Algebra vettoriale/Integrali

Integrali

In questo capitolo ci occuperemo dei differenti tipi di integrali che si presentano quando si trattano funzioni che hanno a che fare con scalari e vettori e introdurremo alcune nozioni associate. Quando si ha a che fare con funzioni vettoriali di uno scalare, come ${\vec {\mathcal {A}}}(t)$, c'è un solo integrale da considerare. Quando ci si occupa di funzioni scalari o vettoriali di un vettore,quali le funzioni di posizione $\phi ({\vec {\mathcal {r}}})$ e ${\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})$, dobbiamo distinguere tra integrali di linea, di superficie e di volume.

Integrazione di una funzione vettoriale di uno scalare

Se un vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ è funzione di una variabile scalare t, si può formare il così detto integrale indefinito

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int {\vec {\mathcal {A}}}(t)dt$

nello stesso modo come si forma la integrazione di uno scalare (integrazione di una funzione scalare funzione di una variabile scalare). Il risultato della integrazione è un'altre funzione vettoriale dello scalare t, che è determinata nei limiti di una costante additiva e che è, generalmente un vettore. Scrivamo quindi

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int {\vec {\mathcal {A}}}dt={\vec {\mathcal {B}}}(t)+{\vec {\mathcal {C}}}$

Ne consegue che

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {d{\vec {\mathcal {B}}} \over dt}={\vec {\mathcal {A}}}(t)$

Se la variabile t varia continuamente da un particolare valore t₁ ad un altro particolare valore t₂ l'integrale

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {\mathcal {A}}}(t)dt$

è l'integrale definito di ${\vec {\mathcal {A}}}$ tra i limiti t₁ e t₂.

Integrali di linea

Si consideri una funzione scalare di posizione $\phi =\phi ({\vec {\mathcal {r}}})$ ed il campo da essa descritto. In un tale campo C rappresenti una curva tracciata da un punto a ad un punto b. Si assegni alla curva una direzione di percorrenza come quella spostamento dal punto a al punto b. Poniamo che ${\vec {\mathcal {r}}}$ denoti la posizione da qualche origine di un punto P sulla curva e che $d{\vec {\mathcal {s}}}$ denoti un elemento di lunghezza lungo la curva dal punto P. Se ${\vec {\mathcal {e_{s}}}}$ è un versore tangente alla linea nel punto P, si ha che $d{\vec {\mathcal {s}}}=ds\ {\vec {\mathcal {e_{s}}}}$. L'integrale
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int _{a}^{b}\phi ({\vec {\mathcal {r}}})d{\vec {\mathcal {s}}}$
o l'equivalente
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int _{a}^{b}\phi ({\vec {\mathcal {r}}}){\vec {\mathcal {e_{s}}}}ds$
preso lungo la curva C è chiamato integrale di linea. Il valore di questo integrale è un vettore.

Ora consideriamo una funzione vettoriale di posizione ${\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})$. Se C e una linea curvilinea come prima può venire formato un integrale di linea
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int _{a}^{b}{\vec {\mathcal {A}}}\cdot d{\vec {\mathcal {s}}}$

oppure $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int _{a}^{b}{\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {e_{s}}}}ds$

lungo la curva C tra i punti estremi dati. L'integrale è semplicemente l'integrale lungo C delle componenti di ${\vec {\mathcal {A}}}$ tangenti alla curva. Se, come mostra la figura, $\alpha$ è l'angolo tra ${\vec {\mathcal {e_{s}}}}$ ed ${\vec {\mathcal {A}}}$, questo integrale può pure venire riscritto
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int _{a}^{b}A\ \ cos\alpha \ \ ds$

in cui A è la grandezza di ${\vec {\mathcal {A}}}$. Il risultato di questo integrale è uno scalare. In genere questo integrale di linea. come qualunque altro integrale di linea, dipende dalla funzione ${\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})$, il sentiero lungo il quale l'integrale viene computato ed i punti terminali della linea. Tuttavia, sotto certe condizioni, il valore dell'integrale dipende soltanto dai punti limite estremi e diventa indipendente dal tracciato di curva che li unisce.

Notiamo che un altro integrale di linea di ${\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})$ può venire impostato come segue

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \int _{a}^{b}{\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})\times d{\vec {\mathcal {s}}}\ \ \ \ \ \ \ oppure\ \ \ \ \ \ \ \ \ \int _{a}^{b}{\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})\times {\vec {\mathcal {e_{s}}}}ds$
il risultato di questo integrale è un vettore.

Circolazione

Gli integrali di linea del tipo appena descritto possono essere formati lungo delle linee curve chiuse. Di particolare interesse è l'ntegrale
$\ \ \ \ \ \oint {\vec {\mathcal {A}}}\cdot d{\vec {\mathcal {s}}}\ \ \ \ oppure\ \ \ \oint {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {e_{s}}}}ds\ \ \ oppure\ \ \ \ \oint A\ cos\alpha \ ds$
lungo una curva spaziale C. Un tale integrale è noto come circolazione vettoriale del vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ lungo la curva C. Generalmente, il valore della circolazione è diverso da zero e dipende dalla funzione ${\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})$ e dalla curva C. In taluni casi, tuttavia, la circolazione svanisce e risulta indipendente dalla curva.

integrale di superficie

Si prenda in considerazione una superficie non chiusa S tracciata in un campo descritto da una funzione di posizione scalare $\phi ({\vec {\mathcal {r}}})$. Si divida la superficie in elementi infinitesimali. Ciascuno degli elementi della superficie può venire ora considerato come una superficie piana e denotato come un vettore

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d{\vec {\mathcal {S}}}={\vec {\mathcal {n}}}dS$

laddove ${\vec {\mathcal {n}}}$ è un versore normale all'elemento di superficie. Il versore ${\vec {\mathcal {n}}}$ è tracciato arbitrariamente da un lato o dall'altro della superficie S. Tuttavia, se prima viene assegnato un verso di circolazione lungo il perimetro C della superficie, la direzione di ${\vec {\mathcal {n}}}$ viene scelta secondo la regola della mano destra a seconda del verso di percorso lungo C. Impiegando queste notazioni diamo forma all'integrale

$\ \ \ \ \ \ \ \ \iint _{S}\phi ({\vec {\mathcal {r}}})d{\vec {\mathcal {S}}}\ \ \ \ oppure\ \ \ \ \iint _{S}\phi ({\vec {\mathcal {r}}}){\vec {\mathcal {n}}}dS$

sull'intera superficie S. Un tale integrale è nominato integrale di superficie della funzione $\phi$ sulla superficie S. Il risultato dell'integrale è un vettore.
Consideriamo il prossimo vettore funzione di posizione ${\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})$ e poniamo che S sia una superficie aperta nel suo campo. Allora l'integrale
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \iint _{S}{\vec {\mathcal {A}}}\cdot dS\ \ \ \ oppure\ \ \ \ \ \ \ \iint _{S}{\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {n}}}\ dS$
comwputato sulla superficie S è nominato integrale di superficie di ${\vec {\mathcal {A}}}$sulla superficie S. Poiché ${\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {n}}}$ è la componente di ${\vec {\mathcal {A}}}$ nella direzione della normale all'elemento di superficie, questo integrale è semplicemente l'integrale di superficie di questa componente. Il valore di questo integrale è quindi uno scalare.

Per il campo vettoriale ${\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})$ si può formare un altro integrale espresso da
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \iint _{S}{\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})\times d{\vec {\mathcal {S}}}\ \ \ \ oppure\ \ \ \ \ \ \ \iint _{S}{\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})\times {\vec {\mathcal {n}}}\ dS$
Il risultato di un tale integrale è un vettore

Integrali di superficie descritti sopra possono venire pure composti su superfici chiuse. Come mostrato nella figura sia S una superficie chiusa e, come prima, si ponga che $d{\vec {\mathcal {S}}}={\vec {\mathcal {n}}}dS$ denoti un elemento di S. Per una superficie chiusa, la normale sarò sempre tracciata in tale modo che esca dalla regione racchiusa dalla superficie e ci si riferirà ad essa come la normale uscente. Facendo uso di questa convenzione diamo forma ai seguenti integrali di superficie.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \iint _{S.c}\phi d{\vec {\mathcal {S}}}\ \ \ \ oppure\ \ \ \ \ \ \ \iint _{S.c}\phi {\vec {\mathcal {n}}}dS$
Il risultato di questo integrale è un vettore.
Per un campo vettoriale ${\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \iint _{S.c}{\vec {\mathcal {A}}}\cdot d{\vec {\mathcal {S}}}\ \ \ \ oppure\ \ \ \ \ \ \ \iint _{S.c}{\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {n}}}\ dS$

il risultato del quale è uno scalare.
L'altto integrale è

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \iint _{S.c}{\vec {\mathcal {A}}}\times d{\vec {\mathcal {S}}}\ \ \ \ oppure\ \ \ \ \ \ \ \iint _{S.c}{\vec {\mathcal {A}}}\times {\vec {\mathcal {n}}}\ dS$
I risultato del quale è un vettore.
Questi ultimi tre integrali si presentano frequentemente nei problemi di fisica.

Flusso di un vettore uscente da una superficie

La quantità ${\vec {\mathcal {A}}}\cdot d{\vec {\mathcal {S}}}\ \ oppure\ {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {n}}}\ dS$ è abitualmente chiamata flusso di un vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ uscente da un elemento superficiale $d{\vec {\mathcal {S}}}$. Con flusso uscente di ${\vec {\mathcal {A}}}$ intendiamo il flusso di ${\vec {\mathcal {A}}}$ in direzione della regione che contiene la nornale a $d{\vec {\mathcal {S}}}$. Questo è il caso in cui la componente ${\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {n}}}$ è positiva. Con questa interpretazione, l'integrale di superficie $\iint _{S}{\vec {\mathcal {A}}}\cdot dS\ \ o\ \iint _{S}{\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {n}}}\ dS$ è denominato flusso uscente del vettore $d{\vec {\mathcal {A}}}$ dalla superficie S. Dato che ${\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {n}}}$ puo essere positiva in taluni punti e negativa in altri della superficie S, con flusso uscente di $d{\vec {\mathcal {A}}}$ dalla superficie S intendiamo di fatto il flusso netto uscente di ${\vec {\mathcal {A}}}$.
L' integrali$\iint _{S.c}{\vec {\mathcal {A}}}\cdot d{\vec {\mathcal {S}}}\ \ o\ \ \iint _{S.c}{\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {n}}}dS$ è il flusso di ${\vec {\mathcal {A}}}$ attraverso la superficie S della regione delimitata da S.

superficie chiusa

Integrale di volume

Consideriamo una regione di spazio R nel campo di una funzione scalare di posizione $\phi ({\vec {\mathcal {r}}})$. Poniamo che la regione sia divisa in un numero di elementi volumetrici infinitesimali $d\tau$. Allora l'integrale

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \iiint _{s}\phi ({\vec {\mathcal {r}}})d\tau$

assunto in ogni parte del volume, è noto come integrale volumetrico di $\phi$ nella regione R. Il risultato dell'integrale è uno scalare.

Analogamente, se R è una regione dello spazio nel campo di una funzione vettoriale di posizione $\phi ({\vec {\mathcal {r}}})$, l'integrale
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \iiint _{s}{\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})d\tau$

è noto come integrale volumetrico di ${\vec {\mathcal {A}}}$ nella regione R. Il risultato di un tale integrale è un vettore.