Micro e nanotecnologia/Microtecnologia/Il plasma/Fisica del plasma

Un plasma è in genere neutro in quanto le sue cariche libere positive e negative si compensano a vicenda. Ma vanno introdotte delle grandezze fisiche che determinano alcune proprietà macrocopiche: la lunghezza di Debye e la frequenza di plasma.

Tali grandezze fisiche intervengono quando azioni esterne cambiano lo stato di equilibrio dinamico di un plasma, costituito da un numero eguale di ioni positivi per unità di volume $n_{i0}\$ ed di $n_{e0}\$. Tali cariche sono distribuite uniformemente nella regione del plasma.

Lunghezza di Debye

Il plasma avendo un notevole numero di cariche libere tende a schermare disturbi esterni. Quindi se si ha localmente uno ione positivo si forma attorno ad esso una nuvola elettronica che tende a schermare tale disturbo esterno. Per questa ragione la dimensione della interazione coulombiana all'interno di un plasma è fortemente ridotta rispetto al caso di un gas rarefatto.

È dovuta a Debye una teoria che spiega quantitativamente il fenomeno. In realtà la teoria è stata sviluppata per elettroliti forti in soluzioni acquose. Tali sistemi hanno forti analogie con i plasmi.

La densità di elettroni attorno ad uno ione, assumendo valida la distribuzione di Maxwell-Boltzmann, (anche se spesso il sistema non si possa considerare propriamente all'equilibrio termodinamico) vale:

$n_{e}(r)=n_{e0}\exp {\left[{\frac {eV(r)}{k_{B}T_{e}}}\right]}\$

dove $n(r)\$ è la densità locale di elettroni attorno allo ione, $V(r)\$ è il potenziale locale del plasma rispetto al plasma indisturbato, $T_{e}\$ è la temperatura degli elettroni. Se ci interessa la regione in cui $V(r)\$ è piccolo (energia termica media degli elettroni più grande dell’energia potenziale elettrostatica). Possiamo sviluppare l'esponenziale al primo ordine e scrivere l'espressione della densità di carica locale come:

$\rho (r)\approx en_{i0}-en_{e0}\left(1+{\frac {eV(r)}{k_{B}T_{e}}}\right)=-{\frac {e^{2}n_{e0}V(r)}{k_{B}T_{e}}}$

Notiamo come si sia considerato la distribuzione ionica imperturbata, a causa della molto minore temperatura degli ioni, e quindi la loro agitazione termica è trascurabile. Inserendo tale espressione nella equazione di Poisson scritta in coordinate polari attorno allo ione e rinominando $n_{e0}\$ con $n_{e}\$:

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial r^{2}}}={\frac {e^{2}n_{e}V(r)}{k_{B}T_{e}\varepsilon _{o}}}$

La cui soluzione è:

$V(r)=V_{o}e^{-r/\lambda _{D}}$

Cioè il potenziale nelle vicinanze di uno ione diminuisce esponenzialmente con il rapporto tra la distanza e la lunghezza di Debye:

$\lambda _{D}^{2}\ ={\frac {\varepsilon _{o}k_{B}T_{e}}{e^{2}n_{e}\ }}$

Nota che si è esclusa nel risolvere l'equazione differenziale la soluzione divergente con la distanza $r\$ (cioè il termine $e^{r/\lambda _{D}}$), che non ha senso fisico.

Il risultato si traduce nel fatto che intorno ad ogni carica positiva $q\$ il plasma crea una nuvola di carica spaziale che riduce il potenziale elettrico coulombiano fino ad annullare l’effetto di carica singola su distanze superiori a $\lambda _{D}\$, che prende appunto il nome di lunghezza di Debye. A distanze superiori alla lunghezza di Debye si misurano solo gli effetti collettivi e non quelli delle singole cariche. Esplicitando le costanti che figurano nell'espressione nel sistema internazionale, si ha che la lunghezza di Debye in metri se n_e è dato in m^-3:

$\lambda _{D}=69{\sqrt {\frac {T_{e}}{n_{e}}}}\$

Si può notare quindi che la lunghezza di Debye diminuisce al crescere della densità elettronica, (perché sono disponibili più elettroni per schermare), ed aumenta al crescere della temperatura (poiché aumenta la mobilità delle cariche).

Valori tipici della lunghezza di Debye

La tabella che segue  :

Plasma	Densità ne(m-3)	Temperatura degli elettroni T(K)	lunghezza di Debye λD(m)
Centro del Sole	1032	107	10−11
Scarica nei gas	1016	104	10−4
Ionosfera	1012	103	10−3
Magnetosfera	107	107	102
Mezzo interstellare	105	104	10

Numero di Debye

Il numero medio di elettroni in un plasma contenuto dentro un cubo di lato pari alla lunghezza di Debye viene chiamato numero di Debye:

$N_{D}=n_{e}\lambda _{D}^{3}$

Spesso invece si usa una altra grandezza adimensionale, praticamente coincidente a meno di un fattore $4\pi \$, detto parametro di plasma, che segue dalla teoria dello scattering Coulombiano

$\Lambda =4\pi n_{e}\lambda _{D}^{3}$

Essendo la lunghezza di Debye $\lambda _{D}={\sqrt {\frac {\epsilon _{0}kT_{e}}{n_{e}e^{2}}}}$, segue che il tale numero vale

$N_{D}={\frac {(\epsilon _{0}K_{B}T_{e})^{3/2}}{e^{3}n_{e}^{1/2}}}$

Se $N_{D}\ll 1\$ si ha che gli urti due a due tra le particelle sono il fenomeno fisico dominante, nell'altro caso estremo in cui $N_{D}\gg 1\$ si ha il cosiddetto plasma ideale in cui il comportamento collettivo dei costituenti è il fenomeno dominante. In questo caso l'equazione di stato dei gas perfetti descrive bene il comportamento delle varie componenti del plasma. Con i numeri della tabella precedente la scarica dei gas è il caso ideale con $N_{D}=100\gg 1\$.

Frequenza di plasma

Un altro importante fenomeno collettivo è costituito dalle oscillazioni di plasma. Supponiamo che una "fetta" di elettroni di sezione $S\$ si sposti di una quantità $x\$ nella direzione ortogonale a $S\$. Si formerà un campo elettrico perpendicolare alla superficie $S\$:

$\,|E|={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}\,$ .

dove $\sigma$ è determinato dalla densità superficiale di carica elettronica:

$\,\sigma ={\frac {Q}{S}}={\frac {n_{e}e\;S\;x}{S}}=en_{e}x\,$ .

Dove $Q=n_{e}eSx\$ è la carica che si spostata. Combinando le due espressioni si ottiene che la forza netta agente su ogni elettrone del plasma, opposta alla direzione del campo, è:

$\,F=-{\frac {n_{e}e^{2}}{\epsilon _{0}}}x\,$ .

La legge della dinamica per gli elettroni diventa quindi:

$\,m_{e}{\ddot {x}}+{\frac {n_{e}e^{2}}{\epsilon _{0}}}x=0\,$

L'equazione di un oscillatore armonico, con pulsazione:

$\,\omega _{p,e}=\left({\frac {n_{e}e^{2}}{m_{e}\epsilon _{0}}}\right)^{1/2}\,$

detta frequenza di plasma. Inserendo le costanti fisiche, si ottiene l'espressione:

$\,f_{p,e}={\frac {\omega _{p,e}}{2\pi }}=8.98\times n_{e}^{1/2}\;\mathrm {Hz} \,$

Quindi se $n_{e}\$ vale $10^{16}\ m^{-3}$ la frequenza di plasma vale 0.9 GHz.

Notare che analogamente si possa definire una frequenza di plasma per gli ioni:

$\,\omega _{p,i}=\left({\frac {n_{i}e^{2}}{m_{i}\epsilon _{0}}}\right)^{1/2}\,$

ma a causa della massa molto superiore, tale frequenza a parità di densità è circa due ordini di grandezza inferiore.

Bibliografia

• (EN) B. Chapman Glow Discharges Processes, John Wiley & Sons, 2ª ed., 1980, ISBN 978-0471078289.
• (EN) G. Franz Low Pressure Plasmas and Microstructures Technology, Springer, 2ª ed., 2009, ISBN 978-3642099397.

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