La definizione di differenziale k-mo data per le funzioni di una variabile reale si lascia facilmente generalizzare a quelle definite su spazi vettoriali: il differenziale di ordine k calcolato nel punto è una funzione k-lineare nei suoi argomenti e tale che come funzione lineare del suo k-mo argomento esso risulti pari alla parte lineare della variazione del differenziale (k-1)-mo rispetto ad una variazione del suo punto di applicazione:
Il differenziale k-mo ha come dominio e come codominio K o V a seconda che la funzione sia scalare o vettoriale.
D'altra parte può essere mappato in per mezzo del prodotto tensoriale ed esiste una corrispondenza "naturale" fra le applicazioni lineari su e quelle su .
Nel caso delle funzioni scalari tali applicazioni sono a valori in K, per cui esse appartengono al duale di e sono associate ad altrettanti tensori di tipo (0, k) tali che l'applicazione delle funzioni lineari al tensore di tipo (k, 0) costituito da si riduce ad un prodotto scalare in . Il tensore di tipo (0, k) che fa da "coefficiente" di è, per definizione, la derivata k-ma della funzione:
Per le funzioni vettoriali vale un discorso analogo, ma questa volta le funzioni sono a valori in V, cioè restituiscono un vettore, per cui esse sono associate ad altrettanti tensori di tipo (1, k) che danno uno scalare quando vengano moltiplicati per un tensore di tipo (k, 1). I primi tensori, quelli di tipo (1, k), sono - per definizione - le derivate della funzione.
Ci sono diversi modi di rendere questa relazione:
si scrive il prodotto scalare di con un generico covettore ω:
La derivata direzionale k-ma, essendo riconducibile alla derivata di una funzione di una variabile scalare, è definita in modo ordinario:
funzioni scalari
funzioni vettoriali
Relazioni funzionali e notazione di LeibnizModifica
Utilizzando la funzione identità scritta come , si può definire la funzione k-lineare tale che:
per cui si ha:
funzioni scalari
funzioni vettoriali
Si può allora recuperare, almeno formalmente, la notazione di Leibniz, scrivendo la derivata come "rapporto" fra differenziali:
funzioni scalari
funzioni vettoriali
dove l'espressione:
va intesa semplicemente come espressione formale per dire che è possibile definire un qualche "prodotto" in modo tale che B sia esprimibile come "prodotto" di A per C
Il fatto che il differenziale e la derivata direzionale siano due operatori "scalari" si rivela particolarmente utile non solo perché essi - come si è visto - si applicano nello stesso modo sia alle funzioni scalari sia a quelle vettoriali (agendo indipendentemente su ogni componente), ma anche perché le loro "potenze" si scrivono come potenze ordinarie di uno scalre. Più precisamente si ha:
Di qui segue che:
funzioni scalari
funzioni vettoriali
e poiché nel differenziale il "coefficiente" di è la derivata, si ha:
La generalizzazione dello sviluppo in serie di potenze a funzioni definite su spazi vettoriali è uno sviluppo in una serie di funzioni k-lineari simmetriche avente come argomento la k-pla :
funzioni scalari
funzioni vettoriali
dove le funzioni k-lineari hanno come dominio e come codominio K o V a seconda che la funzione sia scalare o vettoriale.
Analogamente a quanto si è fatto con i differenziali, il termine k-mo si può scrivere come:
funzioni scalari
funzioni vettoriali
Lo sviluppo in serie della funzione può dunque essere riscritto nel modo seguente:
funzioni scalari
funzioni vettoriali
Relazioni fra i termini dello sviluppo e le derivateModifica
Lo sviluppo in serie della funzione e della funzione , essendo queste definite su K, si fa in termini di derivate ordinarie nell'argomento scalare :
funzioni scalari
funzioni vettoriali
Questo sviluppo va confrontato con quello che si ottiene in termini multilineari considerando argomento di f:
funzioni scalari
funzioni vettoriali
Dal confronto si vede che:
funzioni scalari
funzioni vettoriali
Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle D_{\hat \mathbf v}^k \mathbf f(\mathbf x_0) = k! \, \mathbf A^k (\mathbf x_0) \hat \mathbf v^{\otimes k}}
d'altra parte si ha anche:
funzioni scalari
funzioni vettoriali
da cui segue che
funzioni scalari
funzioni vettoriali
Relazione fra i termini dello sviluppo e i differenzialiModifica
Essendo le derivate i "coefficienti" del differenziale, la relazione fra il differenziale k-mo e il k-mo termine dello sviluppo è analoga a quella che intercorre fra la k-ma derivata e il "coefficiente" del k-mo termine:
funzioni scalari
funzioni vettoriali
Usando l'operatore differenziale risulta particolarmente agevole esprimere il k-mo termine dello sviluppo della funzione: