Algebra vettoriale/Derivazione dei vettori

Funzioni coinvolgenti vettori e scalariModifica

Se volessimo descrivere il moto di un punto massa lo faremo specificando in istanti diversi di tempo la sua posizione rispetto ad un qualche punto fisso di una struttura di riferimento prescelta. Cioè, descriviamo il vettore posizione r come una funzione del tempo, una variabile scalare. Questa relazione funzionale viene espressa simbolicamente da

 

Questo è un esempio di un vettore come funzione di uno scalare. Ugualmente, Se per ciascun valore di una variabile scalare t vi corrisponde un dato valore di un vettore  , diciamo che il vettore   è una funzione dello scalare t e si scrive

 

Supponiamo che si voglia descrivere la temperatura di un corpo riscaldato su ogni suo punto. Per fare ciò si specifichi ciascun punto del corpo tramite un vettore posizione tracciato da un punto di riferimento scelto arbitrariamente e si enunci che la temperatura T sia una funzione del vettore   di posizione. Simbolicamente si scriva

 

Qui si ha un esempio di uno scalare come una funzione di un vettore. Similmente, se per ciascun valore di un vettore   vi corrisponde un certo valore di un scalare  , si dice che il valore   è una funzione del vettore   e scriviamo

 

Quando   indica il vettore posizione enunciamo che φ è una funzione scalare di posizione. Le distribuzioni di pressione, densità e temperatura nell'atmosfera sono esempi di funzioni scalari di posizione.
considereiamo ora un corpo rigido che ruoti ad una velocità angolare costante ω. La velocità di un punto del corpo è fornita da:
 
dove   è il vettore posizione da un punto di riferimento preso sull'asse di rotazione. Differenti valori di   forniscono le velocità dei differenti punti del corpo. Diciamo che la velocità è una funzione del vettore posizione e scriviamo simbolicamente
 .
Questo è un esempio di un vettore funzione di un altro vettore. Se per ciascun valore di   vi corrisponde un certo valore di un altro vettore  , dciamo che   è una funzione di   e scriviamo
 
Quando   denota il vettore posizione,  viene detto di essere una funzione vettoriale di posizione. La forza di grvità sperimentata da un corpo in presenza di un altro corpo è un esempio di una funzione vettoriale di posizione. Similarmente, la forza di Coulumb che agisce su un corpo carico di elettricitàin presenza di un altro corpo carico è una funzione di posizione vettoriale,
Le relazioni funzionali che sono state introdotte sono semplicemente delle forme particolari delle espressioni più generiche espresse da
 
(uno scalare come funzione di un altro scalare e di un vettore) e
 
(Un vettore è una funzione di un altro vettore e di uno scalare). Quando   e t significano rispettivamente posizione e tempo, diciamo che φ è una funzione scalare di posizione e tempo. e che   è una funzione vettoriale di posizione e tempo. Se nel caso di un corpo riscaldato la temperatura varia in ogni suo punto col tempo, diciamo che la temperatura T è una funzione scalare di posizione e tempo e scriviamo . In simile modo, se nel caso di un corpoconsideriamo la funzione rigido ruotante la velocità angolare varia col tempo, in ogni suo punto, diciamo che la velocità   e una funzione vettoriale di posizione e tempo e scriviamo  .
Facendo uso del principio di scomposizione di un vettore nelle sue componenti scalari, le precedenti funzioni che coinvolgono dei vettori possono venire interpretate nei termini di funzioni scalari di variabili scalari. Una tale interpretazione istituisce una corrispondenza tra le operazioni del calcolo vettoriale e quelle del calcolo scalare.
Prima consideriamo la funzione  . Siano A1, A2 e A3 le componenti di   rispetto ad un sistema fissato di vettori unitari che sono indicati con  ,   e  . Scriviamo quindi
 .
Con questa rappresentazione, la funzione   può venire interpretata quale equivalente a tre funzioni
 .
Quindi, una funzione vettoriale di una variabile scalare è equivalente ad un sistema di tre equazioni scalari indipendenti della medesima variabile scalare.
Ora consideriamo la funzione  . Se q1, q2, q3 sono le componenti di   rispetto a un sistema di vettori unitari  ,   e  ,   può essere considerata equivalente alla funzione
 
Ci significa che una funzione scalare di un vettore è equivalente ad una funzione scalare di tre variabili scalari indipendenti.
Poi ora consideriamo la funzione  . Se come prima A1 , A2, A3 sono le componenti di   e q1, q2, q3 sono le componenti di  ,   può essere scritto come equivalente al sistema di equazioni espresso con
 
 
 
Perciò una funzione vettoriale di un vettore è equivalente a un sistema di tre funzioni scalari indipendenti di tre variabili scalari.
Ugualmente, le funzioni   e   possono venire espresse in termini di funzioni scalari di variabili scalari.

Campi scalari e vettorialiModifica

Una funzione di posizione scalare o vettoriale associa un valore definito di una grandezza scalare o vettoriale ad ogni punto di una porzione di spazio. I vari punti della data regione, insieme ai valori corrispondenti della grandezza scalare o vettoriale, formano ciò che è chiamato un campo. Se la grandezza in questione è scalare, il campo e chiamato campo scalare, se la gandezza è un vettore, il campo e chiamato campo vettoriale. Se abbiamo a che fare con una funzione scalare o vettoriale di posizione e del tempo, i valori della grandezza scalare o vettoriale nei vari punti della regione variano da istante ad istante ed il campo diventa un campo instabile o non stazionario. Se abbiamo da che fare con un campo funzione della sola posizione, il campo conserva la medesima struttura per tutto il tempo e viene detto campo stabile o stazionario. Il concetto di campo ci aiuta a mostrare ciò che sta accadendo simultaneamente in tutti i punti di una regione dellospazio.
Un arbitrario punto nel campo è denominato field point.
Consideriamo un campo scalare rappresentato da una funzione biiettiva  . È possibile tracciare su tale campo una famiglia di superfici tale che ciascuna superficie attrversa tutti quei punti che anno lo stesso valore della grandezza scalare  . Le superfici sono, pertanto, superfici a   costante, e sono rappresentate da
 
con la costante che assume un valore diverso per ciascuna superficie. Tali superfici sono chiamate normalmente superfi di livello. Superfici di densità costante o di pressione costante o di temperatura costante sono tutti esempi di superfici di livello. Se il campo scalare è stabile le sue superfici di livello rimangono costanti nel tempo. Se il campo scalare è instabile le superfici di livello variano istante per istante.

 
Campo velocità di un corpo rigido rotante visto in un piano normale all'asse di rotazione


Ci si può raffigurare un campo vettoriale immaginando delle frecce collocate nei vari punti delle regioni dello spazio, ciascuna freccia puntante nella direzione della grandezza vettoriale associata al punto ed avente una lunghezza proporzionale alla grandezza stessa. Come esempio, il campo di velocità di un corpo rigido ruotante con una velocità angolare costante è mostrato nella figura affiancata.

 
Linee di campo di un campo di velocità di un corpo rigido che ruota


Un sistema di curve può essere tracciato in un campo vettoriale tale che la tangente in cogni suo punto abbia la direzione della grandezza vettoriale associata ad esso. Tali curve sono denominate linee di campo. Se il campo vettoriale è un campo di forze, le linee di campo sono note come linee di forza; se il campo è il campo della velocitò di un fluido in movimento esse sono note come linee di flusso.
Se in qualsiasi momento tracciamo una linea arbitraria nel campo vettoriale e tracciamo le linee di campo che la attraversano, si da luogo ad una superficie nota come superficie di campo. Se consideriamo una linea chiusa e tracciamo tutte le linee di campo che la attraversano si forma un tubo noto come tubo di flusso.
Un esempio famigliare di linee di campo è l'immagine delle curve formate dalla limatura di ferro in presenza di un magnete. Le linee di campo di un campo di velocità di un corpo rigido che ruota a velocità costante è mostrato nella figura accanto.
Se il campo vettoriale di cui ci occupiamo è stazionario, la immagine di queste linee di campo rimangono invariate nel tempo; altrimenti l'immagine cambia istante per istante. Per formulare analiticamente le linee di campo di un capo vettoriale   si procede come segue. Si consideri, in un certo istante, la linea di campo che passa attraverso un punto  . Sia   un elemento della linea attraverso  . Per definizione   ha la stessa direzione del vettore   assocato al punto   nell'istante considerato. Cioè,   e   sono vettori paralleli. Ricordando che il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è zero, scriviamo
 
Questa, quindi, è l'equazione differenziale che determina, in qualsiasi istante, le linee di campo del campo vettoriale  . Facendo ricorso al principio della scomposizione di un vettore nelle sue componenti, questa equazione può venire rapidamente…………..ad ogni sistema di coordinate prescelto.
Dato che la funzione   è equivalente a tre funzioni scalari di posizione e tempo qualsiasi campo vettoriale può venire considerato equivalente a tre capi scalari.

Derivazione di un vettore funzione di una variabile scalareModifica

Se un vettore   varia da un valore   ad un valore   l'incremento di  


indicato con   è semplicemente la differenza vettoriale tra   e  . Cioè
 
Un cambiamento in un vettore può essere causato da un cambiamento nella sua grandezza o da un cambiamento nella sua direzione o da un cambiamento in entrambe.
Se un vettore   è una funzione di una variabile scalare t, l'ncremento   in   corrispondente ad un incremento   da t  , è dato da
 
Se il rapporto(la variazione media di   rispetto a t nell'intervallo  ) tende adz un limite come   tende a 0, quel limite è denotato la derivata di   rispetto a t (comparare l a definizione della derivata di una funzione scalare di una variabile scalare).
Seguendo le convenzioni usuali del calcolo differenziale, denotiamo questa derivata con   e verghiamo
 
Vediamo ora l'interpretazione geometrica di questa derivata. Se rappresentiamo i valori differenti del vettore   continuamente variabile con delle frecce tracciate da un punto comune O, l'estremità del vettore descriverà nell o spazio una curva C. Facciamo che   rappresenti   nell'istante t e   lo rappresenti nell'istante   al tempo  

 
determinazione della derivata di un vettore


Allora l'incremento   è rappresentato dalla corda vettore   della cirva C. Così abbiamo
 
o
 
Per interpretare il limite si proceda come segue. Un punto come P o Q' sulla curva C puo venire specificato dando sia i l vettore   sia la distanza s misurata lungo la curva da un qualche punto iniziale preso come riferimento. Poiché t varia, S cambierà quando A varia; quindi S=S(t) e   possono essere considerate come dipendente da S. Lasciamo   rappresentare l'incremento di S da P a Q. Pertanto,
 
Immettendo  , riscriviamo l'equazione () come
 
 
Ora,   è un vettore lungo   con una grandezza uguale a
 
Quando  
 
e la direzione di   diventa quella della tangente alla curva C nel punto P. Designando con   un vettore unitario tangente in P si scriva

Con ciò, l'equazione (2.3a) diventa
 
che esprime la derivata come il prodotto di una grandezza e di una direzione.
Come un esempio delle considerazioni precedenti, si consideri il moto di una particella massiva. La sua posizione, in ogni istante, sia denotata da   misurato da un punto fisso prescelto di un sistema di riferimento. La traiettoria della particella è data dalla curva C tracciata dal vettore   mentre t varia. La velocità   della particella in ogni momento è fornita dalla derivata  . Pertanto si ha
 
asserente che la velocità è tangente alla traiettoria nell'istante considerato, e che la grandezza della ve V della velocità è uguale al rapporto della variazione della distanza lungo la traiettoria (cioè della velocità).
Come semplice conseguenza della equazione (2.4) possiamo fare notare che la direzione della derivata   quando   é di lunghezza costante ma di direzione variabile sia perpendicolare al vettore  .
Consideriamo ora la derivata della somma e del prodotto di funzioni vettoriali, funzioni tutte che dipendono dalla medesima variabile. In entrambi questi casi i metodi formali di derivazione utilizzati nel calcolo numerico sono ugualmente applicabili. ad eccezione dei casi che implicano dei prodotti vettoriali, in cui l'ordine dei vettori deve essere mantenuto. Ciò. naturalmente, è una conseguenza del fatto che i prodotti vettoriali non sono commutativi. Ne conseguono i seguenti risultati:
  1. Le derivate di ordine superiore di una funzione    sono elaborate tramite successive derivazioni come nel calcolo numerico.

 2. Se    è la somma di due funzioni tali che
 
si ha che
 
 3. Se   abbiamo
 

 4. Se   ricaviamo
 
Poiché il prodotto scalare è commutativo, l'ordine dei vettori in questa derivazione non è necessario che sia preservato

 5. La derivata del prodotto vettoriale   è data da
 
e non è uguale a
 
poiché il prodotto vettoriale non è commutativo, e qui l'ordine dei vettori deve essere mantenuto.
 6. Considerando un prodotto vettotiale triplo otteniamo
 
e
 
Nuovamente, anche qui l'ordine dei vettori deve venire conservato.
Concludendo questo capitolo colleghiamo le derivate del vettore   alle derivate delle sue componenti. Per fare ciò, scegliamo un sistema di vettori unitari   e formuliamo
 
Cosi otteniamo
 
Se i vettori unitari sono costanti, questa espressione diventa
 
Se invece pure i vettori unitari sono variabili con lo scalare t si ottiene
 

Per illustrare il caso in cui i vettori unitari di riferimento sono pure variabili, si consideri la descrizione in coordinate cilindriche del moto di un punto materiale.
Concordemente, denotiamo con x, y, z la posizione, istante per istante, di tale punto, e con   i corrspondenti vettori unitari. Ricerchiamo la velocità V del punto in un istante determinato. Per definizione la velocità del punto è uguale al tasso di cambiamento della sua posizione. Pertanto, se   fornisce la posizione del punto rispetto ad un determinato punto, scriviamo
 
In coordinate cilindriche
 

Di conseguenza, si ottiene
 
Poiché la direzione dell'unità vettoriale cambia con il cambiamento di posizione, questa equazione si svilupps in
 
Per valutare il rateo di variazione del versore  , si procede nella medesima maniera usata nel ricavare l'Equazione (2.4) ottenendo
 

Con questa relazione, la velocità espressa in coordinate cilindriche diviene

 
Se non avessimo riconosciuto che   è variabile, saremmo giunto ad un risultato non corretto cioè che la velocità della particella sarebbe uguale a
 

Cambiamenti nei versori nelle coordinate cilindriche e sfericheModifica

Quando ci si muove da un punto ad un altro punto nelle coordinate cilindriche o sferiche, delle variazioni si verificano nei versori di riferimento. Dobbiamo ore determinare questi cambiamenti.

  Coordinate cilindriche. Ci si sposti da un punto   di un infinitesimo di distanza

 
in qualche direzione. Qui   sono i versori associati al punto  . Siano   i versori associati a  . Come viene mostrato nella fig.2-4a, il sistema  


deriva da una rotazione infinitesimale

 

ove il pedice i può essere

del sistema  . Pertanto, il cambiamento in ognuno dei vettori unitari è dato da
 
in cui il pedice i può essere  . Ricorrendo all'uso della relazione (2.7) e della relazione (2.8) si ottengono le variazioni dei versori come
 
 
 


  Coordinate sferiche.

Ora indichiamo un punto nello spazio con  . Ci spostiamo di un infinitesimo di distanza in una direzione qualunque
 
Dove  ,  ,   sono i versori associati con il punto  . Indichiamo con  ,  ,   i versori associati con  .Osserviamo, come indica la figura accanto, che il sistema  ,  ,   risulta da una infinitesima rotazione
 
del sistema  , dove   è un versore orientato nella direzione dell'asse da cui si misura  . Esprimendo   in termini di\vec{\mathcal{e_r}}</math> e \vec{\mathcal{e_\theta}}</math> con la relazione
 
si scrive l'equazione (2.10) come

 

Con questa relazione per  , i cambiamenti nei vettori unitari possono venire determinati dalla equazione

 

dove il pedice i può essere r, Θ o φ. Si ottiene quindi

 
 
 

sistemi di riferimentoModifica

Nelle precedenti argomentazioni le quantità vettoriali sono state descritte con riferimento ad una origine scelta. Una tale origine è un punto fisso in un qualche sistema di riferimento. Con sistema di riferimento intendiamo una struttura spazio-tempo che ci consente, tramite opportune misurazioni, di descrivere fenomeni fisici tali come la posizione di centri di massa ed il trascorrere del tempo.

 
 
Sia   un sistema di versori fissato in K, e siano  ,  ,   le componenti scalari rispettive di  . Osserviamo che i versori   non sono funzioni della variabile t nella struttura K, mentre lo sono se osservati dalla struttura K0. Le componenti scalari sono semplicemente funzioni scalari della variabile scalare in entrambe le strutture di riferimento; in questo caso la distinzione tra le strutture di riferimento diventa irrilevante.
Esprimendo   nella forma composita scrivamo
 
 

Consideriamo il termine  . Dato che la derivata di una funzione scalare di una variabile scalare non dipende dalla struttura di riferimento, rileviamo che
 

Possiamo quindi scrivere che
 
dato che   è indipendente da t nella struttura K. Ugualmente, si ha
 
e
 
Combinando le equazioni (1),(2) e (3) si giunge al isultato
 
Consideriamo ora il termine
 
Poiché   è un vettore fisso nella struttura K che sta ruotando con una velocità angolare   rispetto alla struttura  , si può verificare che
 
Possiamo quindi scrivere

 
Allo stesso modo, otteniamo
 
e
 
Combinando le relazioni AAA, arriviamo al risultato
 
Usando le relazioni g g g, l'equazione AA può essere riscritta come
 .
Ciò fornisce la relazione richiesta tra le derivate di   nelle str utture di riferimento K e Ko.