Algebra vettoriale/Componenti vettoriali

Componenti vettoriali

Sinora lo studio dell'algebra dei vettori ha proceduto sulla base di una descrizione geometrica del vettore come un segmento di linea orientato. Ora procediamo verso una descrizione analitica del vettore e delle operazioni su di esso. Una tale descrizione apporta una connessione tra vettori e i numeri ordinari, e mette in relazione le operazioni sui vettori a quelle sui numeri. La descrizione analitica di un vettore è fondata sulla nozione delle componenti di un vettore. Dalla idea di addizione, ne segue che ogni vettore può venire rappresentato come somma di un numero di vettori arbitrariamente scelti non complanari. Qualora ciò venga fatto, si esplicita che un certo vettore è risolto in un numero di vettori componenti.

Per esprimere analiticamente la forma composita di ${\vec {\mathcal {A}}}$ si scrive
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}=a{\vec {\mathcal {e_{a}}}}$ + b${\vec {\mathcal {e_{b}}}}$
Si potrebbe, se ciò fosse desiderato, scomporre il vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ in un numero di vettori non paralleli. Tuttavia, selezionando due qualsiasi di questi componenti vettoriali, possiamo esprimere ciascuno degli altri in termini dei due selezionati. Pertanto, il numero delle componenti indipendenti che sono necessarie e sufficienti per scomporre un vettore in un piano sono due. Allo stesso modo, qualsiasi vettore nello spazio può essere risolto in componenti vettoriali non complanari. Il numero di componenti indipendenti che sono necessari e sufficienti per scomporre un vettore nello spazio è tre. Pertanto, se nominiamo tre direzioni non complanari con tre vettori unitari ${\vec {\mathcal {e_{a}}}}$. ${\vec {\mathcal {e_{b}}}}$ e ${\vec {\mathcal {e_{c}}}}$, come esposto in figura, qualsiasi vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ può venire rappresentato come composto dai vettori ${\vec {\mathcal {ae_{a}}}}$. ${\vec {\mathcal {be_{b}}}}$ e ${\vec {\mathcal {ce_{c}}}}$, in cui a, b e c sono dei numeri adeguati.
Pertanto, la forma composita di un vettore tridimensionale ${\vec {\mathcal {A}}}$ viene espressa con

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {ae_{a}}}}\ +\ {\vec {\mathcal {be_{b}}}}\ +\ {\vec {\mathcal {ce_{c}}}}$
I numeri a, b e c che possono essere negativi o positivi, sono denominati le componenti scalari di ${\vec {\mathcal {A}}}$ oppure le misure delle componenti di ${\vec {\mathcal {A}}}$. Usualmente ci si riferisce semplicemente ai numeri a, b e c come alle componenti di ${\vec {\mathcal {A}}}$ essendo sottinteso che essi sono le componenti scalari di ${\vec {\mathcal {A}}}$ nelle rispettive direzioni ${\vec {\mathcal {e_{a}}}}$. ${\vec {\mathcal {e_{b}}}}$ e ${\vec {\mathcal {e_{c}}}}$.
Per mostrare l'utilità di esprimere i vettori in forma composita, impostiamo un sistema basico di tre vettori non complanari. Poi, tutte le grandezze vettoriali siano espresse nella forma composita rispetto a questo sistema basilare. Una volta che ciò sia fatto, tutte le operazioni implicanti le grandezze vettoriali si ridureranno a operazioni che coinvolgono le loro componenti scalari. Per esempio si consideri la uguaglianza di due vettori ${\vec {\mathcal {A_{1}}}}$ e ${\vec {\mathcal {A_{2}}}}$. Se ${\vec {\mathcal {e_{a}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{b}}}}$ e ${\vec {\mathcal {e_{c}}}}$ denotano un sistema basilare di versori, e se $a_{1}$, $b_{1}$, $c_{1}$ sono le rispettive componenti scalari di ${\vec {\mathcal {A}}}$, otteniamo per

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A_{1}}}}={\vec {\mathcal {A_{2}}}}$

la relazione delle componenti

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{1}{\vec {\mathcal {e_{a}}}}+b_{1}{\vec {\mathcal {e_{b}}}}+c_{1}{\vec {\mathcal {e_{c}}}}=a_{2}{\vec {\mathcal {e_{a}}}}+b_{2}{\vec {\mathcal {e_{b}}}}+c_{2}{\vec {\mathcal {e_{c}}}}$
Questa si riduce ulteriormente a tre equazioni scalari

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{1}=a_{2}\qquad b_{1}=b_{2}\qquad c_{1}=c_{2}$

Come ulteriore esempio, considerate l'addizione di due vettori ${\vec {\mathcal {A_{1}}}}$ e ${\vec {\mathcal {A_{2}}}}$. Se la somma ${\vec {\mathcal {A_{1}}}}$+${\vec {\mathcal {A_{2}}}}$ si indica con ${\vec {\mathcal {A_{3}}}}$ e ele sue componenti con $a_{3}$, $b_{3}$, $c_{3}$, otteniamo per
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A_{3}}}}={\vec {\mathcal {A_{1}}}}+{\vec {\mathcal {A_{2}}}}$
la forma
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{3}{\vec {\mathcal {e_{a}}}}+b_{3}{\vec {\mathcal {e_{b}}}}+c_{3}{\vec {\mathcal {e_{c}}}}=a_{1}{\vec {\mathcal {e_{a}}}}+b_{1}{\vec {\mathcal {e_{b}}}}+c_{1}{\vec {\mathcal {e_{c}}}}+\ a_{2}{\vec {\mathcal {e_{a}}}}+b_{2}{\vec {\mathcal {e_{b}}}}+c_{2}{\vec {\mathcal {e_{c}}}}$

Questa può venire riscritta tramite tre equazioni scalari
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{3}=a_{1}+a_{2}\qquad b_{3}=b_{1}+b_{2}\qquad c_{3}=c_{1}+c_{2}$

Questi esempi tra l'altro mostrano come l'uso della notazione vettoriale porti ad una semplificazione delle espressioni. Una notazione vettoriale singola così come ${\vec {\mathcal {A_{1}}}}={\vec {\mathcal {A_{2}}}}$ è equivalente a tre notazioni scalari$a_{3}=a_{1}+a_{2},b_{3}=b_{1}+b_{2},c_{3}=c_{1}+c_{2}$. Similmente, ${\vec {\mathcal {A_{3}}}}={\vec {\mathcal {A_{1}}}}+{\vec {\mathcal {A_{2}}}}$ è rappresentato da tre equazioni $a_{3}=a_{1}+a_{2},b_{3}=b_{1}+b_{2},c_{3}=c_{1}+c_{2}$.

Specificazione di un vettore

Nella sezione precedente si è visto che se due vettori sono uguali, le loro componenti, rispetto ad un sistema scelto di riferimento di tre vettori non complanari, sono equivalenti. Per converso, se le componenti corrispondenti di due vettori sono equivalenti, essi stessi sono equivalenti per grandezza e direzione. Ciò significa che un vettore è uniquamente determinato da un insieme di tre numeri reali che ne costituiscono le componenti. Per specificare un vettore, grandezze oltre alle sue componenti possono essere usate. Per illustrare ciò, consideriamo un vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$. Poniamo che a, b, c denotino le sue componenti rispetto ai vettori unitari ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{2}}}}$ e ${\vec {\mathcal {e_{3}}}}$ e che α, β e γ denotino gli angoli che il vettote A forma con ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{2}}}}$ e ${\vec {\mathcal {e_{3}}}}$. Allora ciascuno degli insiemi (a,b,c), (α,β,γ), (b,γ,α), (c,α,β), (a,b,γ), eccetera, determina completamente la direzione e la grandezza di ${\vec {\mathcal {A}}}$.
Possiamo pertanto descrivere analiticamente un vettore come un insieme di tre numeri che, in qualche maniera, è collegato ad un sistema di riferimento prescelto di vettori unitari ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{2}}}}$ e ${\vec {\mathcal {e_{3}}}}$. L'insieme dei numeri è ordinato nel senso che il primo numero nell'insieme corrisponde alla direzione ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$, il secondo alla direzione ${\vec {\mathcal {e_{2}}}}$ ed il terzo alla direzione ${\vec {\mathcal {e_{3}}}}$. Inoltre, i tre numeri rappresentanti un vettore devono sottostare a certe specifiche regole, poiché non ciascuno insieme ordinato di tre numeri rappresenta un vettore. Per vedere come tali regole possano essere stabilite, consideriamo qualsiasi vettore e descriviamolo in due sistemi di riferimento diversi. Come si passa da un sistema di riferimento all'altro, il vettore stesso rimane immutato mentre gli insiemi di numeri che lo descrivono saranno diversi nei due sistemi. Tuttavia, poiché gli insiemi descrivono lo stesso vettore, è possibile formulare una regola per esprimere un insieme di numero in termini dell'altro. Quindi è possibile richiedere che i tre numeri che rappresentano un vettore osservino tale regola di trasformazione.
Secondo queste idee, un vettore è definito analiticamente come un insieme ordinato di te numeri che rispettano certe regole specifiche. Se l'insieme dei numeri $q_{1},q_{2}\ e\ q_{3}$ rappresenta un vettore ciò viene espresso simbolicamente scrivendo
$\ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}:(q_{1},q_{2},q_{3})$

Coordinate cartesiane e sistema i,j,k dei vettori unitari

coordinate Cartesia<ne

I tre vettori unitari che costituiscono un sistema di riferimento per le varie grandezze vettoriali sotto considerazione sono abitualmente presi lungo le direzioni degli assi di un sistema di coordinate impiegato per definire la posizione di un punto nello spazio. Un esempio famigliare di un sistema di coordinate è il sistema rettangolare delle coordinate Cartesiane. In questo sistema un punto nello spazio è specificato da tre coordinate misurate relativamente a tre assi mutualmente perpendicolari. si denotino gli assi con X,Y,Z e le coordinate con x,y,z (vedasi figura).

convenzione sistemi coordinate,cartesiane: tipo destrorso e tipo sinistroso

Gli assi coordinati possono venire arbitrariamente designati X,Y e Z, ma è necessario adottare una convenzione costante. Nella figura accanto sono mostrati due modi differenti di disposizione degli assi. I{l metodo sulla sinistra della figura può venire caratterizzato dalla convenzione che una rotazione della mano destra attorno alla direzione positiva dell'asse Z di 90 gradi porta l'asse positivo X sull'asse positivo Y. Un sistema di assi orientati secondo la regola della mano destra è noto come sistema destrorso. Sulla destra della stessa figura è mostrato il metodo caratterizzato dalla rotazione della mano sinistra attorno all'asse Z. In questo lavoro sarà esclusivamente impiegato il metodo della mano destra.
Sia P un punto nello spazio denotato dalle coordinate x.y,z che si riferiscono ad un sistema di coordinate cartesiane X,Y,Z; sia O l'origine delle coordinate; ed ${\vec {\mathcal {r}}}$ denoti il vettore posizione ${\vec {\mathcal {OP}}}$.

forma analitica delle componenti di un vettore

Per descrivere la forma cartesiana di ${\vec {\mathcal {r}}}$ si scelgano tre vettori unitati lungo le direzioni positive degli assi X,Y,Z. Per descrivere la forma analitica di ${\vec {\mathcal {r}}}$si scelgano tre vettori unitari lungo le direzioni positive degli assi X,Y,Z. Denotiamo questi vettori unitari con ${\vec {\mathcal {i}}}$, ${\vec {\mathcal {j}}}$ ,${\vec {\mathcal {k}}}$ rispettivamente. Essi costituiscono un sistema destrorso di vettori mutuamente ortogonali- Le componenti di ${\vec {\mathcal {k}}}$ rispetto al sistema ${\vec {\mathcal {i}}}$, ${\vec {\mathcal {j}}}$ ,${\vec {\mathcal {k}}}$ sono semplicemente x,y,z. Pertanto scriviamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {r}}}={\vec {\mathcal {OP}}}=x{\vec {\mathcal {i}}}+y{\vec {\mathcal {j}}}+z{\vec {\mathcal {k}}}:(x,y,z)$
Poiché sono mutuamente perpendicolari, la lunghezza di ${\vec {\mathcal {r}}}$ è data da
$\ \ \ \ \ \ \ \ r=|{\vec {\mathcal {r}}}|={\sqrt {(}}x^{2}+y^{2}+z^{2})$
If $\alpha ,\beta ,\gamma$ sono gli angoli che ${\vec {\mathcal {r}}}$ fa con ${\vec {\mathcal {i}}}$, ${\vec {\mathcal {j}}}$ ,${\vec {\mathcal {k}}}$ rispettivamente, i coseni direttori di ${\vec {\mathcal {r}}}$ sono dati secondo le seguenti relazioni:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x={\vec {\mathcal {r}}}.{\vec {\mathcal {i}}}=r\cos \alpha$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y={\vec {\mathcal {r}}}.{\vec {\mathcal {i}}}=r\cos \beta$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z={\vec {\mathcal {r}}}.{\vec {\mathcal {k}}}=r\cos \gamma$
Ora, il medesimo sistema ${\vec {\mathcal {i}}}$, ${\vec {\mathcal {j}}}$ ,${\vec {\mathcal {k}}}$ di vettori unitari situato in qualsiasi punto P ed usato per descrivere la forma cartesiana di qualsiasi vettore associato al punto. Pertanto se ${\vec {\mathcal {A}}}$ è una tale quantità vettoriale, e se $a_{x},a_{y},a_{z}$ denotano le componenti di ${\vec {\mathcal {A}}}$ rispetto a ${\vec {\mathcal {i}}}$, ${\vec {\mathcal {j}}}$ ,${\vec {\mathcal {k}}}$, possiamo scrivere
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}=a_{x}{\vec {\mathcal {i}}}+a_{y}{\vec {\mathcal {j}}}+a_{z}{\vec {\mathcal {k}}}:(a_{x},a_{y},a_{z})$
La lunghezza di ${\vec {\mathcal {A}}}$ è data da
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A=|{\vec {\mathcal {A}}}|={\sqrt {(}}x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Nozione delle coordinate curvilinee

Analizzando alcuni problemi fisici, sovente è conveniente usare coordinate di maggiore generalita delle coordinate Cartesiane. Ora esamineremo come tali coordinate generali possano venire introdotte e caratterizzate.
Nel sistema Cartesiano, vari punti nello spazio vengono definiti con l'assegnare valori differenti alle coordinate x,y,z. In un tale spazio X,Y,Z, consideriamo un sistema di tre funzioni indipendenti espresse da
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q_{1}=q_{1}(x,y,z)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q_{2}=q_{2}(x,y,z)\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.18)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q_{3}=q_{3}(x,y,z)$
tale che ci sia un'unica corrispondenza tra x,y,z, e q₁, q₂ e q₃. Per mezzo di queste funzioni, si può determinare, per ogni punto P con coordinate x,y,z, un insieme di tre nuovi numeri q₁, q₂ e q₃. Per contro, se sono scelti tre numeri q₁, q₂ e q₃, un punto con coordinate x, y, z può venire determinato. Ciò significa che la posizione di un punto P nello spazio X,Y,Z puo venire specificato o con un insieme di numeri x,y,z o con q₁, q₂,q₃. Pertanto, ad ogni punto P(x,y,z) possono venire assegnati i corrispondenti valori q₁,q₂,q₃ come insieme di nuove coordinate. In questo senso, il sistema delle funzioni espresse può venire interpretato come definente una trasformazione di coordinate. Le coordinate q₁,q₂,q₃ sono note come coordinate generali di un punto. Si noti che q₁,q₂,q₃ sono coordinate e non è necessario che posseggano la dimensione di una lunghezza. In altri termini, esse non sono necessariamente le componenti del vettore posizione che descrivono il punto P.
Richiamiamo ora il significato generico di una funzione f(x,y,z)=costante. Tae funzione rappresenta una famiglia di superfici con ciascuna superficie della famiglia che corrisponde a valori diversi della costante. Noi ci occupiamo di casi dove una sola superficie della famiglia passa attraverso un punto scelto. Consideriamo ora il sistema di equazioni espresso con
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q_{1}=q_{1}(x,y,z)=costante$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q_{2}=q_{2}(x,y,z)=costante\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.19)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q_{3}=q_{3}(x,y,z)=costante$
Esse rappresentano tre famiglie indipendenti di superfici tali che, in generale, una superficie di ciascuna famiglia passa attraverso un dato punto. Quindi qualsiasi punto nello spazio può venire localizzato come il punto di intersezione di queste superfici indipendenti rappresentate da un sistema di equazioni (1.19). I valori di q₁,q₂,q₃, che appartengono alle tre superfici che passano attraverso un punto, sono pertanto assegnati al punto come coordinate. Questi non sono nulla altro che le coordinate generiche espresse precedentemente dalle funzioni (1.18). Le superfici che sono genericamente descritte dalle equazioni (1.19) sono denominate superfici coordinate curvilinee. Pertanto le coordinate q₁,q₂,q₃ sono pure note come coordinate curvilinee.

concetto nozionale della coordinate curvilinee

Le superfici coordinate che passano attraverso un qualunque punto P(q₁, q₂, q₃) si intersecano a coppie e danno luogo a tre curve spaziali passanti attraverso quel punto. Queste curve di intersezione sono chiamate linee coordinate q-line. Le superfici, q₂=costante e q₃=costante, si intersecano in una linea lungo la quale varia solamente la coordinata q₁. Pertanto, la curva è chiamata la linea q₁ o la curva q₁. Similmente, si ha una linea-q₂ e una linea- q₃ (vedasi figura: l₂ e l₃).
Nel punto P tracciamo una tangente su ciascuna delle linee coordinate. Queste tangenti sono assunte come gli assi coordinati nel punto P (vedi fig.). Questi assi sono considerati positivi nella direzione in cui q₁,q₂,q₃ aumentano spostandoci dal punto P. Lungo gli assi coordinati così formati delineiamo tre vettori unitari e₁, e₂, e₃. Questo sistema di vettori unitari nel punto P può servire da sistema di riferimento per tutte le quantità vettoriali associate al punto P. Dovrebbe rapidamente venire notato che in un sistema di coordinate curvilinee che gli assi e il sistema di riferimento di vettori unitari non sono, in generale, di direzioni fisse nello spazio. Le loro direzioni variano da punto a punto. Si dovrà avere a mente questo aspetto delle coordinate curvilinee.

Coordinate curvilinee ortogonali

In molti problemi, quando siano usate delle coordinate curvilinee, lmath>e coordinate sono scelte tali che le superfici coordinate si intersechino ad angolo retto in ogni punto dello spazio. Tali coordinate sono denominate coordinate curvilinee ortogonali. In questo studio ci occuperemo soltanto di sistemi ortogonali. Come esempi di tali sistemi impiegheremo i seguenti due casi particolari

18-1 coordinate cilindriche

questo sistema i punti nello spazio sono collocati dalle seguenti coordinate
$\ \ \ \ \ \ \ q_{1}=r\ \ \ \ \ q_{2}=\Theta \ \ \ \ \ q_{3}=z$
mostrate in figura (si noti che r non è il raggio vettore OP). Le seguenti equazioni esprimono la trasformazione delle coordinate Cartesiane in coordinate cilindriche e la trasformazione delle coordinate cilindriche in coordinate Cartesiane:

$\ \ \ \ \ r=q_{1}(x,y,z)={\sqrt {(}}x^{2}+y^{2})$;
$\ \ \ \ \Theta =q_{2}(x,y,z)=arc\ tan({x \over y})$
$\ \ \ \ \ z=q_{3}(x,y,z)=z$

o inversamente:

$\ \ \ \ \ x=r\cos \Theta$;
$\ \ \ \ \ y=r\operatorname {sen} \Theta$;
$\ \ \ \ \ z=z$;

Le superfici coordinate date da r=cost sono dei cilindri coassiali con l'asse Z; con θ costante sono metà superfici attraverso l'asse Z; con z costante sono piani perpendicolari all'asse Z.
In ogni punto P(x,y,z) i vettori ${\vec {\mathcal {e_{r}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{\Theta }}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{z}}}}$ denotano il sistema di riferimento di vettori unitari tracciati rispettivamente nelle direzioni di incremento di r, θ e z. I vettori unitari son ortogonali l'un l'altro, e nell'ordine ${\vec {\mathcal {e_{r}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{\Theta }}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{z}}}}$ sono un sistema destrorso. Ad eccezione di eccezione di ${\vec {\mathcal {e_{z}}}}$, questi vettori unitori sono, generalmente, di direzioni differenti in punti diversi dello spszio.
Il vettore ${\vec {\mathcal {R}}}$ indica il vettore ${\vec {\mathcal {OP}}}$ posizione dalla origineO al punto P(x,y,z). Quindi, in forma a componenti ${\vec {\mathcal {R}}}$ è data da:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {R}}}=r\ {\vec {\mathcal {e_{r}}}}+z\ {\vec {\mathcal {e_{z}}}}$
Se ${\vec {\mathcal {A}}}$ è un qualsiasi vettore associato ad un punto P(r,θ,z) ed A_r, A_θ, A_z sono le componenti di ${\vec {\mathcal {A}}}$ nel sistema di vettori unitari ${\vec {\mathcal {e_{r}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{\Theta }}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{z}}}}$ si scrive:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}=A_{r}{\vec {\mathcal {e_{r}}}}+A_{\Theta }{\vec {\mathcal {e_{\Theta }}}}+A_{z}{\vec {\mathcal {e_{z}}}}:(A_{r},A_{\Theta },A_{z})$

18-2 coordinate sferiche

esempio di coordinate curvilinee

In questo sistema un punto nello spazio è localizzato da

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q_{1}=r\ \ \ \ q_{2}=\Theta \ \ \ \ q_{3}=\Phi$

La trasformazione tra coordinate cartesiane e coordinate sferiche è espressa dalle equazioni:
costante

$\ \ \ \ \ \ \ \ r={\sqrt {(}}x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \Theta =arc\cos {x \over {\sqrt {(}}x^{2}+y^{2}+z^{2})}=arc\sin {{\sqrt {(}}x^{2}+y^{2}) \over {\sqrt {(}}x^{2}+y^{2}+z^{2})}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \Phi =arc\cos {x \over {\sqrt {(}}x^{2}+y^{2})}=arc\sin {y \over {\sqrt {(}}x^{2}+y^{2})}$

o, inversamente, dalle equazioni:
$\ \ \ \ \ \ \ \ x=r\operatorname {sen} \Theta \cos \Phi$
$\ \ \ \ \ \ \ \ y=r\operatorname {sen} \Theta \sin \Phi$
$\ \ \ \ \ \ \ \ z=r\cos \Theta$

coordinate sferice

Le superfici coordinate date con r=costante è una sfera concentrica attorno all'origine; con θ= costante è un cono circolare con il vertice all'origine e l'asse lungo l'asse Z; con φ=costante è un mezzo piano attraverso l'asse Z.

In ogni punto P(r,θ,φ) i vettori ${\vec {\mathcal {e_{r}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{\Theta }}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{z}}}}$ designano il sistema di riferimento di vettori initari tracciati rispettivamente nelle direzioni di incremento di r, θ e φ. I vettori unitari sono l'un l'altro ortogonali e formano, nell'ordine ${\vec {\mathcal {e_{r}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{\Theta }}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{z}}}}$, un sistema destrorso. I vettori sono diversamente diretti nei differenti punti nello spazio
La forma Cartesiana di un vettore di posizione ${\vec {\mathcal {r}}}={\vec {\mathcal {OP}}}$ è espressa da
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {r}}}=r{\vec {\mathcal {e_{r}}}}$

Se ${\vec {\mathcal {A}}}$ è un qualsiasi vwttore associato al punto P (r,θ,φ) e se A_r, A_θ, Aφ sono le componenti di ${\vec {\mathcal {A}}}$ in relazione a ${\vec {\mathcal {e_{r}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{\Theta }}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{\Phi }}}}$ approntato inP, scriviamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}=A_{r}{\vec {\mathcal {e_{r}}}}+A_{\Theta }{\vec {\mathcal {e_{\Theta }}}}+A_{\Phi }{\vec {\mathcal {e_{\Phi }}}}:(A_{r},A_{\Theta },A_{\Phi })$

Prodotto di vettori in termini delle loro componenti

Ora esprimeremo in forma Cartesiana i vari prodotti che abbiamo precedentemente considerato. A questo fine scegliamo un sistema destrorso ortogonale di vettori unitari. Si denotino i vettori unitari con ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{2}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{3}}}}$ e le componenti di un qualsiasi vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ rispetto a questi con A₁. A₂ e A₃.
Come prima cosa consideriamo i prodotti scalare e vettoriale dei vettori unitari.
Un prodotto scalare di forma ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$$\cdot$ ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$ è uguale all'unità. Un prodotto scalare di forma ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$$\cdot$ ${\vec {\mathcal {e_{2}}}}$ è uguale a zero.Pertanto, si ha
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {e_{1}}}}\cdot {\vec {\mathcal {e_{1}}}}={\vec {\mathcal {e_{2}}}}\cdot {\vec {\mathcal {e_{2}}}}={\vec {\mathcal {e_{3}}}}\cdot {\vec {\mathcal {e_{3}}}}=1$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {e_{1}}}}\cdot {\vec {\mathcal {e_{2}}}}={\vec {\mathcal {e_{2}}}}\cdot {\vec {\mathcal {e_{3}}}}={\vec {\mathcal {e_{3}}}}\cdot {\vec {\mathcal {e_{1}}}}=0$
Un prodotto vettoriale della forma ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$$\times$ ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$ è uguale a 0.Un prodotto vettoriale dei forma ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$$\times$ ${\vec {\mathcal {e_{2}}}}$ è uguale a ${\vec {\mathcal {e_{3}}}}$ e di forma ${\vec {\mathcal {e_{2}}}}\times {\vec {\mathcal {e_{1}}}}$ è uguale a ${\vec {\mathcal {-e_{3}}}}$. Pertanto si ha
$\ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {e_{1}}}}\times$ ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}={\vec {\mathcal {e_{2}}}}\times {\vec {\mathcal {e_{2}}}}={\vec {\mathcal {e_{3}}}}\times {\vec {\mathcal {e_{3}}}}=0$

e

$\ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {e_{1}}}}\times$ ${\vec {\mathcal {e_{2}}}}={\vec {\mathcal {-e_{2}}}}\times {\vec {\mathcal {e_{1}}}}={\vec {\mathcal {e_{3}}}}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {e_{2}}}}\times$ ${\vec {\mathcal {e_{3}}}}={\vec {\mathcal {-e_{3}}}}\times {\vec {\mathcal {e_{2}}}}={\vec {\mathcal {e_{1}}}}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {e_{3}}}}\times$ ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}={\vec {\mathcal {-e_{1}}}}\times {\vec {\mathcal {e_{3}}}}={\vec {\mathcal {e_{2}}}}$
Viene ora considerato il prodotto di due vettori ${\vec {\mathcal {A}}}$ e ${\vec {\mathcal {B}}}$. Per il prodotto scalare ${\vec {\mathcal {A}}}$$\cdot$ ${\vec {\mathcal {B}}}$ si ha:
$\ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}=(A_{1}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+A_{2}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+A_{3}{\vec {\mathcal {e_{3}}}})\cdot \ (B_{1}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+B_{2}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+B_{3}{\vec {\mathcal {e_{3}}}})$
Usando le relazioni () e (), questo si trasforma in
$\ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}$
che esprime che il prodotto scalare di due vettori è uguale alla somma dei prodotti delle loro corrispondenti componenti.
Per il prodotto vettoriale ${\vec {\mathcal {A}}}\times {\vec {\mathcal {B}}}$ si ha
$\ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}=(A_{1}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+A_{2}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+A_{3}{\vec {\mathcal {e_{3}}}})\times \ (B_{1}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+B_{2}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+B_{3}{\vec {\mathcal {e_{3}}}})$
Usando le relazioni ()() ciò si trasforma in
$\ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}=(A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2}){\vec {\mathcal {e_{1}}}}+(A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3}){\vec {\mathcal {e_{2}}}}+(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}){\vec {\mathcal {e_{3}}}}$
Questo può venire scritto nella forma di determinante
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\times {\vec {\mathcal {B}}}={\begin{vmatrix}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}&{\vec {\mathcal {e_{2}}}}&{\vec {\mathcal {e_{3}}}}\\A_{1}&A_{2}&A_{3}\\B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{vmatrix}}$
che è più facile da ricordare.
Si consideri ora un prodotto triplo di tre vettori ${\vec {\mathcal {A}}}$, ${\vec {\mathcal {B}}}$, ${\vec {\mathcal {C}}}$. Il risultato del prodotto scalare triplo ${\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}\times {\vec {\mathcal {C}}}$ si può scrivere in forma di determinante
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}\times {\vec {\mathcal {C}}}={\begin{vmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}\\B_{1}&B_{2}&B_{3}\\C_{1}&C_{2}&C_{3}\end{vmatrix}}$
che è facile da ricordare.
Il risultatodi un prodotto vettoriale triplo ${\vec {\mathcal {A}}}\times ({\vec {\mathcal {B}}}\times {\vec {\mathcal {C}}})$ può venire scritto in forma di determinante
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\times ({\vec {\mathcal {B}}}\times {\vec {\mathcal {C}}})={\begin{vmatrix}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}&{\vec {\mathcal {e_{2}}}}&{\vec {\mathcal {e_{3}}}}\\A_{1}&A_{2}&A_{3}\\(B_{2}C_{3}-B_{3}C_{2})&(B_{3}C_{1}-B_{1}C_{3})&(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1})\end{vmatrix}}$
Con ciò si conclude l'algebra vettoriale.

Trasformazione delle componenti di un vettore con la rotazione del sistema di coordinate rettangolari

rotazione di un sistema diriferimento

Si è visto che un ve ttore può venire descritto analiticamente tramite un insieme dinumeri che, in un qualche modo, sono correlati a un sistema di riferimento scelto di vettori unitari. Tali tre numeri devono ubbidire a certe specifiche regole, poiché non tutti gli insiemi di tre numeri costituiscono un vettore. Una di tali regole, per esempio, è la relazione con cui le componenti di un vettore si trasformano ruotando un sistema di coordinate rettangolari.

Siano x₁, x₂, x₃, le componenti del vettore posizione ${\vec {\mathcal {r}}}$ rispetto ad un sistema di riferimento di vettori ortogonali unitari ${\vec {\mathcal {e_{1}}}},{\vec {\mathcal {e_{2}}}},{\vec {\mathcal {e_{3}}}}$. Se si ruota questo sistema, mantenendo fissa l'origine, si ottiene un nuovo sistema ortogonale. Si denoti il nuovo sistema con ${\vec {\mathcal {e'_{1}}}},{\vec {\mathcal {e'_{2}}}},{\vec {\mathcal {e'_{3}}}}$. Riguardo a questo sistema indicizzato x₁, x'₂Si ha x'₃ siano le componenti le componenti del vettore posizione. Allora si ha
$\ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {r}}}=\sum _{x=1}^{3}x_{i}{\vec {\mathcal {e_{i}}}}=\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\vec {\mathcal {e_{j}}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (26)$.

Si voglia ora esprimere le componenti x'_j in termini delle componenti x_i e viceversa. Per le componenti x'_j in cui j può essere 1, 2 e 3, si ha:
$\ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {r}}}={\vec {\mathcal {e'_{j}}}}\cdot {\vec {\mathcal {r}}}=\sum _{i=1}^{3}({\vec {\mathcal {e'_{j}}}}\cdot {\vec {\mathcal {e_{i}}}})x_{i}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{i=1}^{3}({\vec {\mathcal {e_{i}}}}\cdot {\vec {\mathcal {e'_{j}}}})x_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (27)$
Introducendo la notazione
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \alpha _{ij}={\vec {\mathcal {e_{j}}}}\cdot {\vec {\mathcal {e'_{j}}}}$
l'equazione (27) si può esprimere come:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x'_{j}=\sum _{i=1}^{3}\alpha _{ij}x_{i}$.
Ugualmente si ha:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{i}={\vec {\mathcal {e_{i}}}}\cdot {\vec {\mathcal {r}}}=\sum _{j=1}^{3}({\vec {\mathcal {e_{i}}}}\cdot {\vec {\mathcal {e'_{j}}}})x'_{j}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{j=1}^{3}\alpha _{ij}x'_{j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (30)$
Le equazioni (29) e (30) costituiscono la regola di trasformazione secondo la quale le componenti di un vettore si trasformano nella rotazione di un sistema di coordinate rettangolari.
Se ${\vec {\mathcal {r}}}$ è un vettore e a₁, a₂, a₃ e a'₁, a'₂, a'₃ sono le sue componenti con riferimento al sistemi non indicizzato e non indicizzato, si hanno le seguenti relazioni di trasformazione per queste componenti:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a'_{j}=\sum _{i=1}^{3}\alpha _{ij}a_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (31)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{i}=\sum _{j=1}^{3}\alpha _{ij}a'_{j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (32)$.
I $\alpha _{ij}$ formano un insieme di nove numeri ottenuti dando a ciascuno i ed a ciascuno j, indipendentemente, i valori 1,2,3. Essi sono i coseni direttori rispettivi dei vettori unitari del sistema indicizzato con quelli del sistema non indicizzato. Così, $\alpha _{ij}$ è il cpseno dell'angolo tra ${\vec {\mathcal {e_{i}}}}$ e ${\vec {\mathcal {e'_{j}}}}$. Si noti che secondo la nostra notazione, il primo pedice, i, in α_ij denota il sistema non indicizzato ed il pedice j mentre il secondo, j, denota il sistema indicizzato. La totalità dei α_ij è nota come matrice di trasformazione.
Gli elementi di α_ij non sono tutti indipendenti. Otteniamo ora alcune relazioni tra di loro. La grandezza del vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ è data da:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A^{2}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}a_{i}=\sum _{j=1}^{3}a'_{j}a'_{j}$
Consideriamo prima la espressione nel sistema con apice. Otteniamo, usando l'equazione (31),
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum _{j=1}^{3}a'_{j}a'_{j}=\sum _{j=1}^{3}(\sum _{i=1}^{3}\alpha _{ij}a_{i})(\sum _{k=1}^{3}\alpha _{ij}a_{k})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum _{k}\sum _{i}(\sum _{j}\alpha _{ij}\alpha _{kj})a_{i}a_{k}$
Ma il lato destro di questa relazione deve eguagliare $\sum _{i}a_{i}a_{i}$ oppure $\sum _{k}a_{k}a_{k}$. Ciò significa che si deve avere
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum _{j=1}^{3}\alpha _{ij}\alpha _{kj}=1\ \ \ \ \ \ \ if\ \ \ \ i=k$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum _{j=1}^{3}\alpha _{ij}\alpha _{kj}=0\ \ \ \ \ \ \ if\ \ \ \ i\neq k$.
Introducendo la notazione
$\delta _{ik}=1\ \ \ \ \ \ if\ \ \ \ i=k$
$\delta _{ik}=0\ \ \ \ \ \ if\ \ \ \ i\neq k$
esprimiamo il risultato (35) come
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum _{j=1}^{3}\alpha _{ij}\alpha _{kj}=\delta _{ik}$
Con ciò l'elemento destro della equazione (34) diventa, come dovrebbe
$\ \ \ \ \ \sum _{k}\sum _{i}\delta _{}a_{i}a_{k}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}a_{i}=\sum _{k=1}^{3}a_{k}a_{k}=A^{2}$
Considerando ugualmente l'espressione $\sum _{i}a_{i}a_{i}=A^{2}$ e trasformandola nei termini delle componenti indicizzate si ottiene
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum _{i=1}^{3}\alpha _{ij}\alpha _{ik}=\delta _{jk}$
Infine, consideriamo il triplo prodotto ${\vec {\mathcal {e'_{1}}}}\cdot ({\vec {\mathcal {e'_{2}}}}\times {\vec {\mathcal {e_{3}}}})$ che è uguale all'unità. Si ha
$\ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {e'_{1}}}}\cdot ({\vec {\mathcal {e'_{2}}}}\times {\vec {\mathcal {e_{3}}}})={\begin{vmatrix}\delta _{11}&\delta _{21}&\delta _{31}\\\delta _{12}&\delta _{22}&\delta _{32}\\\delta _{13}&\delta _{23}&\delta _{33}\end{vmatrix}}=1$