Riprendiamo la definizione già vista in “Algebra 1” di valore assoluto. Il valore assoluto o modulo di un numero , indicato con , è lo stesso numero se esso è maggiore o uguale a zero, o il suo opposto, cioè , se è minore di zero. In sintesi scriviamo:
Per esempio , , , , .
In maniera analoga definiamo il valore assoluto di un’espressione algebrica. Il valore assoluto o modulo dell’espressione algebrica , indicato con , è una funzione definita per casi, cioè definita da espressioni diverse su sottoinsiemi diversi del dominio,
Risolvendo la disequazione si esplicitano i due sottoinsiemi in cui sono definite le due espressioni algebriche, cioè
In generale, la funzione valore assoluto o modulo di un’espressione algebrica viene definita come:
La funzione è detta argomento del valore assoluto.
Esempio:
Per la funzione trovare le espressioni algebriche che descrivono i due casi.
Per definizione si ha:
Esempio:
Data la funzione descriverla per casi, eliminando i valori assoluti.
Dobbiamo studiare i segni dei due binomi in valore assoluto
La situazione è rappresentata con maggiore chiarezza nel grafico seguente.
Schema grafico per equazioni in valore assoluto
Nell’intervallo l’argomento del primo valore assoluto è positivo o uguale a 0 per e quello del secondo è negativo;
nell’intervallo tutti e due gli argomenti del valore assoluto sono negativi;
nell’intervallo l’argomento del primo valore assoluto è negativo o uguale a 0 per , quello del secondo è positivo o uguale a 0 per ;
nell’intervallo entrambi gli argomenti sono positivi.
Per la definizione di valore assoluto si ha che , pertanto l’equazione diventa
ovvero il tutto equivale all’unione dei due sistemi
Moltiplicando per ambo i membri dell’equazione del secondo sistema otteniamo:
Si vede abbastanza facilmente che sia nel primo che nel secondo sistema le due disequazioni sono sempre verificate. Infatti, nel primo sistema l’equazione verifica automaticamente la disequazione in quanto è richiesto che sia uguale a , pertanto è necessariamente positivo. Stesso ragionamento vale per il secondo sistema. In altre parole, per risolvere la disequazione data è sufficiente risolvere le due equazioni e unendone le soluzioni. Quindi
L’insieme delle soluzioni è quindi: .
Procedura risolutiva
Per risolvere un’equazione del tipo è sufficiente risolvere la doppia equazione .
Esempio:
Risolvere la seguente equazione
L’equazione si risolve unendo le soluzioni delle equazioni e . cioè:
L’insieme soluzione dell’equazione data è quindi
Equazioni con valore assoluto del tipo.
Se l’equazione è impossibile. In questo caso è una contraddizione, in quanto un valore assoluto di una espressione è sempre un valore positivo.
Esempio:
Risolvere la seguente equazione . Impostiamo la ricerca delle soluzioni con il metodo generale presentato in uno degli esempi precedenti. L’equazione corrisponde alla soluzione dell’unione dei due sistemi seguenti
Entrambi i sistemi non hanno soluzioni reali. L’equazione è impossibile.
Equazioni nelle quali l’incognita si trova anche fuori dal modulo
L’equazione presenta due espressioni in valore assoluto; ciascuna espressione sarà sviluppata in due modi diversi dipendenti dal segno assunto dai rispettivi argomenti. Si presenteranno allora quattro casi e l’insieme soluzione dell’equazione sarà ottenuto dall’unione delle soluzioni dei singoli casi. Per semplificare il procedimento studiamo il segno di ciascun argomento e poi confrontiamo i segni con uno schema grafico:
Schema grafico per equazioni in valore assoluto
Si presentano tre casi:
Caso I: ;
Caso II: ;
Caso III: .
In ogni sistema la prima condizione è la disequazione che vincola il segno degli argomenti e la seconda è l’equazione che risulta in base al segno definito. Risolviamo.
Caso I:
Il sistema è impossibile in quanto non è minore di .
Caso II:
Il sistema è impossibile in quanto 0 non appartiene all’intervallo
Caso III:
La soluzione in questo caso è accettabile.
Conclusione:
Esempio:
Risolvere la seguente equazione .
Confrontiamo il segno di ciascun argomento servendoci dello schema:
Schema grafico per equazioni in valore assoluto
In questo esempio dobbiamo esaminare 4 casi che si esplicitano nei sistemi:
Caso I:
Caso II:
Caso III:
Caso IV:
Conclusione: .
Procedura: Risoluzione di un’equazione con valori assoluti:
l’incognita è presente solo nell’argomento del modulo. L’equazione è del tipo e si risolve studiando . Se l’equazione è impossibile;
l’incognita si trova anche al di fuori del modulo. Si analizza il segno dell’argomento del modulo e si risolvono i due sistemi dove la prima condizione è la disequazione che vincola il segno dell’argomento e la seconda è l’equazione che risulta in base al segno definito. L’insieme soluzione dell’equazione è dato dall’unione degli insiemi soluzione dei due sistemi;
è presente più di un modulo che ha l’incognita nel proprio argomento. Si studia il segno di ogni argomento e dallo schema che ne segue si costruiscono e quindi si risolvono i sistemi in cui la prima condizione è la disequazione che vincola il segno degli argomenti e la seconda è l’equazione in base al segno definito. Anche in questo caso l’insieme soluzione dell’equazione è dato dall’unione degli insiemi soluzione dei vari sistemi.
La disequazione assegnata si sdoppia nell’unione di due sistemi:
Semplificando le disequazioni si ha:
Quindi rappresentiamo gli insiemi soluzione dei due sistemi in uno schema, così possiamo trovare agevolmente l’insieme soluzione della disequazione data.
Schema grafico per disequazioni in valore assoluto
