindi una pressione sulle superfici dello spazio:

${\begin{aligned}&dP={\frac {dF}{S}}=-{\frac {ES}{S}}\,{\frac {Sdh}{Sh}}\\&dP=-E{\frac {dV}{V}}\\&{\frac {dV}{V}}=-{\frac {1}{k}}dP\end{aligned}}$

Dove si è considerato $E=k$: il coefficiente di elasticità coincide con il coefficiente di compressibilità. Attraverso uno sviluppo identico a quello fatto per un mezzo elastico, si può giungere a ricavare la velocità dell'onda, pari a

$v={\sqrt {\frac {k}{\rho }}}$

Il caso interessante da considerare è quello dei gas. Quando un oggetto vibra, si presentano locali variazioni di pressione $dP$ corrispondenti a locali variazioni di densità. Dalle leggi della termodinamica, sappiamo valere nei gas la relazione:

$PV^{\gamma }={\text{ cost}}$

Dove $\gamma$ è una costante dei gas, che vale:

${\begin{cases}&\gamma ={\frac {5}{3}}{\text{ gas monoatomico}}\\&\gamma ={\frac {7}{5}}{\text{ gas biatomico}}\end{cases}}$

Differenziando la relazione tra pressione e volume, otteniamo:

${\begin{aligned}&P\gamma V^{\gamma -1}dV+VdP=0\\&P\gamma dV+VdP=0\\&{\frac {dV}{V}}=-{\frac {1}{\gamma P}}dP\end{aligned}}$

In questi casi, il coefficiente di compressibilità volumica vale $k=\gamma P$. La velocità di propagazione di un'onda elastica nei gas, quindi, vale:

$v={\sqrt {\frac {\gamma P}{\rho }}}$

A volte può essere utile scriverla in funzione della temperatura e del peso molecolare del gas presente; sfruttando quindi l'equazione di stato dei gas perfetti:

${\frac {m}{M}}RT=PV\Rightarrow {\frac {RT}{M}}=P{\frac {V}{m}}={\frac {P}{\rho }}$

Possiamo esprimere la velocità come:

$v={\sqrt {\gamma \,{\frac {RT}{M}}}}$

Dove $R$ è la costante universale dei gas, $T$ la temperatura e $M$ il peso molecolare del gas.