Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali - ordini successivi

Differenziale k-mo

La definizione di differenziale k-mo data per le funzioni di una variabile reale si lascia facilmente generalizzare a quelle definite su spazi vettoriali: il differenziale di ordine k calcolato nel punto $\mathbf {x} _{0}$ è una funzione k-lineare nei suoi argomenti $(\Delta \mathbf {x} _{1},\cdots ,\Delta \mathbf {x} _{k})$ e tale che come funzione lineare del suo k-mo argomento esso risulti pari alla parte lineare della variazione del differenziale (k-1)-mo rispetto ad una variazione del suo punto di applicazione:

funzioni scalari

$d^{k-1}f(\mathbf {x} _{0}+\Delta \mathbf {x} _{k})(\Delta \mathbf {x} _{1},\cdots ,\Delta \mathbf {x} _{k-1})=d^{k-1}f(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} _{1},\cdots ,\Delta \mathbf {x} _{k-1})+d^{k}f(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} _{1},\cdots ,\Delta \mathbf {x} _{k-1},\Delta \mathbf {x} _{k})+o(\|\Delta \mathbf {x} _{k}\|)\;$

funzioni vettoriali

$d^{k-1}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}+\Delta \mathbf {x} _{k})(\Delta \mathbf {x} _{1},\cdots ,\Delta \mathbf {x} _{k-1})=d^{k-1}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} _{1},\cdots ,\Delta \mathbf {x} _{k-1})+d^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} _{1},\cdots ,\Delta \mathbf {x} _{k-1},\Delta \mathbf {x} _{k})+o(\|\Delta \mathbf {x} _{k}\|)\;$

Derivata k-ma

Il differenziale k-mo ha come dominio $V^{k}:=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{k}$ e come codominio K o V a seconda che la funzione sia scalare o vettoriale.

D'altra parte $V^{k}$ può essere mappato in $V^{\otimes k}:=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k}$ per mezzo del prodotto tensoriale ed esiste una corrispondenza "naturale" fra le applicazioni lineari su $V^{k}$ e quelle su $V^{\otimes k}$.

Funzioni scalari

Nel caso delle funzioni scalari tali applicazioni sono a valori in K, per cui esse appartengono al duale di $V^{\otimes k}$ e sono associate ad altrettanti tensori di tipo (0, k) tali che l'applicazione delle funzioni lineari al tensore di tipo (k, 0) costituito da $\Delta x_{1}\otimes \cdots \otimes \Delta x_{k}$ si riduce ad un prodotto scalare in $V^{\otimes k*}\times V^{\otimes k}$. Il tensore di tipo (0, k) che fa da "coefficiente" di $\Delta \mathbf {x} _{1}\otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf {x} _{k}$ è, per definizione, la derivata k-ma della funzione:

$d^{k}f(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} _{1},\cdots ,\Delta \mathbf {x} _{k})=<D^{k}f(\mathbf {x} _{0}),\Delta \mathbf {x} _{1}\otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf {x} _{k}>$

Funzioni vettoriali

Per le funzioni vettoriali vale un discorso analogo, ma questa volta le funzioni $d^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})$ sono a valori in V, cioè restituiscono un vettore, per cui esse sono associate ad altrettanti tensori di tipo (1, k) che danno uno scalare quando vengano moltiplicati per un tensore di tipo (k, 1). I primi tensori, quelli di tipo (1, k), sono - per definizione - le derivate della funzione.

Ci sono diversi modi di rendere questa relazione:

• si scrive il prodotto scalare di $d^{k}\mathbf {f}$ con un generico covettore ω:

$<\omega ,d^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} _{1},\cdots ,\Delta \mathbf {x} _{k})>=<D^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}),\omega \otimes \Delta \mathbf {x} _{1}\otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf {x} _{k}>$

• oppure si scrive $d^{k}\mathbf {f}$ come prodotto scalare parziale che "aspetta" un covettore per dare uno scalare:

$d^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} _{1},\cdots ,\Delta \mathbf {x} _{k})=<D^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}),-\otimes \Delta \mathbf {x} _{1}\otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf {x} _{k}>$

• oppure si definisce una "contrazione" fra il tensore (1,k) $D^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})$ e il tensore (k,0) $\Delta \mathbf {x} _{1}\otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf {x} _{k}$ tale che per ogni ω si abbia:

$<D^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}),\omega \otimes \Delta \mathbf {x} _{1}\otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf {x} _{k}>=<\omega ,D^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})\Delta \mathbf {x} _{1}\otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf {x} _{k}>$

dopodiché si può porre:

$d^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} _{1},\cdots ,\Delta \mathbf {x} _{k})=D^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})\Delta \mathbf {x} _{1}\otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf {x} _{k}$

Derivata direzionale k-ma

La derivata direzionale k-ma, essendo riconducibile alla derivata di una funzione di una variabile scalare, è definita in modo ordinario:

funzioni scalari

$D_{\hat {\mathbf {v} }}^{k}f(\mathbf {x} _{0}):=D^{k}(f\circ \mathbf {h} )(0)$

funzioni vettoriali

$D_{\hat {\mathbf {v} }}^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}):=D^{k}(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(0)$

Relazioni funzionali e notazione di Leibniz

Utilizzando la funzione identità scritta come $d\mathbf {x}$, si può definire la funzione k-lineare $d\mathbf {x} ^{\otimes k}$ tale che:

$d\mathbf {x} ^{\otimes k}(\Delta \mathbf {x} _{1},\cdots ,\Delta \mathbf {x} _{k})=\Delta \mathbf {x} _{1}\otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf {x} _{k}$

per cui si ha:

funzioni scalari

$d^{k}f(\mathbf {x} _{0})=<D^{k}f(\mathbf {x} _{0}),d\mathbf {x} ^{\otimes k}>$

funzioni vettoriali

$<\omega ,d^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})>=<D^{k}\mathbf {f} (x_{0}),\omega \otimes d\mathbf {x} ^{\otimes k}>$

$d^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=<D^{k}\mathbf {f} (x_{0}),-\otimes d\mathbf {x} ^{\otimes k}>=D^{k}\mathbf {f} (x_{0})d\mathbf {x} ^{\otimes k}$

Si può allora recuperare, almeno formalmente, la notazione di Leibniz, scrivendo la derivata come "rapporto" fra differenziali:

funzioni scalari

$D^{k}f(\mathbf {x} _{0})={\frac {d^{k}f(\mathbf {x} _{0})}{d\mathbf {x} ^{\otimes k}}}$

funzioni vettoriali

$D^{k}\mathbf {f} (x_{0})={\frac {d^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})}{d\mathbf {x} ^{\otimes k}}}$

dove l'espressione:

$A={\frac {B}{C}}$

va intesa semplicemente come espressione formale per dire che è possibile definire un qualche "prodotto" in modo tale che B sia esprimibile come "prodotto" di A per C

Operatori differenziali

Il fatto che il differenziale e la derivata direzionale siano due operatori "scalari" si rivela particolarmente utile non solo perché essi - come si è visto - si applicano nello stesso modo sia alle funzioni scalari sia a quelle vettoriali (agendo indipendentemente su ogni componente), ma anche perché le loro "potenze" si scrivono come potenze ordinarie di uno scalre. Più precisamente si ha:

$d^{k}=<d\mathbf {x} ,\nabla >^{k}=<d\mathbf {x} ^{\otimes k},\nabla ^{\otimes k}>$

$D_{\hat {\mathbf {v} }}^{k}=<{\hat {\mathbf {v} }},\nabla >^{k}=<{\hat {\mathbf {v} }}^{\otimes k},\nabla ^{\otimes k}>$

Di qui segue che:

funzioni scalari

$d^{k}f(\mathbf {x} _{0})=<d\mathbf {x} ^{\otimes k},\nabla ^{\otimes k}>f(\mathbf {x} _{0})=\nabla ^{\otimes k}f(\mathbf {x} _{0})d\mathbf {x} ^{\otimes k}$

funzioni vettoriali

${\begin{aligned}d^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})&=<d\mathbf {x} ^{\otimes k},\nabla ^{\otimes k}>\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=<d\mathbf {x} ^{\otimes k},\nabla ^{\otimes k}><-,\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})>=<d\mathbf {x} ^{\otimes k}\otimes -,\nabla ^{\otimes k}\otimes \mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})>=\\&=<-\otimes d\mathbf {x} ^{\otimes k},(\nabla ^{\otimes k}\otimes \mathbf {f} )^{T}(\mathbf {x} _{0})>=<-,(\nabla ^{\otimes k}\otimes \mathbf {f} )^{T}(\mathbf {x} _{0})d\mathbf {x} ^{\otimes k}>=(\nabla ^{\otimes k}\otimes \mathbf {f} )^{T}(\mathbf {x} _{0})d\mathbf {x} ^{\otimes k}\end{aligned}}$

e poiché nel differenziale il "coefficiente" di $d\mathbf {x} ^{\otimes k}$ è la derivata, si ha:

funzioni scalari

$D^{k}f=\nabla ^{\otimes k}f$

funzioni vettoriali

$D^{k}\mathbf {f} =(\nabla ^{\otimes k}\otimes \mathbf {f} )^{T}$

Sviluppo in serie

Termini multilineari

La generalizzazione dello sviluppo in serie di potenze a funzioni definite su spazi vettoriali è uno sviluppo in una serie di funzioni k-lineari simmetriche avente come argomento la k-pla $(\underbrace {\Delta \mathbf {x} ,\cdots ,\Delta \mathbf {x} } _{k})$:

funzioni scalari

$f(\mathbf {x} _{0}+\Delta \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} _{0})+\sum _{k=1}^{n}{F^{k}(\mathbf {x} _{0})(\underbrace {\Delta \mathbf {x} ,\cdots ,\Delta \mathbf {x} } _{k})}+o(\|\Delta \mathbf {x} \|^{n})$

funzioni vettoriali

$\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}+\Delta \mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})+\sum _{k=1}^{n}{\mathbf {F} ^{k}(\mathbf {x} _{0})(\underbrace {\Delta \mathbf {x} ,\cdots ,\Delta \mathbf {x} } _{k})}+o(\|\Delta \mathbf {x} \|^{n})$

dove le funzioni k-lineari hanno come dominio $V^{k}:=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{k}$ e come codominio K o V a seconda che la funzione sia scalare o vettoriale.

Analogamente a quanto si è fatto con i differenziali, il termine k-mo si può scrivere come:

funzioni scalari

$F^{k}(\mathbf {x} _{0})(\underbrace {\Delta \mathbf {x} ,\cdots ,\Delta \mathbf {x} } _{k})=<A^{k}(x_{0}),\Delta \mathbf {x} ^{\otimes k}>$

funzioni vettoriali

$\mathbf {F} ^{k}(\mathbf {x} _{0})(\underbrace {\Delta \mathbf {x} ,\cdots ,\Delta \mathbf {x} } _{k})=<\mathbf {A} ^{k}(x_{0}),-\otimes \Delta \mathbf {x} ^{\otimes k}>=\mathbf {A} ^{k}(x_{0})\Delta \mathbf {x} ^{\otimes k}$

Lo sviluppo in serie della funzione può dunque essere riscritto nel modo seguente:

funzioni scalari

$f(\mathbf {x} _{0}+\Delta \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} _{0})+\sum _{k=1}^{n}{<A^{k}(\mathbf {x} _{0}),\Delta \mathbf {x} ^{\otimes k}>}+o(\|\Delta \mathbf {x} \|^{n})$

funzioni vettoriali

$\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}+\Delta \mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})+\sum _{k=1}^{n}{\mathbf {A} ^{k}(\mathbf {x} _{0})\Delta \mathbf {x} ^{\otimes k}}+o(\|\Delta \mathbf {x} \|^{n})$

Relazioni fra i termini dello sviluppo e le derivate

Lo sviluppo in serie della funzione $f\circ \mathbf {h}$ e della funzione $\mathbf {f} \circ \mathbf {h}$, essendo queste definite su K, si fa in termini di derivate ordinarie nell'argomento scalare $\Delta v$:

funzioni scalari

$(f\circ \mathbf {h} )(\Delta v)=(f\circ \mathbf {h} )(0)+\sum _{k=1}^{n}{{\frac {1}{k!}}D^{k}(f\circ \mathbf {h} )(0)\Delta v^{k}}+o(|\Delta v|^{n})=f(\mathbf {x} _{0})+\sum _{k=1}^{n}{{\frac {1}{k!}}D_{\hat {\mathbf {v} }}^{k}f(\mathbf {x} _{0})\Delta v^{k}}+o(|\Delta v|^{n})$

funzioni vettoriali

$(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(\Delta v)=(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(0)+\sum _{k=1}^{n}{{\frac {1}{k!}}D^{k}(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(0)\Delta v^{k}}+o(|\Delta v|^{n})=\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})+\sum _{k=1}^{n}{{\frac {1}{k!}}D_{\hat {\mathbf {v} }}^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})\Delta v^{k}}+o(|\Delta v|^{n})$

Questo sviluppo va confrontato con quello che si ottiene in termini multilineari considerando $\mathbf {h} (\Delta v)$ argomento di f:

funzioni scalari

$(f\circ \mathbf {h} )(\Delta v)=f(\mathbf {h} (\Delta v))=f(\mathbf {x} _{0}+\Delta v{\hat {\mathbf {v} }})=f(\mathbf {x} _{0})+\sum _{k=1}^{n}{<A^{k}(\mathbf {x} _{0}),{\hat {\mathbf {v} }}^{\otimes k}>\Delta v^{k}}+o(|\Delta v|^{n})$

funzioni vettoriali

$(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(\Delta v)=\mathbf {f} (\mathbf {h} (\Delta v))=\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}+\Delta v{\hat {\mathbf {v} }})=\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})+\sum _{k=1}^{n}{\mathbf {A} ^{k}(\mathbf {x} _{0}){\hat {\mathbf {v} }}^{\otimes k}\Delta v^{k}}+o(|\Delta v|^{n})$

Dal confronto si vede che:

funzioni scalari

$D_{\hat {\mathbf {v} }}^{k}f(\mathbf {x} _{0})=k!<A^{k}(\mathbf {x} _{0}),{\hat {\mathbf {v} }}^{\otimes k}>$

funzioni vettoriali

$D_{\hat {\mathbf {v} }}^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=k!\,\mathbf {A} ^{k}(\mathbf {x} _{0}){\hat {\mathbf {v} }}^{\otimes k}$

d'altra parte si ha anche:

funzioni scalari

$D_{\hat {\mathbf {v} }}^{k}f(\mathbf {x} _{0})=<{\hat {\mathbf {v} }}^{\otimes k},\nabla ^{\otimes k}>f(\mathbf {x} _{0})=<D^{k}f(\mathbf {x} _{0}),{\hat {\mathbf {v} }}^{\otimes k}>$

funzioni vettoriali

$D_{\hat {\mathbf {v} }}^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=<{\hat {\mathbf {v} }}^{\otimes k},\nabla ^{\otimes k}>\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=D^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}){\hat {\mathbf {v} }}^{\otimes k}$

da cui segue che

funzioni scalari

$D^{k}f(\mathbf {x} _{0})=k!\,A^{k}(\mathbf {x} _{0})\;$

funzioni vettoriali

$D^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=k!\,\mathbf {A} ^{k}(\mathbf {x} _{0})\;$

Relazione fra i termini dello sviluppo e i differenziali

Essendo le derivate i "coefficienti" del differenziale, la relazione fra il differenziale k-mo e il k-mo termine dello sviluppo è analoga a quella che intercorre fra la k-ma derivata e il "coefficiente" del k-mo termine:

funzioni scalari

$d^{k}f(\mathbf {x} _{0})(\underbrace {\Delta \mathbf {x} ,\cdots ,\Delta \mathbf {x} } _{k})=k!\,F^{k}(\mathbf {x} _{0})(\underbrace {\Delta \mathbf {x} ,\cdots ,\Delta \mathbf {x} } _{k})\;$

funzioni vettoriali

$d^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\underbrace {\Delta \mathbf {x} ,\cdots ,\Delta \mathbf {x} } _{k})=k!\,\mathbf {F} ^{k}(\mathbf {x} _{0})(\underbrace {\Delta \mathbf {x} ,\cdots ,\Delta \mathbf {x} } _{k})\;$

Usando l'operatore differenziale $d^{k}=<d\mathbf {x} ,\nabla >$ risulta particolarmente agevole esprimere il k-mo termine dello sviluppo della funzione:

funzioni scalari

$F^{k}(\mathbf {x} _{0})(\underbrace {\Delta \mathbf {x} ,\cdots ,\Delta \mathbf {x} } _{k})={\frac {1}{k!}}<\Delta \mathbf {x} ,\nabla >^{k}f(\mathbf {x} _{0})\;$

funzioni vettoriali

$\mathbf {F} ^{k}(\mathbf {x} _{0})(\underbrace {\Delta \mathbf {x} ,\cdots ,\Delta \mathbf {x} } _{k})={\frac {1}{k!}}<\Delta \mathbf {x} ,\nabla >^{k}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})\;$