Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali

Differenziale su dominio vettoriale

Il concetto di differenziale può essere generalizzato a funzioni definite su spazi normati e aventi valori in spazi normati. Dati dunque due spazi vettoriali normati V e W definiti sullo stesso campo K e una funzione f avente dominio in V e codominio in W, si può definire per essa un differenziale df che sia un funzionale, ovvero che ad ogni vettore $\mathbf {x} _{0}$ di V associ una funzione lineare da V a W che approssimi l'incremento della funzione f a meno di un infinitesimo di ordine superiore:

$d\mathbf {f} :V\to \{\phi |\phi :V\to W\}$

$d\mathbf {f} :\mathbf {x} _{0}\mapsto df(\mathbf {x} _{0})$

$d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}):V\to W$

$d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}):\Delta \mathbf {x} \mapsto df(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )$

tale che

$\Delta \mathbf {f} (\mathbf {x} _{0},\Delta \mathbf {x} )=d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )+o(\|\Delta \mathbf {x} \|)$

ovvero:

$\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}+\Delta \mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})+d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )+o(\|\Delta \mathbf {x} \|)$

Riduzione del differenziale ad un "prodotto": la derivata (totale)

Il prossimo passaggio della generalizzazione consiste nel ridurre la funzione lineare $d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )$ ad un "prodotto".

Funzione scalare

Nel caso particolare in cui la funzione f sia una funzione scalare, cioè il dominio W coincida, come caso limite di spazio vettoriale, con lo stesso campo K, allora la f è una applicazione lineare scalare su V, e come tale appartiene al duale di V, V*. Si può allora definire in V un prodotto scalare (quando non sia già definito per indurre la norma in V) in modo tale che ad ogni applicazione φ di V* resti associato un elemento a_φ di V tale che $\phi (\mathbf {x} )=<\mathbf {a} _{\phi },\mathbf {x} >$. In particolare per ogni x₀ fissato esiste un vettore $\mathbf {a} (\mathbf {x} _{0})=a_{df(\mathbf {x} _{0})}$ tale che:

$df(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )=<\mathbf {a} (\mathbf {x} _{0}),\Delta \mathbf {x} >$

Questa generalizzazione consente di generalizzare anche il concetto di derivata: si può infatti definire la derivata della funzione f nel punto x₀ quel vettore $Df(\mathbf {x} _{0})$ tale che:

$df(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )=<Df(\mathbf {x} _{0}),\Delta \mathbf {x} >$

Funzione vettoriale

Se invece la funzione f è vettoriale, allora $d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})$ è in genere una applicazione lineare fra spazi vettoriali, che può sempre essere ricondotta al "prodotto" (o "composizione") fra un operatore A(x₀) e il suo argomento. Esiste dunque un operatore associato al differenziale, e che dipende dal punto x₀, tale che:

$d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )=\mathbf {A} (\mathbf {x} _{0})\Delta \mathbf {x}$

Anche in questo caso tale operatore può essere fatto coincidere con la derivata della funzione nel punto x₀, sicché $D\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})$ viene definita come quell'operatore tale che:

$d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )=D\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})\Delta \mathbf {x}$

Derivata e differenziale direzionali

Definizione

Le derivate delle funzioni definite su spazi vettoriali possono essere ricondotte a derivate monodimensionali se a partire dal punto $\mathbf {x} _{0}$ la funzione viene ristretta ad una direzione definita da un versore ${\hat {\mathbf {v} }}$, il che equivale a prendere:

$\Delta \mathbf {x} =\Delta v\,{\hat {\mathbf {v} }}$

mentre il punto di applicazione della funzione è:

$\mathbf {x} :=\mathbf {x} _{0}+\Delta v\,{\hat {\mathbf {v} }}$

Poiché sia $\mathbf {x} _{0}$ sia ${\hat {\mathbf {v} }}$ sono fissati, il punto di applicazione può essere espresso come una funzione dello scalare $\Delta v$:

$\mathbf {x} =\mathbf {h} (\Delta v):=\mathbf {x} _{0}+\Delta v\,{\hat {\mathbf {v} }}\;$

Componendo la funzione data con la funzione $\mathbf {h}$ si ha:

funzioni scalari

$f(\mathbf {x} )=(f\circ \mathbf {h} )(\Delta v)$

$f\circ \mathbf {h} :K\to K$

funzioni vettoriali

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )=(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(\Delta v)$

$\mathbf {f} \circ \mathbf {h} :K\to W$

La parte lineare dell'incremento della funzione composta in un intorno di $\Delta v=0$ è per definizione il suo differenziale in quel punto:

funzioni scalari

$(f\circ \mathbf {h} )(\Delta v)=(f\circ \mathbf {h} )(0)+d(f\circ \mathbf {h} )(0)(\Delta v)+o(\Delta v)=(f\circ \mathbf {h} )(0)+D(f\circ \mathbf {h} )(0)\Delta v+o(\Delta v)$

funzioni vettoriali

$(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(\Delta v)=(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(0)+d(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(0)(\Delta v)+o(\Delta v)=(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(0)+D(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(0)\Delta v+o(\Delta v)$

Il differenziale e la derivata che compaiono in queste espressioni sono semplicemente un differenziale e una derivata monodimensionali nella variabile scalare $\Delta v$. Essi però si ottengono restringendo la funzione alla direzione ${\hat {\mathbf {v} }}$, e per questa ragione vengono anche definiti differenziale direzionale e derivata direzionale, e indicati rispettivamente con $\partial _{\hat {\mathbf {v} }}$ e $D_{\hat {\mathbf {v} }}$:

funzioni scalari

• $D_{\hat {\mathbf {v} }}f(\mathbf {x} _{0}):=D(f\circ \mathbf {h} )(0)$
• $\partial _{\hat {\mathbf {v} }}f(\mathbf {x} _{0})(\Delta v):=d(f\circ \mathbf {h} )(0)(\Delta v)=D_{\hat {\mathbf {v} }}f(\mathbf {x} _{0})\Delta v$

funzioni vettoriali

• $D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}):=D(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(0)$
• $\partial _{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta v):=d(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(0)(\Delta v)=D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})\Delta v$

Resta quindi:

funzioni scalari

$(f\circ \mathbf {h} )(\Delta v)=f(\mathbf {x} _{0})+D_{\hat {\mathbf {v} }}f(x_{0})\Delta v+o(\Delta v)$

funzioni vettoriali

$(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(\Delta v)=\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})+D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} (x_{0})\Delta v+o(\Delta v)$

Relazione con il differenziale e con la derivata (totale)

Lo sviluppo ottentuto per la funzione composta va confrontato con lo sviluppo della stessa funzione che si ottiene calcolando il differenziale della funzione f/f con la funzione h usata come argomento:

funzioni scalari

$(f\circ \mathbf {h} )(\Delta v)=f(\mathbf {h} (\Delta v))=f(\mathbf {x} _{0}+\Delta v\,{\hat {\mathbf {v} }})=f(\mathbf {x} _{0})+df(\mathbf {x} _{0})(\Delta v\,{\hat {\mathbf {v} }})+o(\|\Delta v\,{\hat {\mathbf {v} }}\|)=f(\mathbf {x} _{0})+df(\mathbf {x} _{0})({\hat {\mathbf {v} }})\Delta v+o(|\Delta v|)$

funzioni vettoriali

$(\mathbf {f} \circ \mathbf {h} )(\Delta v)=\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})+d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})({\hat {\mathbf {v} }})\Delta v+o(|\Delta v|)$

Dal confronto resta dunque:

funzioni scalari

• $D_{\hat {\mathbf {v} }}f(\mathbf {x} _{0})=df(\mathbf {x} _{0})({\hat {\mathbf {v} }})=<Df(\mathbf {x} _{0}),{\hat {\mathbf {v} }}>$
• $\partial _{\hat {\mathbf {v} }}f(\mathbf {x} _{0})(\Delta v)=df(\mathbf {x} _{0})(\Delta v{\hat {\mathbf {v} }})=<Df(\mathbf {x} _{0}),\Delta v{\hat {\mathbf {v} }}>$

funzioni vettoriali

• $D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})({\hat {\mathbf {v} }})=D\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}){\hat {\mathbf {v} }}$
• $\partial _{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta v)=d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta v{\hat {\mathbf {v} }})=D\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})\Delta v{\hat {\mathbf {v} }}$

Generalizzazione della derivata direzionale

La derivata direzionale solitamente è definita fissando una direzione per mezzo di un versore, in modo tale che la grandezza che varia coincida con la distanza dal punto $\mathbf {x} _{0}$. Nulla impedisce tuttavia di fissare una direzione usando un vettore v di lunghezza qualsiasi, e facendo variare il suo coefficiente. In tal caso la funzione h resta definita nel modo seguente:

$\mathbf {x} =\mathbf {h} (\Delta v):=\mathbf {x} _{0}+\Delta v\,\mathbf {v} \;$

e la derivata direzionale che si ottiene coincide con quella ottenuta usando il versore moltiplicata per la lunghezza del vettore v:

funzioni scalari

$D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} _{0})=D_{\hat {\mathbf {v} }}f(\mathbf {x} _{0})\|\mathbf {v} \|=df(\mathbf {x} _{0})(\mathbf {v} )=<Df(\mathbf {x} _{0}),\mathbf {v} >$

funzioni vettoriali

$D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} _{0})=D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})\|\mathbf {v} \|=d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\mathbf {v} )=D\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {v}$

Proprietà del differenziale e della derivata

Differenziale e derivata di una costante

Se $\mathbf {c}$ è una funzione costante, allora:

• $d(\mathbf {c} )=0$
• $D(\mathbf {c} )=0$

Dimostrazione

Si dimostra immediatamente osservando che:

$\forall \mathbf {x} _{0},\forall \Delta x,\quad \Delta \mathbf {c} (\mathbf {x} _{0},\Delta x)=\mathbf {c} (\mathbf {x} _{0}+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {c} (\mathbf {x} _{0})=0$

Differenziale e derivata del prodotto per uno scalare

Se k è uno scalare e f una funzione allora:

• $d(k\mathbf {f} )=kd(\mathbf {f} )$
• $D(k\mathbf {f} )=kD(\mathbf {f} )$

Differenziale e derivata di una somma

Date due funzioni $\mathbf {f} _{1}$ e $\mathbf {f} _{2}$ si ha:

• $d(\mathbf {f} _{1}+\mathbf {f} _{2})=d(\mathbf {f} _{1})+d(\mathbf {f} _{2})$
• $D(\mathbf {f} _{1}+\mathbf {f} _{2})=D(\mathbf {f} _{1})+D(\mathbf {f} _{2})$

Differenziale e derivata di un prodotto scalare

Si ha:

• $d<\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}>=<\mathbf {f} _{1},d\mathbf {f} _{2}>+<\mathbf {f} _{2},d\mathbf {f} _{1}>$
• $D<\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}>=\mathbf {f} _{1}^{T}D\mathbf {f} _{2}+\mathbf {f} _{2}^{T}D\mathbf {f} _{1}$
• $D_{\hat {\mathbf {v} }}<\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}>=<\mathbf {f} _{1},D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} _{2}>+<\mathbf {f} _{2},D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} _{1}>$

In particolare se $\mathbf {c}$ è un vettore costante allora:

• $d<\mathbf {c} ,\mathbf {f} >=<\mathbf {c} ,d\mathbf {f} >$
• $D<\mathbf {c} ,\mathbf {f} >=\mathbf {c} ^{T}D\mathbf {f}$
• $D_{\hat {\mathbf {v} }}<\mathbf {c} ,\mathbf {f} >=<\mathbf {c} ,D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} >$

Dimostrazione

Si ha:

$<\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}>(\mathbf {x} _{0}+\Delta \mathbf {x} )=<\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0}+\Delta \mathbf {x} ),\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0}+\Delta \mathbf {x} )>=$

$<\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0})+d\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )+o(\|\Delta x\|),\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0})+d\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )+o(\|\Delta x\|)>=$

$<\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}>(\mathbf {x} _{0})+<\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0}),d\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )>+<\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0}),d\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )>+o(\|\Delta x\|)$

da cui segue che:

$d<\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}>(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )=<\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0}),d\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )>+<\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0}),d\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )>$

Passando alle derivate:

$<D<\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}>(\mathbf {x} _{0}),\Delta \mathbf {x} >=<\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0}),D\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0})\Delta \mathbf {x} >+<\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0}),D\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0})\Delta \mathbf {x} >=$

$<\mathbf {f} _{1}^{T}(x_{0})D\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0}),\Delta \mathbf {x} >+<\mathbf {f} _{2}^{T}(\mathbf {x} _{0})D\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0}),\Delta \mathbf {x} >=<\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0})D\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0})+\mathbf {f} _{2}(x_{0})D\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0}),\Delta \mathbf {x} >$

da cui:

$D<\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}>(\mathbf {x} _{0})=\mathbf {f} _{1}^{T}(\mathbf {x} _{0})D\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0})+\mathbf {f} _{2}^{T}(x_{0})D\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0})$

Inoltre si ha:

$D_{\hat {\mathbf {v} }}<\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}>(\mathbf {x} _{0})=d<\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}>(\mathbf {x} _{0})({\hat {\mathbf {v} }})=<\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0}),d\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0})({\hat {\mathbf {v} }})>+<\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0}),d\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0})({\hat {\mathbf {v} }})>=$

$<\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0}),D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0})>+<\mathbf {f} _{2}(\mathbf {x} _{0}),D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} _{1}(\mathbf {x} _{0})>$

Differenziale e derivata di una funzione composta

Si ha:

• $d(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )=d\mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0}))(d\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} ))$
• $D(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )(\mathbf {x} _{0})=D\mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0}))D\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0})$     ovvero     $D(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )=(D\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )D\mathbf {g}$     (regola della catena)

Dimostrazione

Si ha:

$(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )(\mathbf {x} _{0}+\Delta \mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0}+\Delta x))=\mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0})+d\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )+o(\|\Delta x\|))=$

$\mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0}))+d\mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0}))(d\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} ))+o(\|\Delta x\|))$

da cui segue che:

$d(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )=d\mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0}))(d\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} ))$

Passando alle derivate:

$D(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )(\mathbf {x} _{0})\Delta \mathbf {x} =D\mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0}))D\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0})\Delta \mathbf {x}$

da cui:

$D(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )(\mathbf {x} _{0})=D\mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0}))D\mathbf {g} (\mathbf {x} _{0})$

Relazioni funzionali e notazione di Leibniz

Per ridurre le espressioni ottenute fin qui per $df(\mathbf {x} _{0})(\Delta \mathbf {x} )$ a delle relazioni funzionali, bisogna - al solito - esprimere Δx come applicazione della funzione identità, che nel caso di uno spazio vettoriale è l'operatore I tale che x=I(x). Anche in questo caso si dimostra facilmente che il differenziale di tale operatore coincide con l'operatore stesso, cioè dI(x₀)=I, il quale può essere indicato con dx. Di conseguenza si ottiene:

funzioni scalari

$df(\mathbf {x} _{0})=<Df(\mathbf {x} _{0}),d\mathbf {x} >$

funzioni vettoriali

$d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=D\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})d\mathbf {x}$

Anche in questo caso la derivata può essere intesa formalmente come il "rapporto" del differenziale della funzione e di dx, recuperando la notazione di Leibniz:

funzioni scalari

$Df(\mathbf {x} _{0})={\frac {df(\mathbf {x} _{0})}{d\mathbf {x} }}$

funzioni vettoriali

$D\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})={\frac {d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})}{d\mathbf {x} }}$

dove l'espressione:

$A={\frac {B}{C}}$

va intesa semplicemente come espressione formale per dire che è possibile definire un qualche "prodotto" in modo tale che B sia esprimibile come "prodotto" di A per C

Per quel che riguarda la derivata parziale, se si introduce una applicazione lineare $\partial v$ che applicata a $\Delta v$ agisce come l'identità, cioè:

$\partial v(\Delta v)=\Delta v$

allora si ha la seguente relazione funzionale:

funzioni scalari

$\partial _{\hat {\mathbf {v} }}f(\mathbf {x} _{0})=D_{\hat {\mathbf {v} }}f(\mathbf {x} _{0})\partial v$

funzioni vettoriali

$\partial _{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})(\Delta v)=D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})\partial v$

da cui segue che la derivata direzionale può essere espressa (questa volta propriamente) come rapposto di differenziali:

funzioni scalari

$D_{\hat {\mathbf {v} }}f(\mathbf {x} _{0})={\frac {\partial _{\hat {\mathbf {v} }}f(\mathbf {x} _{0})}{\partial v}}$

funzioni vettoriali

$D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})={\frac {\partial _{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})}{\partial v}}$

(dove il versore ${\hat {\mathbf {v} }}$ è solitamente omesso in quanto sottinteso).

Operatori differenziali

Eliminata la dipendenza dall'incremento, il punto $x_{0}$ si può considerare variabile e lo si può eliminare lasciando indicati espressamente i funzionali df/df e le funzioni Df/Df. Allora d e D possono essere considerati degli operatori funzionali che agendo sulla funzione f/f la trasformano in un funzionale o in un'altra funzione.

L'introduzione di tali operatori richiede tuttavia un poco di cautela rispetto a quanto si può fare nel caso monodimensionale.

Funzioni scalari: il gradiente

Nel caso delle funzioni scalari Df è un campo vettoriale (cioè si ha un vettore Df(x) definito in ogni punto x del dominio). Si può allora introdurre un operatore differenziale funzionale che trasformi una funzione scalare in una funzione vettoriale. Poiché il prodotto di un vettore per uno scalare è un vettore, tale operatore può essere considerato un operatore funzionale "vettoriale", e per distinguerlo dalla derivata "scalare" monodimensionale (o da altre derivate "scalari" definibili nel caso multidimensionale, come la derivata direzionale) lo si chiama gradiente e lo si indica con il simbolo $\nabla$, detto nabla o con l'operatore corrispondente nella notazione di Leibniz:

$\nabla ={\frac {d}{d\mathbf {x} }}\;$

$Df(\mathbf {x} )=(\nabla f)(\mathbf {x} )=\left({\frac {d}{d\mathbf {x} }}f\right)(\mathbf {x} )={\frac {df}{d\mathbf {x} }}(\mathbf {x} )={\frac {(df)(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}\;$

Disponendo dell'operatore vettoriale $\nabla$ il differenziale e la derivata direzionale si lasciano riscrivere come prodotto scalare di questo operatore con una funzione vettoriale e un vettore. Si ha infatti:

$df(\mathbf {x} _{0})=<\nabla f(\mathbf {x} _{0}),d\mathbf {x} >=<d\mathbf {x} ,\nabla >f(\mathbf {x} _{0})$

da cui segue la relazione operatoriale:

$d=<d\mathbf {x} ,\nabla >$

Analogamente per la derivata direzionale si ha:

$D_{\hat {\mathbf {v} }}f(\mathbf {x} )=<Df(\mathbf {x} ),{\hat {\mathbf {v} }}>=(<{\hat {\mathbf {v} }},\nabla >f)(\mathbf {x} )$

da cui segue la relazione operatoriale:

$D_{\hat {\mathbf {v} }}:={\frac {\partial }{\partial v}}=<{\hat {\mathbf {v} }},\nabla >$

Funzioni vettoriali: lo jacobiano

Mentre Df per una funzione scalare è un campo vettoriale (il gradiente di f), per una funzione vettoriale Df è un campo operatoriale, che viene chiamato jacobiano di f e indicato con $J_{\mathbf {f} }$ o con $J\mathbf {f}$. In questo caso un operatore che agisca sulla funzione vettoriale f restituendo Df è un operatore che trasforma un campo vettoriale in un campo operatoriale. Tale operatore non può essere ancora l'operatore gradiente, anche perché non è chiaro come si potrebbe riscrivere Df come "prodotto" di un operatore vettoriale per una funzione vettoriale.

Tuttavia possiamo superare questo problema osservando che il differenziale e la derivata parziale sono formalmente due operatori "scalari", che si ottengono come prodotto scalare dell'operatore $\nabla$ con, rispettivamente, il differenziale dx e il vettore v, sicché ci si può aspettare che essi abbiano effettivamente le proprietà di uno scalare, e possano essere formalmente "moltiplicati" sia per uno scalare sia per un vettore. Per rendersi conto che vale effettivamente questa proprietà, basta osservare che dato un generico vettore $\mathbf {c}$ (costante) si ha:

$<\mathbf {c} ,d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})>=<\mathbf {c} ,D\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})d\mathbf {x} >=<\mathbf {c} ^{T}D\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0}),d\mathbf {x} ><D<\mathbf {c} ,\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})>,d\mathbf {x} >=$

$<\nabla <\mathbf {c} ,\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})>,d\mathbf {x} >=<d\mathbf {x} ,\nabla ><\mathbf {c} ,\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})>=<\mathbf {c} ,<d\mathbf {x} ,\nabla >\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})>$

da cui segue che:

$d\mathbf {f} =<d\mathbf {x} ,\nabla >\mathbf {f}$

e lo stesso si ottiene per la derivata direzionale:

$D_{\hat {\mathbf {v} }}\mathbf {f} =<{\hat {\mathbf {v} }},\nabla >\mathbf {f}$

Questo conferma che il "prodotto scalare" dell'operatore $\nabla$ con un vettore (o con una funzione vettoriale) si comporta effettivamente come un "operatore scalare", anche quando venga applicato ad una funzione vettoriale.

Quanto alla derivata, basta osservare che:

$d\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=(<d\mathbf {x} ,\nabla >\mathbf {f} )(\mathbf {x} _{0})=d\mathbf {x} ^{T}(\nabla \otimes \mathbf {f} )(\mathbf {x} _{0})=(\nabla \otimes \mathbf {f} )^{T}(\mathbf {x} _{0})d\mathbf {x}$

da cui segue che:

$D\mathbf {f} =(\nabla \otimes \mathbf {f} )^{T}$

Si può anche definire un operatore jacobiano J tale che:

$J=(\nabla \otimes -)^{T}=\left({\frac {d}{d\mathbf {x} }}\otimes -\right)^{T}$

$D\mathbf {f} =J\mathbf {f} =(\nabla \otimes \mathbf {f} )^{T}=\left({\frac {d}{d\mathbf {x} }}\otimes \mathbf {f} \right)^{T}={\frac {d\mathbf {f} }{d\mathbf {x} }}$