Analisi topologica dei circuiti elettrici/Relazione tra circuiti fisici e modelli

Nella parte restante di questo libro si utilizzerà la dizione "circuito elettrico" esclusivamente per indicare un modello matematico. Il livello di dettaglio del modello matematico dipenderà dal tipo di risultati che siamo interessati a ottenere. Per ovvi motivi, dato un sistema fisico, si cercherà il modello più semplice compatibilmente con i risultati desiderati: si utilizzeranno quindi modelli puramente lineari ove possibile, ben sapendo che componenti fisici puramente lineari non esistono, purché si sia sicuri che nel campo di funzionamento cui siamo interessati tutti i componenti del nostro modello si comportino in modo ragionevolmente lineare.

Un circuito elettrico fisico potrà quindi corrispondere a diversi circuiti elettrici (intesi come modello matematico) sia in funzione della precisione che si vuole raggiungere nella rappresentazione del circuito fisico, sia del campo di variabilità che ci si aspetta per le grandezze elettriche del circuito fisico. Similmente a un circuito elettrico potranno corrispondere diversi circuiti fisici, in funzione, per esempio, della precisione con cui si vuole replicare il comportamento previsto dal modello matematico.

Circuiti equivalenti

Una rete, nel contesto dell'elettronica, è un insieme di componenti collegati tra di loro. Analisi di rete è il processo con cui si ricerca la tensione ai capi di ciascun componente la rete e la corrente che lo attraversa. Ci sono molte differenti tecniche per ottenere questi valori. Tuttavia, per la maggiore parte, la tecnica applicata assume che i componenti della rete siano tutti lineari e tempo-invarianti. I metodi qui descritti sono solamente applicabili alle analisi di rete lineari, a eccezione di quando esplicitamente espresso.

È procedura utile nella analisi delle reti ridurre il numero di componenti dei circuiti. Ciò si può ottenere sostituendo i componenti effettivi con componenti fittizi che abbiano i medesimi effetti. Una particolare tecnica potrebbe ridurre il numero di componenti, per esempio, combinando in serie le impedenze. D'altra parte, potrebbe semplicemente trasformare la forma in una in cui i componenti possano essere ridotti in una operazione successiva. Per esempio, si potrebbe trasformare un generare di tensione in un generatore di corrente facendo ricorso al teorema di Norton al fine di potere successivamente combinare la resistenza interna del generatore con una impedenza di carico in parallelo.

Un circuito resistivo è un circuito che contiene resistenze solamente sorgenti di corrente ideali e sorgenti di tensione ideali. Se le sorgenti sono sorgenti a corrente continua, il risultato è un circuito a corrente continua. L'analisi di un circuito consiste nella determinazione delle tensioni e delle correnti presenti nel circuito. I principi solutivi qui descritti si applicano pure nell'analisi dei fasori nei circuiti a corrente alternata.

Se $V_{2}=V_{1}$ implica che $I_{2}=I_{1}$ per tutti i valori reali di V₁ allora, perlomeno con riguardo ai terminali ab e xy, il circuito 1 e il circuito 2 sono equivalenti.

Quanto detto costituisce una definizione sufficiente di rete a due attacchi. Nel caso di più di due attacchi, allora deve essere stabilito che le correnti e le tensioni tra tutte le paia di attacchi corrispondenti devono conservare le medesime relazioni. Per esempio, le reti a stella e a triangolo sono effettivamente circuiti a sei attacchi e quindi richiedono tre equazioni simultanee per specificare pienamente la loro equivalenza.

Impedenze in serie e in parallelo

Qualsiasi circuito elettrico di impedenze a due terminali in serie o in parallelo può eventualmente venire ridotto ad un circuito a singola impedenza di valore determinato, a seconda dei casi, come segue.

Impedenze in serie: $Z_{eq}=Z_{1}+Z_{2}+\cdot \cdot \cdot \ +Z_{n}$

Impedenze in parallelo:$\ \ {\frac {1}{Z_{eq}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{Z_{n}}}.$

Per due sole impedenze in parallelo, l'impedenza equivalente risulta:$\ \ Z_{eq}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}.$

Trasformazione triangolo-stella

Una circuito costituito di impedenze con più di due terminali non può venire ridotto in un circuito equivalente a impedenza singola. Un circuito a n terminali può, alla meglio, essere ridotto a n impedenze. Per un circuito a tre terminali, le tre impedenze possono venire espresse con un circuito a rettangolo a tre nodi oppure con un circuito a stella a quattro nodi. Questi due circuiti sono equivalenti e le trasformazioni tra loro sono fornite qui di seguito. Una generica rete con un numero arbitrario di nodi non può venire ridotta al numero minimo di impedenze con l'impiego di sole combinazioni serie e parallelo. Generalmente, trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo potrebbero pure essere richieste. Per alcuni circuiti la estensione della trasformazione triangolo-stella potrebbe risultare necessaria.

Per equivalenza intendesi che le impedenze fra qualsiasi coppia di terminali devono essere le medesime per entrambi i circuiti, risultando in un insieme di tre equazioni simultanee riportate qui di seguito.

Equazioni di trasformazione triangolo-stella

$R_{a}={\frac {R_{\mathrm {ac} }R_{\mathrm {ab} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}$

$R_{b}={\frac {R_{\mathrm {ab} }R_{\mathrm {bc} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}$

$R_{c}={\frac {R_{\mathrm {bc} }R_{\mathrm {ac} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}$

Equazioni di trasformazione stella-triangolo

$R_{\mathrm {ac} }={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}}$

$R_{\mathrm {ab} }={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}$

$R_{\mathrm {bc} }={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}}$

Forma generica di eliminazione dei nodi delle reti

Le trasformazioni stella-triangolo e resistori in serie sono casi particolari dell'algoritmo di eliminazione dei nodi nelle reti resistive. Qualsiasi nodo connesso con N resistori ($R_{1}$ .. $R_{N}$) ai nodi 1...N può essere sostituito da ${N \choose 2}$ resistori che connettono i rimanenti $N$ nodi. La resistenza fra qualsiasi due nodi $x$ and $y$ è data da:

$R_{\mathrm {xy} }=R_{x}R_{y}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{R_{i}}}$

Per una trasformazione stella-triangolo ($N=3$) ciò si riduce a:

$R_{\mathrm {ab} }=R_{a}R_{b}({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}+{\frac {1}{R}}_{c})={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c})}{R_{a}R_{b}R_{c}}}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}$

per una riduzione seriale ($N=2$) ciò si riduce a:

$R_{\mathrm {ab} }=R_{a}R_{b}({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b})={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}R_{b}}}=R_{a}+R_{b}$

Per un resistore pendente ($N=1$) sfocia nella eliminazione del resistore poiché ${1 \choose 2}=0$.

Trasformazione da stella a maglia

La trasformazione da stella a maglia (o da stella a poligono) è una tecnica di analisi circuitale matematica per trasformare una rete resistiva in una rete equivalente con un nodo di meno. L'equivalenza segue dall'identità complementare di Schur applicata alla matrice di Kirchhoff della rete.

L'impedenza equivalente fra i nodi A e B è data da:

$z_{AB}=Z_{A}Z_{B}\sum {1 \over z}$,

dove $Z_{A}$ è l'impedenza tra il nodo A e il nodo centrale che viene rimosso.

La trasformazione rimpiazza N resistori con ${N(N-1) \over 2}$ resistori. Per $N>3$, il risultato è un aumento del numero di resistori, quindi la trasformazione non avviene senza generare addizionali problemi.

È possibile, anche se non necessariamente efficiente, trasformare una maglia resistiva comunque complessa a due terminali in un unico resistore equivalente applicando ripetutamente la trasformazione da stella a maglia per eliminare ogni nodo non terminale.

Trasformazione delle sorgenti

Un generatore con una impedenza interna (cioè non ideale) può essere rappresentato sia come un generatore di tensione ideale sia come un generatore ideale di corrente con in pi una impedenza. Queste due forme sono equivalenti e le trasformazioni sono riportate qui sotto. Se le due reti sono equivalenti, con riferimento ai terminali ab, allora V e I in entrambe le reti devono essere uguali. Quindi,

• il teorema di Norton stabilisce che qualsiasi rete a due terminali può venire ricondotta ad un generatore ideale di corrente e ad una impedenza in parallelo;
• il teorema di Thèvenin stabilisce che qualsiasi rete a due terminali può venire ricondotta ad un generatore di tensione ideale e ad una resistenza in serie.