Algebra vettoriale/Introduzione

Nell'analisi di molti fenomeni fisici, ci si interessa di quantità che possono essere classificate in base alle informazioni necessarie per specificarle completamente. Quantità quali massa, densità, e temperatura richiedono solamente la specificazione della loro grandezza; ovvero, tutto ciò che serve per specificarli è solamente un numero. Tali quantità sono denominate quantità scalari o semplicemente scalari. Le quantità come una forza o una velocità necessitano della specificazione di una grandezza e di una direzione. Le quantità di questo tipo sono denominate quantità vettoriali. Le quantità vettoriali che obbediscono a certe regole sono definite come vettori. Come si vedrà in seguito, non tutte le quantità vettoriali sono dei vettori. In problemi di fisica si possono verificare delle quantità che richiedono più informazioni di quelle necessarie per i vettori. Per esempio, per descrivere una quantità quale lo stress è necessario fornire una forza ed una superficie sulla quale la forza agisce. Tali quantità sono note come tensori.

Operazioni di algebra e calcolo quali quelle che sono note per le quantità scalari, sono pure state sviluppate per i vettori e i tensori. L'algebra applicata i vettori e nota come algebra vettoriale, mentre il calcolo applicato ai vettori è noto come calcolo vettoriale o analisi vettoriale. Similmente abbiamo algebra tensoriale e calcolo tensoriale.

Nell'analizzare un fenomeno fisico, si deve costituire una interrelazione tra le varie quantità che caratterizzano il fenomeno utilizzando le leggi della fisica (le leggi di Newton, le leggi della conservazione dell'energia, etc.). Per scrivere una legge fisica si introduce un sistema di coordinate in un sistema di riferimento scelto e si esprime le varie quantità fisiche coinvolte tramite misurazioni eseguite rispetto a quel sistema. Quando venga scelta una tale procedura, l'espressione della legge contiene termini che dipendono dal sistema di coordinate scelto e conseguentemente ha una forma diversa nei diversi sistemi. Ma le leggi della natura non dipendono dalla scelta artificiale del sistema di coordinate. Pertanto, potrebbe risultare necessario di cercare di esprimer le leggi naturali in una forma che non abbia attinenza con un sistema particolare di coordinate. Un modo di fare ciò è fornito dalle forme vettoriali e tensoriali. La notazione vettoriale esibisce le quantità quali gli spostamenti, le velocità, le forze, le accelerazioni, i momenti, le velocità angolari, etc. nel loro aspetto naturale: cioè, quantità che possiedono direzione, oltre alla grandezza. Similmente, la notazione tensoriale ci consente di trattare quantità che richiedono per la loro specificazione più informazioni dei vettori. Quando sia usata la notazione vettoriale non risulta necessario introdurre un sistema di coordinate. La notazione della analisi generica tensoriale ha a che fare con tutti i possibili sistemi di coordinate. Quindi, l'uso della notazione tensoriale generica e di quella vettoriale nella formulazione delle leggi fisiche le lascia in forma invariante. Lo studio di un fenomeno fisico tramite un sistema di equazioni in forma invariante, sovente conduce ad una sua più profonda comprensione. In più, l'uso della notazione vettoriale o tensoriale porta a una semplificazione notevole nell'analisi dei problemi.

Il nostro obiettivo è duplice: (1) sviluppare le peculiarità importanti della analisi vettoriale e della analisi tensoriale cartesiana, e (2) illustrare, con specifici esempi, il loro impiego nella formulazione di problemi fisici e nella derivazione di alcuni risultati generici afferenti a questi problemi. Con ciò in mente dobbiamo anzitutto intraprendere una spiegazione dell'analisi vettoriale. Poi ci dedicheremo ai tensori cartesiani e illustreremo il loro uso nelle loro applicazioni.