Algebra 2/Complementi di algebra/Sistemi non lineari

Indice del libro


Sistemi di secondo grado

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Ricordiamo che un sistema di equazioni non è altro che l’insieme di più equazioni con le stesse incognite. L’insieme delle soluzioni è dato dall’intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole equazioni.

Definizione: Il grado di un sistema di equazioni, se le equazioni sono polinomi, è dato dal prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono.


Esempio:

Determinare il grado dei seguenti sistemi di equazioni
  •   entrambe le equazioni sono di primo grado; il sistema è di primo grado;
  •   la prima equazione è di primo grado, la seconda di secondo grado; il sistema è di secondo grado;
  •   entrambe le equazioni sono di secondo grado; il sistema è di quarto grado.


I sistemi di secondo grado sono dunque composti da un’equazione di secondo grado e da una di primo grado.

Sistemi di secondo grado numerici

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Esempio:

Risolvere il seguente sistema  

Utilizziamo il metodo di sostituzione che abbiamo già visto per i sistemi di primo grado.

  • Ricaviamo una delle due incognite dall’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado:

 

  • Risolviamo l’equazione di secondo grado in una sola incognita. Questa equazione è detta equazione risolvente del sistema:  .
  • Si sostituiscono i valori trovati per la   nella equazione di primo grado per trovare i valori corrispondenti della  . Le coppie   e  , se ci sono, si dicono soluzioni del sistema.

 

 
Sistema tra ellisse e retta

quindi le soluzioni del sistema sono:

 

Le soluzioni del sistema possono essere interpretate geometricamente come i punti di intersezione tra la retta rappresentata dall’equazione   e la curva rappresentata dall’equazione  . Con qualsiasi software che disegni funzioni inseriamo le due equazioni e otteniamo la figura a lato. La curva rappresentata dalla seconda equazione è una ellisse; i punti   e  , intersezione tra retta ed ellisse, corrispondono alle soluzioni del sistema.

Esempio:

Risolvere il seguente sistema:  

Isoliamo la   dell’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado

 

L’equazione risolvente del sistema   ha il discriminante uguale a zero e due soluzioni reali coincidenti:  . Quindi il sistema ha due soluzioni reali coincidenti

 
Sistema tra parabola e retta

 

cioè il suo insieme soluzione è costituito dalla coppia ordinata  

Le soluzioni del sistema possono essere interpretate geometricamente come i punti di incontro tra la retta rappresentata dall’equazione   e la parabola rappresentata dall’equazione  . La soluzioni saranno due punti reali coincidenti. Questo punto è detto punto di tangenza tra retta e parabola.

Esempio:

Risolvere il seguente sistema:  

Isoliamo   nell’equazione di primo grado e sostituiamola nell’equazione di secondo grado

 

 
Sistema tra circonferenza e retta

Risolviamo l’equazione di secondo grado in una sola incognita   e verifichiamo che   è negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni reali e  . Il sistema non ha soluzioni reali e si dice impossibile.

Le soluzioni del sistema possono essere interpretate geometricamente come i punti di incontro tra la retta rappresentata dall’equazione   e la curva rappresentata dall’equazione  . Nella rappresentazione grafica ottenuta con un software che disegna funzioni le figure geometriche ottenute non hanno punti d’incontro. La curva rappresentata dalla prima equazione è una circonferenza; retta e circonferenza non hanno punti di intersezione.

Conclusione Un sistema di secondo grado, con equazione risolvente di secondo grado, rappresenta sempre l’intersezione tra una retta e una curva di secondo grado (circonferenza, parabola, ellisse o iperbole). Le soluzioni del sistema rappresentano i punti di incontro tra retta e curva. In base al segno del discriminante dell’equazione risolvente abbiamo:

  •   le soluzioni del sistema sono le coordinate di due punti distinti;
  •   le soluzioni del sistema sono le coordinate di due punti coincidenti;
  •   il sistema non ha soluzioni reali. Retta e curva non hanno punti in comune.
 
Sistemi non lineari

Se l’equazione risolvente risulta essere una equazione di primo grado o una uguaglianza vera o falsa, allora:

  • se si ottiene una uguaglianza vera, il sistema è indeterminato;
  • se si ottiene una uguaglianza falsa il sistema è impossibile;
  • se l’equazione risolvente è di primo grado determinata, da essa si ricava il valore dell’incognita e si sostituisce tale valore nell’altra equazione. Il sistema ha una sola soluzione (in questo caso non si parla di due soluzioni coincidenti, come nel caso precedente di  ).

Esempio:

Risolvere il sistema  .

Isoliamo la   dell’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado.

 
Sistema x^2-y^2=0 e x+y=0
 

L’equazione risolvente del sistema in questo caso è una identità (uguaglianza sempre verificata) e tutte le coppie formate da numeri opposti (la prima equazione ci vincola ad avere  ) sono soluzioni del sistema:  . Il sistema ha infinite coppie di numeri reali che lo soddisfano e si dice indeterminato.

La figura è quella che otteniamo se inseriamo le due equazioni in un software che disegna funzioni. La curva di secondo grado è formata dalle due rette   e   e la seconda equazione rappresenta la retta a che si sovrappone alla precedente.

Esempio:

Risolvere il sistema  

Isoliamo la   dell’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado

 
Sistema impossibile tra iperble e retta
 

L’equazione risolvente del sistema   non ha soluzioni, quindi il sistema è impossibile.

La figura a lato è quella che otteniamo se inseriamo le due equazioni in un software che disegna le funzioni. L’equazione di secondo grado rappresenta una curva detta iperbole e la seconda equazione rappresenta la retta; vediamo che curva e retta non hanno punti di intersezione.

Esempio:

Risolvere il sistema  

Isoliamo la   dell’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado

 

 
Sistema tra iperbole e retta con una soluzione

L’equazione risolvente del sistema in questo caso è l’equazione di primo grado  , la cui soluzione è  . Si sostituisce il valore trovato nell’altra equazione e troviamo la soluzione del sistema che in questo caso è unica:

 

quindi, l’insieme soluzione è   

La figura a lato è quella che otteniamo se inseriamo le due equazioni in un applicativo che disegna funzioni. L’equazione di secondo grado rappresenta una curva detta iperbole e la seconda equazione rappresenta una retta; vediamo che curva e retta hanno un solo punto di intersezione.

Sistemi di secondo grado letterali

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Esempio:

Discutere e risolvere il seguente sistema:  .

Si risolve come nel caso degli analoghi sistemi numerici. Bisognerà, nell’equazione risolvente, discutere per quali valore del parametro   si otterranno soluzioni reali. Ricaviamo la   dalla prima equazione e sostituiamola nella seconda equazione:

 

Discutiamo l’equazione risolvente di secondo grado

 

Sostituiamo nella prima equazione   i valori della   così ricavati. Si ha:

 

Sistemi frazionari

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Definizione: Si dice frazionario un sistema in cui almeno una delle equazioni che lo compongono è frazionaria.


Poiché una delle equazioni è frazionaria, l’incognita compare al denominatore e per questo motivo occorre procedere alla definizione del dominio in cui si ricercano le soluzioni del sistema.

Esempio:

Risolvere il seguente sistema  .

Determiniamo le condizioni di esistenza di  .

Trasformiamo l’equazione frazionaria nella sua forma canonica di equazione intera:

 

Il sistema diventa:

 

  è l’equazione risolvente che ha soluzioni  . Sostituiamo le soluzioni trovate nell’equazione di primo grado e otteniamo le soluzioni del sistema:

 

La soluzione   non soddisfa le  , quindi il sistema ha soluzione  .

Sistemi in più incognite

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Quanto detto si può estendere ai sistemi di secondo grado di tre o più equazioni con altrettante incognite. Per risolvere uno di tali sistemi si cercherà, operando successive sostituzioni a partire dalle equazioni di primo grado, di ottenere un’equazione di secondo grado in una sola incognita (equazione risolvente del sistema). A partire dalle eventuali soluzioni di tale equazione, si determineranno poi le soluzioni del sistema stesso.

Esempio:

Risolvere il sistema  

Isoliamo   dalla prima equazione, che è di primo grado, e sostituiamo nelle altre equazioni:

 

Ricaviamo   dalla seconda equazione e la sostituiamo nelle altre:

 

L’equazione   è l’equazione risolvente del sistema; le sue soluzioni sono  .

Sostituiamo i valori trovati per la   nelle altre equazioni per trovare i valori corrispondenti della   e della  :

 

Sistemi simmetrici

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Definizione: Un sistema di due equazioni in due incognite si dice simmetrico se rimane lo stesso scambiando tra loro le incognite.


Per esempio, se nel sistema

 

scambiamo la   con la  , otteniamo

 

che è identico al precedente.

Risolviamo il sistema, le soluzioni sono

 

e come si può notare   e   vengono scambiate anche nella soluzione.

In generale, se il sistema è simmetrico, trovata una coppia soluzione   l’altra è  .

Sistema simmetrico fondamentale

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Il sistema simmetrico fondamentale è del tipo   e risolve il problema di trovare due numeri, nota la loro somma e il loro prodotto.

Ricordiamo che nell’equazione di secondo grado  , la somma delle radici è  , mentre il prodotto è  . Pertanto, basta risolvere l’equazione  , detta equazione risolvente.

In base al segno del discriminante   abbiamo:

  •  : l’equazione risolvente ha due soluzioni distinte   e  , le soluzioni del sistema sono:

 

  •  : l’equazione risolvente ha radici coincidenti  , le soluzioni del sistema sono:

 

  •  : l’equazione non ammette soluzioni reali. Il sistema è impossibile.

Esempio:

 
Sistema tra iperble e retta con due soluzioni

Risolvere il seguente sistema  .

L’equazione risolvente è   le cui soluzioni sono:  .

Le soluzioni del sistema sono quindi le seguenti:

 

Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione   interseca l’iperbole equilatera   nei due punti   e  .

Esempio:

 
Sistema impossibile tra iperbole e retta

Risolvere il seguente sistema  .

L’equazione risolvente è

 

che ha il discriminante negativo e dunque non ha soluzioni reali. Il sistema è impossibile.

Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione   non interseca mai l’iperbole equilatera  .

Esempio:

 
Sistema tra iperble e retta con una soluzione

Risolvere il seguente sistema  

L’equazione risolvente è   le cui soluzioni sono:  .

Il sistema ha due soluzioni coincidenti:

 

Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione   è tangente all’iperbole equilatera   nel punto  .

Sistemi simmetrici riconducibili al sistema simmetrico fondamentale

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In questa categoria rientrano i sistemi simmetrici che, mediante artifici, possono essere trasformati in sistemi simmetrici del tipo visto nella sezione precedente.

Esempio:

Risolvere il sistema  

È possibile trasformare il sistema in un sistema simmetrico fondamentale. Infatti, ricordando l’identità  , il sistema può essere riscritto come:

 

Posto    e     il sistema diventa

 

Esempio:

Risolvere il sistema  

Ricordando l’identità  , il sistema può essere riscritto come:

 

L’equazione risolvente è   le cui soluzioni sono  

Le soluzioni del sistema sono:

 

Esempio:

Risolvere il sistema  

Dividendo per   la prima equazione, per   la seconda e ricordando l’identità   si ha:

 

L’equazione risolvente è   le cui soluzioni sono:  .

Le soluzioni del sistema sono quindi le seguenti:

 

Sistemi non simmetrici riconducibili a sistemi simmetrici

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Rientrano in questa classe i sistemi che, pur non essendo simmetrici, possono essere trasformati, mediante opportune sostituzioni, in sistemi simmetrici. Naturalmente questi sistemi si possono risolvere anche con la procedura solita di sostituzione per i sistemi di secondo grado.

Esempio:

Risolvere il sistema  

Mediante la sostituzione   otteniamo   che è un sistema simmetrico fondamentale.

L’equazione risolvente è   le cui soluzioni sono  , pertanto il sistema ha le soluzioni

 

Dall’uguaglianza   otteniamo le soluzioni del sistema dato

 

Esempio:

Risolvere il sistema  

Mediante la sostituzione   e   da cui   e   otteniamo

 

che è un sistema simmetrico fondamentale.

Risolviamo il sistema simmetrico   con la procedura nota. L’equazione risolvente è   le cui soluzioni sono  ; pertanto il sistema ha le soluzioni:

 

Dalle sostituzioni   e   otteniamo le soluzioni del sistema iniziale

 


Procedura di sostituzione  Ricaviamo una delle due incognite dall’equazione di primo grado e sostituiamola nell’altra equazione

 

Risolviamo l’equazione   avente come soluzioni  . Sostituiamo i valori trovati e ricaviamo i valori della  

 

Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo

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Introduciamo le seguenti trasformazioni dette formule di Waring,[1] dal nome del matematico che le ha formulate per primo. Con tali formule, si possono trasformare le potenze di un binomio in relazioni tra somme e prodotti delle due variabili che lo compongono. Indicate come   somma delle variabili e   il loro prodotto, le seguenti sono le prime formule fino alla quinta potenza.

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  .

Esempio:

Risolvere il sistema  

Applicando l’identità  , il sistema può essere riscritto come:

 

Da cui l’equazione risolvente   con   e  . Le soluzioni del sistema sono quindi:

 .

Esempio:

Risolvere il sistema  

Ricordando l’identità  , il sistema può essere riscritto come:

 

Introduciamo l’incognita ausiliaria  . L’equazione   diventa   che ha come soluzioni  .

Il sistema assegnato è equivalente all’unione di due sistemi

 

e dunque il suo insieme soluzione   si ottiene dall’unione dell’insieme soluzione dei due sistemi  

Il primo sistema   ha equazione risolvente   con radici

 

e quindi il sistema ha soluzioni

 

Il secondo sistema   ha equazione risolvente  , che ha   e quindi insieme soluzione vuoto. Pertanto anche il sistema non ha soluzioni reali, quindi  . L’insieme soluzione del sistema assegnato   è dunque  .

Sistemi omogenei di quarto grado

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Definizione: Un sistema si dice omogeneo se le equazioni, con l’eccezione dei termini noti, hanno tutti i termini con lo stesso grado.


I sistemi omogenei di quarto grado sono quindi nella forma:

 


Primo caso .

Il sistema si presenta nella forma   Un sistema di questo tipo ha sempre almeno la soluzione nulla  .

Per trovare le altre soluzioni del sistema poniamo   e sostituendo abbiamo:

 

Supponendo  , cioè  , possiamo dividere le due equazioni per  , otteniamo così due equazioni nell’incognita   che possiamo risolvere. Se le due equazioni ammettono qualche soluzione comune allora il sistema ammette infinite soluzioni. Le soluzioni sono del tipo   e  , dove   è la soluzione comune di cui si è detto prima.

Esempio:

Risolvere il seguente sistema  

Applicando la sostituzione  , il sistema diventa  

Dividendo per   otteniamo  

La prima equazione ha radici    e   , mentre la seconda equazione ha radici    e   . Le due equazioni hanno una radice in comune  

Pertanto, oltre alla soluzione  , il sistema ammette infinite soluzioni che possono essere scritte nella forma   con  .


Secondo caso .

Il sistema si presenta nella forma  

Ponendo   si ha  .

Dividendo per   la prima equazione ( ) si ha  

Si risolve la prima equazione nell’incognita  ; si sostituiscono i valori trovati nella seconda equazione e si ricavano i valori di   e di seguito i valori di   con  .

Esempio:

Risolvere il sistema  

Sostituendo   il sistema diventa

 

La prima equazione ha radici   e  .

Sostituendo   nella seconda equazione si ha   e sapendo che   si ottengono le coppie

 

Sostituendo   si ha   e sapendo che   si ottengono le coppie

 

L’insieme soluzione del sistema è quindi

 


Terzo caso .

Il sistema si presenta nella forma  

Ponendo   si ha  

Dividendo membro a membro le due equazioni, sotto la condizione  , otteniamo

 

che è una equazione di secondo grado nell’incognita  

Se l’equazione ha come soluzioni   e   dobbiamo poi risolvere i sistemi

 

Esempio:

Risolvere il sistema  

Sostituendo   il sistema diventa  

Dividendo membro a membro con la condizione  , cioè  ,   e  , si ha  , da cui l’equazione   con radici  

A questo punto dobbiamo risolvere i due sistemi:

 

Il primo sistema è impossibile, il secondo ha soluzioni

 

Quindi l’insieme soluzione del sistema è  .

Metodo di addizione

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In alcuni casi è utile applicare questo metodo per eliminare velocemente i termini di secondo grado.

Esempio:

Risolvere il sistema  

Sottraendo membro a membro si ottiene l’equazione di primo grado

 

Il sistema può allora essere trasformato nel seguente:

 

che può essere risolto con il metodo di sostituzione.

Sostituzione delle variabili

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In alcuni casi, sostituendo in modo opportuno le variabili, il sistema può essere risolto più facilmente.

Esempio:

Risolvere il sistema  

Sostituendo   e   il sistema diventa  

Quest’ultimo può essere risolto con il metodo di sostituzione; si ottengono le soluzioni:

 

Ricordando le sostituzioni si ottengono le soluzioni del sistema:

 

Problemi che si risolvono con sistemi di grado superiore al primo

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Riprendiamo un problema già discusso. Considerare più variabili ci permette di facilitare il processo di traduzione in linguaggio matematico.

Problema:  Il trapezio isoscele   è inscritto in una semicirconferenza di diametro   di misura  ; determinare le misure dei lati del trapezio sapendo che il perimetro è  

 
Trapezio inscritto inuna semicirconferenza

Dati 

Obiettivo ;  

Dati impliciti:  

Incognite ;  

Vincoli:  

Relazioni tra dati e incognite 

Soluzioni:  

Verifica: Entrambe le soluzioni sono accettabili.

La risoluzione del problema si basa sull’equazione di primo grado   che definisce il perimetro, sulla congruenza dei segmenti   e   facilmente dimostrabile in quanto stessa distanza tra due rette parallele, l’applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli   e  , rettangoli per costruzione. Naturalmente tutte le informazioni ausiliare vanno dimostrate, ma data la loro facilità le lasciamo al lettore.

Importante è impostare le condizioni sulle incognite che devono essere maggiori di   ma anche   perché il trapezio non diventi un triangolo ( ) e   perché la base minore sia realmente minore ( ). L’ultimo passo consiste nella verifica delle soluzioni, che nel nostro caso sono entrambe accettabili. Si hanno dunque due trapezi inscritti in quella semicirconferenza che avranno il perimetro di  .


Problema:  L’azienda Profit intende fare una ristrutturazione riducendo il numero degli operai. Oggi spende per essi (tutti con lo stesso stipendio) €.   al giorno. Se si licenziassero 5 dipendenti e si riducesse lo stipendio di €.   al giorno si avrebbe un risparmio giornaliero di €.  . Quanti sono gli operai attualmente occupati nell’azienda?

Dati 

Obiettivo: numero operai occupati prima della ristrutturazione

Incognite 

Vincoli 

Altre Informazioni 

Relazioni tra dati e incognite 

Soluzioni 

Verifica: Entrambe le soluzioni sono accettabili.

Naturalmente c’è una grande differenza tra percepire   di salario o  , come avere impiegati   o   operai. Il problema va meglio definito. Sarebbe sufficiente un vincolo che ci dice qual è la paga minima giornaliera di un operaio.


Problema:  Un numero   è composto da tre cifre. Il prodotto delle tre cifre è  . Se si scambia la cifra delle decine con quella delle centinaia si ottiene un numero che supera   di  . Se si scambia la cifra della unità con quella delle centinaia si ottiene un numero minore di   rispetto al numero  . Trovare  .

Dati 

Obiettivo: trovare il numero  

Incognite 

Vincoli .

Altre Informazioni 

Relazioni tra dati e incognite 

Soluzioni .

Verifica: La soluzione soddisfa le condizioni, il numero cercato è  .


Esercizi del capitolo

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  1. Edward Waring, matematico inglese (1736 – 1798).