Algebra vettoriale/Integrali

Indice del libro

IntegraliModifica

In questo capitolo ci occuperemo dei differenti tipi di integrali che si presentano quando si trattano funzioni che hanno a che fare con scalari e vettori e introdurremo alcune nozioni associate. Quando si ha a che fare con funzioni vettoriali di uno scalare, come  , c'è un solo integrale da considerare. Quando ci si occupa di funzioni scalari o vettoriali di un vettore,quali le funzioni di posizione   e  , dobbiamo distinguere tra integrali di linea, di superficie e di volume.

Integrazione di una funzione vettoriale di uno scalareModifica

Se un vettore   è funzione di una variabile scalare t, si può formare il così detto integrale indefinito

 

nello stesso modo come si forma la integrazione di uno scalare (integrazione di una funzione scalare funzione di una variabile scalare). Il risultato della integrazione è un'altre funzione vettoriale dello scalare t, che è determinata nei limiti di una costante additiva e che è, generalmente un vettore. Scrivamo quindi

 

Ne consegue che

 

Se la variabile t varia continuamente da un particolare valore t1 ad un altro particolare valore t2 l'integrale

 

è l'integrale definito di   tra i limiti t1 e t2.

Integrali di lineaModifica

Si consideri una funzione scalare di posizione   ed il campo da essa descritto. In un tale campo C rappresenti una curva tracciata da un punto a ad un punto b. Si assegni alla curva una direzione di percorrenza come quella spostamento dal punto a al punto b. Poniamo che   denoti la posizione da qualche origine di un punto P sulla curva e che   denoti un elemento di lunghezza lungo la curva dal punto P. Se   è un versore tangente alla linea nel punto P, si ha che  . L'integrale
 
o l'equivalente
 
preso lungo la curva C è chiamato integrale di linea. Il valore di questo integrale è un vettore.


Ora consideriamo una funzione vettoriale di posizione  . Se C e una linea curvilinea come prima può venire formato un integrale di linea
 

oppure  

lungo la curva C tra i punti estremi dati. L'integrale è semplicemente l'integrale lungo C delle componenti di   tangenti alla curva. Se, come mostra la figura,   è l'angolo tra   ed  , questo integrale può pure venire riscritto
 

in cui A è la grandezza di  . Il risultato di questo integrale è uno scalare. In genere questo integrale di linea. come qualunque altro integrale di linea, dipende dalla funzione  , il sentiero lungo il quale l'integrale viene computato ed i punti terminali della linea. Tuttavia, sotto certe condizioni, il valore dell'integrale dipende soltanto dai punti limite estremi e diventa indipendente dal tracciato di curva che li unisce.

Notiamo che un altro integrale di linea di   può venire impostato come segue

 
il risultato di questo integrale è un vettore.

CircolazioneModifica

Gli integrali di linea del tipo appena descritto possono essere formati lungo delle linee curve chiuse. Di particolare interesse è l'ntegrale
 
lungo una curva spaziale C. Un tale integrale è noto come circolazione vettoriale del vettore   lungo la curva C. Generalmente, il valore della circolazione è diverso da zero e dipende dalla funzione   e dalla curva C. In taluni casi , tuttavia, la circolazione svanisce e risulta indipendente dalla curva.


integrale di superficieModifica

Si prenda in considerazione una superficie non chiusa S tracciata in un campo descritto da una funzione di posizione scalare  . Si divida la superficie in elementi infinitesimali. Ciascuno degli elementi della superficie può venire ora considerato come una superficie piana e denotato come un vettore

 

laddove   è un versore normale all'elemento di superficie. Il versore   è tracciato arbitrariamente da un lato o dall'altro della superficie S. Tuttavia, se prima viene assegnato un verso di circolazione lungo il perimetro C della superficie, la direzione di   viene scelta secondo la regola della mano destra a seconda del verso di percorso lungo C. Impiegando queste notazioni diamo forma all'integrale

 

sull'intera superficie S. Un tale integrale è nominato integrale di superficie della funzione   sulla sperfice S. Il risultato dell'integrale è un vettore.
Consideriamo il prossimo vettore funzione di posizione   e poniamo che S sia una superficie aperta nel suo campo. Allora l'integrale
 
comwputato sulla superficie S è nominato integrale di superficie di  sulla superficie S. Poiché   è la componente di   nella direzione della normale all'elemento di superficie, questo integrale è semplicemente l'integrale di superficie di questa componente. Il valore di questo integrale è quindi uno scalare.

Per il campo vettoriale   si può formare un altro integrale espresso da
 
Il risultato di un tale integrale è un vettore


Integrali di superficie descritti sopra possono venire pure composti su superfici chiuse. Come mostrato nella figura sia S una superficie chiusa e, come prima, si ponga che   denoti un elemento di S. Per una superficie chiusa, la normale sarò sempre tracciata in tale modo che esca dalla regione racchiusa dalla superficie e ci si riferirà ad essa come la normale uscente. Facendo uso di questa convenzione diamo forma ai seguenti integrali di superficie.
 
Il risultato di questo integrale è un vettore.
Per un campo vettoriale  
 

il risultato del quale è uno scalare.
L'altto integrale è

 
I risultato del quale è un vettore.
Questi ultimi tre integrali si presentano frequentemente nei problemi di fisica.

Flusso di un vettore uscente da una superficieModifica

La quantitò   è abitualmente chiamata flusso di un vettore   uscente da un elemento superficiale  . Con flusso uscente di   intendiamo il flusso di   in direzione della regione che contiene la nornale a  . Questo è il caso in cui la componente   è positiva. Con questa interpretazione, l'integrale di superficie   è denominato flusso uscente del vettore   dalla superficie S. Dato che   puo essere positiva in taluni punti e negativa in altri della superficie S, con flusso uscente di   dalla superficie S intendiamo di fatto il flusso netto uscente di  .
L' integrali  è il flusso di   attraverso la superficie S della regione delimitata da S.



superficie chiusa

Integrale di volumeModifica

Consideriamo una regione di spazio R nel campo di una funzione scalare di posizione  . Poniamo che la regione sia divisa in un numero di elementi volumetrici infinitesimali  . Allora l'integrale

 

assunto in ogni parte del volume, è noto come integrale volumetrico di   nella regione R. Il risultato dell'integrale è uno scalare.

Analogamente, se R è una regione dello spazio nel campo di una funzione vettoriale di posizione  , l'integrale
 

è noto come integrale volumetrico di   nella regione R. Il risultato di un tale integrale è un vettore.