Analisi topologica dei circuiti elettrici/Funzione di trasferimento

La funzione di trasferimento esprime la relazione tra un ingresso e una uscita di una rete nel dominio di Laplace. Le reti con componenti non resistivi ma lineari quali condensatori e induttori sono in generale descritte da sistemi di equazioni differenziali lineari, l'applicazione della trasformata di Laplace permette di descriverle attraverso equazioni algebriche a coefficienti complessi. In analisi di rete quindi, piuttosto che utilizzare le equazioni differenziali direttamente, è prassi usuale effettuare una trasformazione di Laplace e poi esprimere il risultato in termini della variabile complessa s che prende il posto della variabile temporale t.

Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è quindi lo strumento matematico per transitare dal dominio di t al dominio di s, al "costo" di operare con numeri complessi si sostituiscono gli operatori differenziali con operatori algebrici. Tale approccio è standard nella teoria dei controlli per determinare le caratteristiche di un sistema lineare, come la stabilità o la sua risposta. I passi che devono essere eseguiti nella soluzione di un problema di una rete tramite le trasformate di Laplace sono quelli che seguono.

1. Scrivere l'equazione differenziale della rete.
2. Stabilire le condizioni iniziali nel circuito al tempo t=0.
3. Trasformare l'equazione differenziale con le trasformate di Laplace.
4. Ricavare l'incognita della trasformata.
5. Ottenere la trasformazione inversa dell'incognita per una forma utile nel dominio del tempo del tempo.

Esempio di applicazione delle trasformate di Laplace

Consideriamo il seguente esempio.

Una tensione di 100 volt massimi è applicata a una induttanza di 1-henry in serie con una resistenza di 100 Ω. L'equazione differenziale del circuito è:

$L{di \over dt}+Ri=E$

ovvero, in questo caso:

${di \over dt}+100i=100Sin(377t)$

Usando la coppia [$sf(s)-f(0+)$, $f'(t)$] per il termine a sinistra e la coppia [$\omega \over s^{2}+\omega ^{2}$, $Sin(\omega t)$] per il termine a destra, l'equazione differenziale si trasforma in:

$si(s)+100i(s)={377(100) \over s^{2}+377^{2}}$

Risolvendo per i(s) si ottiene:

$i(s)={377(100) \over (s+100)(s^{2}+377^{2})}$

Dalla coppia [${1 \over (s+a)(s^{2}+377^{2})}$, ${1 \over a^{2}+\omega ^{2}}(e^{2}+{a \over \omega }\sin \omega t-\cos \omega t)$], la soluzione inversa corrispondente è:

$i(t)={377(100) \over (100)^{2}+377^{2}}(e^{-100t}+{100 \over 377}\sin 377t-\cos 377t)$

Funzioni di trasferimento di componenti a due terminali

Per i componenti a due terminali la funzione di trasferimento, o in genere per gli elementi non lineari, è la relazione fra la corrente che entra nei dispositivi e la tensione che ne risulta ai loro capi. La funzione di trasferimento, Z(s), avrà quindi come unità di impedenza:-ohm. Per i tre componenti passivi incontrati nelle reti elettriche le funzioni di trasferimento sono:

Resistore	$Z(s)=R\,\!$
Induttore	$Z(s)=sL\,\!$
Condensatore	$Z(s)={\frac {1}{sC}}$

Per una rete alla quale sono applicati solamente segnali in corrente alternata, s è sostituita da jω e ne derivano i valori più famigliari della teoria delle reti a corrente alternata, che sono:

Resistore	$Z(j\omega )=R\,\!$
Induttore	$Z(j\omega )=j\omega L\,\!$
Condensatore	$Z(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}$

Alla fine, per una rete alla quale sia applicata solo la corrente continua, s viene sostituita con uno 0 e si impiega la teoria delle reti a corrente continua.

Resistore	$Z=R\,\!$
Induttore	$Z=0\,\!$
Condensatore	$Z=\infty \,\!$

Funzioni di trasferimento nelle reti elettriche a due porte

Nella teoria dei sistemi di controllo le funzioni di trasferimento vengono identificate con il simbolo H(s). Più comunemente in elettronica sono definite come il rapporto fra una tensione d'uscita e di una tensione in entrata e vengono identificate con il simbolo A(s).

Un caso particolare della trasformata di Laplace è la trasformata di Fourier. Formalmente essa sostituisce alla variabile s la variabile j$\omega$, dove $\omega$ è una pulsazione. Si studia quindi il comportamento del sistema sottoposto a sollecitazioni sinusoidali a pulsazione $\omega$. In tale trattazione sparisce completamente la variabile temporale e si suppone che il sistema sia a regime (cioè sia passato un tempo "lungo" dall'accensione dei generatori). La trasformata di Fourier sposta il problema nel dominio della frequenza, o spazio di Fourier. Fourier dimostrò che è possibile scrivere ogni reale segnale sotto forma di una somma di segnali sinusoidali a frequenza e fase diversa, studiando quindi il comportamento di un sistema nello spazio di Fourier è possibile conoscerne il comportamento rispetto a qualsiasi segnale in ingresso.

Il rapporto fra ingresso e uscita diventa quindi A(j$\omega$):

$A(j\omega )={\frac {V_{o}}{V_{i}}}$

A sta per attenuazione, oppure amplificazione, il che dipende dal contesto. Talvolta l'analista è interessato solamente nella grandezza del guadagno e non nella fase. In questo caso se ne considereranno i moduli, che sono per definizione numeri reali positivi:

$A(\omega )=\left|{\frac {V_{o}}{V_{i}}}\right|$

Sistemi a un ingresso e una uscita

Il concetto di un sistema a un ingresso e una uscita, oppure quadripolo, può essere utile nella analisi delle reti come approccio a scatola nera alla analisi. Il comportamento del quadripolo in una più ampia rete può venire descritto interamente senza necessariamente dire nulla circa la sua struttura interna. Si dimostra che un quadripolo (o doppio bipolo) è descritto da quattro coefficienti:

${\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z(j\omega )_{11}&z(j\omega )_{12}\\z(j\omega )_{21}&z(j\omega )_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{0}\end{bmatrix}}$

La matrice può venire abbreviata ad un elemento rappresentativo:

$\left[z(j\omega )\right]$ oppure $\left[z\right]$

Questi concetti possono estendersi a reti con più quadripoli. Tuttavia, cio in realtà viene raramente fatto perché, in molti particolari casi, i quadripoli sono considerati o puramente degli ingressi o puramente delle uscite. Se le funzioni di trasferimento in direzione inversa sono ignorate, una rete multipla di quadripoli può sempre venire decomposta in un numero di quadripoli.

Componenti distribuiti

Dove una rete è composta di elementi circuitali distinti, l'analisi con l'impiego di quadripoli è una questione di scelta, non essenziale. La rete può in alternativa sempre essere analizzata in termini di funzioni di trasferimento dei suoi componenti singoli. Tuttavia, se il circuito comprende degli elementi a parametri distribuiti, quale è il caso delle linee di trasmissione, allora non risulta possibile espletare una analisi in termini di componenti elementari dato che non esistono. L'approccio più usuale di condurre l'analisi è di configurare la linea ad una rete a due porte e di caratterizzarla con i parametri degli elementi a due porte. Un ulteriore esempio di questa tecnica è la configurazione dei portatori di carica che attraversano la regione di base in un transistore ad alta frequenza. La regione della base deve venire modellata con resistenze e capacitanze distribuite piuttosto che con elementi concentrati.

Impedenza immagine

Impedenza Immagine è un concetto utilizzato nella progettazione ed analisi delle reti elettroniche e soprattutto nella progettazione del filtri. Il termine "impedenza immagine" applica alla impedenza vista guardando in una porta di una rete. Di solito un doppio bipolo è implicito, ma il concetto può venire esteso a reti con più di due porte. La definizione di impedenza immagine per una rete a due porte è l'impedenza, Z₁, vista guardando nella porta 1 quando la porta 2 è terminata con l'impedenza immagine, Z₁; per la porta 2. In generale, le impedenze immagine delle porte 1 e 2 non saranno eguali a meno che la rete sia simmetrica (o anti-simmetrica) rispetto alle porte.