Calcolo differenziale/Componenti

Differenziali e derivate del prim'ordineModifica

Gradiente e derivata direzionale delle funzioni scalari - Operatori differenzialiModifica

Tutti gli operatori differenziali vettoriali sono stati ricondotti a delle combinazioni algebriche dell'operatore differenziale vettoriale contrassegnato con il simbolo nabla,  , per cui la determinazione delle componenti degli operatori differenziali richiede la determinazione delle componenti di questo operatore. D'altra parte tale operatore nel caso delle funzioni scalari coincide con la derivata, per cui la determinazione delle sue componenti può essere fatta a partire dalla determinazione delle componenti della derivata di una funzione scalare.

Se   è una base dello spazio V su cui sono definite le funzioni da differenziare, la i-ma componente covariante di   rispetto a tale base è un operatore differenziale scalare   tale che per ogni funzione scalare f si abbia:

 

Per determinare tale operatore differenziale è sufficiente considerare che dato un generico vettore   allora, posto:

 

la derivata direzionale di f in direzione   è:

 

Nel caso in cui sia  , la variazione   è la variazione della i-ma componente dell'argomento   rispetto alla base:

 

per cui si ottiene:

 

la quale corrisponde alla seguente relazione operatoriale:

 

Tornando alla derivata direzionale, si ha in genere:

 

che in forma operatoriale diventa:

 

oppure, in notazione di Leibniz:

 

Jacobiano delle funzioni vettorialiModifica

Poiché lo jacobiano di   è un operatore lineare da V a W, ed è associato ad un tensore di rango (1,1), le sue componenti hanno due indici: uno per la i-ma componente del trasformato e uno per la j-ma componente dell'argomento:

 

da cui:

 

ovvero, in notazione di Leibniz:

 

DifferenzialeModifica

Il differenziale è un operatore scalare:

 

Qui   è il differenziale dell'identità calcolato in punto generico, che coincide con l'identità stessa, per cui la sua i-ma componente controvariante è una applicazione che ad ogni vettore associa la sua i-ma componente controvariante:

 

da cui si vede che la i-ma componente controvariante di   è l'i-mo termine della base duale:

 

Avendo definito   si può sviluppare il prodotto scalare nelle componenti dei fattori:

 

Differenziali e derivate di ordine superioreModifica

Derivate e operatoriModifica

Funzioni scalariModifica

Per le funzioni scalari si ha:

 

dove   è un tensore di tipo (0,k) avente componenti:

 

Si ha quindi:

 

che espressa in forma operatoriale equivale a:

 

Funzioni vettorialiModifica

Per le funzioni vettoriali si ha:

 

dove   è un operatore tensoriale di tipo (1,k) avente componenti:

 

Dunque:

 

Derivate direzionali e differenzialiModifica

Per calcolare la derivata direzionale e il diffenziale k-mi delle funzioni scalari e vettoriali bisogna cacolare la k-ma potenza degli operatori scalari   e  , le quali richiedono l'impiego dello sviluppo multinomiale:

 

ovvero:

 

e analogamente per il differenziale:

 

Sviluppo in serieModifica

Nello sviluppo in serie delle funzioni scalari e vettoriali il k-mo termine si ottiene applicando alla funzione l'operatore scalare   il quale, per la relazione appena trovata, diventa: