Algebra 2/Algebra di secondo grado/Disquazioni di secondo grado

Risoluzione delle disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado si presenta in una delle seguenti forme:

$ax^{2}+bx+c>0;\quad ax^{2}+bx+c\geq 0;\quad ax^{2}+bx+c<0;\quad ax^{2}+bx+c\leq 0.$

Per risolverla supponiamo che il coefficiente di $x^{2}$, cioè il coefficiente $a$, sia positivo. Se così non fosse, basterebbe cambiare segno a tutti i termini e quindi il verso della disequazione; per esempio, per risolvere la disequazione $-2x^{2}+3x-1>0$ si può risolvere la disequazione $2x^{2}-3x+1<0$.

Per risolvere una disequazione di secondo grado si risolve l’equazione associata, cioè si sostituisce il segno della disequazione con l’uguale. Si passa cioè dalla disequazione $ax^{2}+bx+c>0$ all’equazione $ax^{2}+bx+c=0$.

Possono presentarsi tre casi.

Equazione spuria

Sono equazioni senza il termine noto: $ax^{2}+bx=0$.

Questa equazione ammette sempre due radici reali e distinte, di cui una è sempre $0$. Ricordiamo che l’equazione si risolve mettendo $x$ a fattore comune $x(ax+b)=0$ e applicando la legge di annullamento del prodotto, da cui ricaviamo $x=0\ \vee \ ax+b=0\rightarrow x=-{\tfrac {b}{a}}$. Chiamiamo le due radici $x_{1}$ e $x_{2}$. Analogamente a quanto fatto nelle disequazioni di primo grado, poniamo separatamente ogni fattore maggiore di $0$ e confrontiamo i segni dei singoli fattori, come nel seguente grafico.

Confronto fra segni eq.spuria

Dal grafico si evince che le soluzioni saranno:

• $x<x_{1}\vee x>x_{2}$ soluzioni esterne se la disequazione è $ax^{2}+bx>0$, analogamente $x\leq x_{1}\vee x\geq x_{2}$ se la disequazione è $ax^{2}+bx\geq 0$.
• $x_{1}<x<x_{2}$ soluzioni interne se la disequazione è $ax^{2}+bx<0$, analogamente $x_{1}\leq x\leq x_{2}$ se la disequazione è $ax^{2}+bx\leq 0$.

Esempio:

Risolvere le seguenti disequazioni spurie.

• $3x^{2}-2x>0$.

  Mettiamo $x$ a fattore comune $x(3x-2)>0$.

  Poiché il verso della disequazione è “$>0$” la disequazione è verificata per valori esterni alle soluzioni dell’equazione, cioè: $x<0\vee x>{\tfrac {2}{3}}$;

• $5x^{2}+x\leq 0$.

  Mettiamo $x$ a fattore comune $x(5x+1)\leq 0$.

  Poiché il verso della disequazione è “$\leq 0$” la disequazione è verificata per valori interni alle soluzioni dell’equazione, cioè: $-{\tfrac {1}{5}}\leq x\leq 0$;

• $x-3x^{2}>0$ cambiamo di segno $3x^{2}-x<0$ da cui $x(3x-1)<0$. Soluzioni: $0<x<{\tfrac {1}{3}}$.

Equazione pura

Sono equazioni senza il termine con la $x$: $ax^{2}+c=0$.

Possono esserci due situazioni:

• $c<0$: in questo caso l’equazione ammette due radici reali opposte: $x_{1{\text{,}}2}=\pm {\sqrt {-{\tfrac {c}{a}}}}$: si torna al caso precedente e si ha $x<x_{1}\vee x>x_{2}$ (cioè per valori esterni) se la disequazione è $ax^{2}+c>0$ oppure $x_{1}<x<x_{2}$ (cioè per valori interni) se la disequazione è $ax^{2}+c<0$;
• $c>0$: l’equazione non ammette soluzioni reali; il binomio $ax^{2}+c$ è la somma di un quadrato con un numero positivo, pertanto è sempre positivo. Di conseguenza, la disequazione $ax^{2}+c>0$ avrà soluzioni per ogni $x$ reale, mentre $ax^{2}+c<0$ non avrà nessuna soluzione reale.

Esempio:

Risolvere le seguenti disequazioni pure.

• $x^{2}-4\geq 0$ soluzioni $x\leq -2\vee x\geq 2$;
• $2x^{2}-18\leq 0$ soluzioni $-3\leq x\leq 3$;
• $x^{2}+4>0$ soluzioni $\forall x\in \mathbb {R}$;
• $x^{2}+9\leq 0$ soluzioni nessun valore reale ${\text{I.S.}}=\emptyset$;
• $1-x^{2}<0$ cambiamo di segno $x^{2}-1>0$ soluzioni $x<-1\vee x>1$.

Equazione completa

Sono equazioni con tutti i coefficienti diversi da zero: $ax^{2}+bx+c=0$.

Si calcola il valore del discriminante $\Delta =b^{2}-4{ac}$ e a secondo del suo segno possono presentarsi tre casi:

Primo caso: $\Delta >0$  L’equazione ammette due radici reali e distinte $x_{1}$ e $x_{2}$ e il trinomio si scompone in $a(x-x_{1})(x-x_{2})$. Poiché abbiamo supposto $a$ positivo, il segno del trinomio è dato, per il teorema dui Cartsio, dal seguente schema (ponendo $x_{1}<x_{2}$):

Confronto fra segni eq.completa

Pertanto la disequazione ${ax}^{2}+{bx}+c\geq 0$ è verificata per valori esterni alle soluzioni, cioè $x\leq x_{1}\vee x\geq x_{2}$; mentre la disequazione ${ax}^{2}+{bx}+c\leq 0$ è verificata per valori interni alle soluzioni, cioè $x_{1}\leq x\leq x_{2}$.

Esempio:

Risolvere le seguenti disequazioni complete con $\Delta >0$.

• $x^{2}-3x-4>0$. Calcolo il valore del discriminante $\Delta =9+16=25$ e le soluzioni dell’equazione associata $x_{1}=-1\,\vee \,x_{2}=4$. Le soluzioni della disequazione sono: $x<-1\,\vee \,x>4$;
• $x^{2}-3x-4<0$. In questo caso le soluzioni della disequazione sono $-1<x<4$.

Secondo caso: $\Delta =0$ 

In questo caso le radici dell’equazione associata sono coincidenti $x_{1}=x_{2}$, pertanto il trinomio si scompone in $a(x-x_{1})^{2}$. Poiché $a$ è positivo e il quadrato è positivo o al più nullo, si possono verificare quattro casi:

• $a(x-x_{1})^{2}>0$ è verificata $\forall x\in \mathbb {R} -\{x_{1}\}$;
• $a(x-x_{1})^{2}\geq 0$ è verificata $\forall x\in \mathbb {R}$;
• $a(x-x_{1})^{2}<0$ non è mai verificata;
• $a(x-x_{1})^{2}\leq 0$ è verificata solo per $x=x_{1}$.

Esempio:

Risolvere le seguenti disequazioni complete con $\Delta =0$.

• $x^{2}-2x+1>0$. Si ha $(x-1)^{2}>0$ che è verificata $\forall x\in \mathbb {R} -\{1\}$;
• $4x^{2}-4x+1\geq 0$. Si ha $(2x-1)^{2}\geq 0$ che è verificata $\forall x\in \mathbb {R}$;
• $x^{2}+2x+1<0$. Si ha $(x+1)^{2}<0$ che non è mai verificata;
• $4x^{2}+4x+1\leq 0$. Si ha $(2x+1)^{2}\leq 0$ che è verificata solo per $x=-{\tfrac {1}{2}}$.

Terzo caso: $\Delta <0$  Studiamo il segno che assume il trinomio in questo caso. Dobbiamo eseguire i seguenti passaggi:

• mettiamo il coefficiente $a$ a fattore comune, aggiungendo e togliendo ${\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}$ ottenendo

${ax}^{2}+{bx}+c=a\left(x^{2}+{\tfrac {b}{a}}x+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\tfrac {c}{a}}\right);$

• osserviamo che i primi tre termini costituiscono lo sviluppo del quadrato di un binomio, e riduciamo gli ultimi due allo stesso denominatore ottenendo

$a\left[\left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\tfrac {b^{2}-4{ac}}{4a^{2}}}\right];$

• studiamo ora il segno di questa espressione: $a$ è positivo, nella parentesi quadra si ha una somma in cui $\left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}$ essendo un quadrato è sempre positivo, come $-{\tfrac {b^{2}-4{ac}}{4a^{2}}}=-{\tfrac {\Delta }{4a^{2}}}$ sempre positivo perché $\Delta <0$. Possiamo allora concludere che il trinomio è sempre positivo.
  

Si hanno allora le seguenti possibilità con $a>0$:

• ${ax}^{2}+{bx}+c>0$ è verificata $\forall x\in \mathbb {R}$;
• ${ax}^{2}+{bx}+c\geq 0$ è verificata $\forall x\in \mathbb {R}$ (anche se non può mai essere uguale a zero);
• ${ax}^{2}+{bx}+c<0$ non è mai verificata;
• ${ax}^{2}+{bx}+c\leq 0$ non è mai verificata.

Esempio:

Risolvere le seguenti disequazioni complete con $\Delta <0$.

• $2x^{2}-3x+4>0$. Si ha $\Delta =9-32=-23<0$, verificata $\forall x\in \mathbb {R} ;$
• $x^{2}-x+1<0$. Si ha $\Delta =1-4=-3<0$, mai verificata per alcun valore reale di $x.$

I seguenti esempi analizzano la risoluzione di disequazioni di secondo grado con $\Delta \geq 0.$

Esempio:

Determinare l’insieme soluzione della disequazione $-3x^{2}+2x>0.$

Cambiamo segno per avere il primo coefficiente positivo; la disequazione si trasforma in $3x^{2}-2x<0;$ l’equazione associata è spuria $3x^{2}-2x=0$ con le radici $x_{1}=0\vee x_{2}={\tfrac {2}{3}}$. Pertanto la disequazione assegnata ha ${\text{I.S.}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<{\tfrac {2}{3}}\right\}.$

Esempio:

Determinare l’insieme soluzione della disequazione $2x^{2}-5\leq 0.$

L’equazione associata $2x^{2}-5=0$ è pura con soluzioni reali $x=\pm {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}$. Razionalizzando otteniamo: $x_{1}=-{\tfrac {\sqrt {10}}{2}}\vee x_{2}=+{\tfrac {\sqrt {10}}{2}}$ e quindi ${\text{I.S.}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid -{\tfrac {\sqrt {10}}{2}}\leq x\leq +{\tfrac {\sqrt {10}}{2}}\right\}.$

Esempio:

Determinare l’insieme soluzione della disequazione $2x^{2}+3x-1>0.$

L’equazione associata è completa $2x^{2}+3x-1=0$; $\Delta =9+8=17>0$ è positivo, dunque le soluzioni sono $x_{1}={\tfrac {-3-{\sqrt {17}}}{4}}\vee x_{2}={\tfrac {-3+{\sqrt {17}}}{4}}$. Ci troviamo nel primo caso, quindi l’insieme soluzione della disequazione è ${\text{I.S.}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x<{\tfrac {-3-{\sqrt {17}}}{4}}\vee x>{\tfrac {-3+{\sqrt {17}}}{4}}\right\}.$

Conclusione Una disequazione di secondo grado si presenta sempre in una delle seguenti forme: ${ax}^{2}+{bx}+c>0$, ${ax}^{2}+{bx}+c\geq 0$, ${ax}^{2}+{bx}+c<0$, ${ax}^{2}+{bx}+c\leq 0$; possiamo sempre supporre positivo il primo coefficiente e, anche se incompleta, per l’equazione associata possiamo sempre pensare ai tre casi generati dal segno del discriminante $\Delta =b^{2}-4{ac}$.

Pertanto l’insieme soluzione ${\text{I.S.}}$ segue lo schema riportato nella seguente tabella:

Delta	$ax^{2}+bx+c>0$	$ax^{2}+bx+c\geq 0$	$ax^{2}+bx+c<0$	$ax^{2}+bx+c\leq 0$
$\Delta >0^{*}$	$x<x_{1}\vee x>x_{2}$	$x\leq x_{1}\vee x\geq x_{2}$	$x_{1}<x<x_{2}$	$x_{1}\leq x\leq x_{2}$
$\Delta =0^{**}$	$\forall x\in \mathbb {R} -\{x_{1}\}$	$\forall x\in \mathbb {R}$	${\text{I.S.}}=\emptyset$	$x=x_{1}=x_{2}$
$\Delta <0^{***}$	$\forall x\in \mathbb {R}$	$\forall x\in \mathbb {R}$	${\text{I.S.}}=\emptyset$	${\text{I.S.}}=\emptyset$

* l’equazione associata ha 2 soluzioni reali distinte: $x=x_{1}\vee x=x_{2}$.

** l’equazione associata ha 2 soluzioni reali coincidenti: $x=x_{1}=x_{2}$.

*** l’equazione associata non ha soluzioni reali.

Risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado

Ricordiamo che un polinomio in una sola variabile, solitamente indicata con $x$, è di secondo grado se $2$ è il massimo esponente della variabile. Per trinomio di secondo grado intendiamo un polinomio di secondo grado: $ax^{2}+bx+c$ con $a\in \mathbb {R} _{0}$ e $b$, $c\in \mathbb {R}$. Chiamiamo zeri del trinomio i numeri reali soluzione dell’equazione associata $ax^{2}+bx+c=0$.

Definizione: Una funzione $f$ che associa ad ogni numero $x\in \mathbb {R}$ il valore $y=ax^{2}+bx+c$ con $a\in \mathbb {R} _{0}$ e $b$, $c\in \mathbb {R}$ si chiama funzione polinomiale di secondo grado.

Nel riferimento cartesiano ortogonale, il grafico della funzione $f$ è costituito da tutti e soli i punti le cui coordinate soddisfano l’equazione $y=ax^{2}+bx+c$; se $x_{1}$ e $x_{2}$ sono gli zeri reali del trinomio $ax^{2}+bx+c$ significa che attribuendo tali valori alla variabile $x$ si ha $y=0$; essi sono dunque gli zeri della funzione, ossia le ascisse dei punti del grafico appartenenti all’asse $x$.

Esempio:

y=x^2+x-2

Determinate gli zeri del trinomio $x^{2}+x-2$.

Risolviamo l’equazione $x^{2}+x-2=0$ che avendo il discriminante positivo ammette due soluzioni reali distinte $x_{1}=-2\vee x_{2}=1$. I due numeri $1$ e $-2$ sono gli zeri della funzione $y=x^{2}+x-2$ (figura [fig:4.1] a pagina ). Nel riferimento cartesiano ortogonale i punti $P_{1}(-2;0)$ e $P_{2}(1;0)$ sono i punti del grafico della funzione appartenenti all’asse $x$.

Esempio:

y=x^2-4x+4

Determinate gli zeri del trinomio $x^{2}-4x+4$.

Risolviamo l’equazione $x^{2}-4x+4=0$ che avendo il discriminante nullo ammette due soluzioni reali coincidenti $x_{1}=x_{2}=2$, gli zeri del trinomio sono coincidenti nel numero $2$ e il grafico della funzione $y=x^{2}-4x+4$ (figura [fig:4.2] a pagina ) ha quindi due punti coincidenti appartenenti all’asse $x$: $P_{1}\equiv P_{2}(2;0)$.

Esempio:

y=x^2-2x+5

Determinate gli zeri del trinomio $x^{2}-2x+5$.

Risolviamo l’equazione $x^{2}-2x+5=0$ che avendo il discriminante negativo non ammette soluzioni reali; il trinomio non ha zeri reali e il grafico della funzione $y=x^{2}-2x+5$ non ha punti appartenenti all’asse $x$.

Questi esempi ci hanno permesso di chiarire il collegamento tra il concetto algebrico “zeri di un polinomio” e il concetto geometrico di “punti sull’asse delle ascisse” del grafico della funzione polinomiale di secondo grado. Pertanto studiare il segno di un trinomio di secondo grado equivale a determinare quali sono le ascisse dei punti della funzione $y=ax^{2}+bx+c$ (con $a\in \mathbb {R} _{0}$ e $b$, $c\in \mathbb {R}$) che hanno ordinata positiva oppure ordinata negativa.

Ricordiamo che nel riferimento cartesiano ortogonale i punti ad ordinata positiva si trovano nel I e nel II quadrante (cioè al di sopra dell’asse $x$), i punti ad ordinata negativa si trovano nel III e nel IV quadrante (cioè al di sotto dell’asse $x$) e i punti ad ordinata nulla si trovano sull’asse $x$.

Per studiare il segno del trinomio, dobbiamo quindi tracciare, nel riferimento cartesiano, il grafico della funzione $y=ax^{2}+bx+c$ (con $a\in \mathbb {R} _{0}$ e $b$, $c\in \mathbb {R}$).

Rappresentazione di una funzione polinomiale di secondo grado nel piano cartesiano

parabola y=2x^2

Consideriamo la funzione $y=2x^{2}$ (figura [fig:4.4] a pagina ) di proporzionalità quadratica definita in tutto $\mathbb {R}$; sappiamo che il suo grafico è una parabola che volge la concavità verso l’alto essendo il coefficiente della variabile indipendente positivo e che il punto $O(0;0)$ è il suo vertice. Per tracciarne il grafico compiliamo una tabella e riportiamo i punti nel riferimento cartesiano.

$x$	${-1,5}$	$-1$	${-0,5}$	$0$	${0,5}$	$1$	${1,5}$
$y=2x^{2}$	${4,5}$	$2$	${0,5}$	$0$	${0,5}$	$2$	${4,5}$

Applichiamo a tutti i punti della tabella la traslazione di vettore ${\vec {u}}(1;1)$. Sappiamo che la traslazione modifica le coordinate dei punti secondo il sistema ${T}(1;1)\left\{{\begin{array}{l}{x'=x+1}\\{y'=y+1}\end{array}}\right.$ quindi possiamo compilare la tabella dei punti corrispondenti di $x$ e $y$ secondo $T(1;1)$ e infine tracciare il grafico della parabola immagine di $y=2x^{2}$.

$x'$	${-0,5}$	$0$	${0,5}$	$1$	${1,5}$	$2$	${2,5}$
$y'$	${5,5}$	$3$	${1,5}$	$1$	${1,5}$	$3$	${5,5}$

Traslazione di parabola

Dal grafico possiamo leggere le seguenti informazioni:

• l’immagine della parabola iniziale $p$, è ancora una parabola $p'$ essendo la traslazione una isometria;
• la parabola $p'$ volge la concavità verso l’alto, come la parabola iniziale $p$;
• il vertice $O(0;0)$ della parabola $p$ ha come immagine il vertice $D(1;1)$ della parabola $p'$, coincidente con l’estremo libero del vettore ${\vec {u}}(1;1)$ che definisce la traslazione;
• il vettore che individua la traslazione è indicato nella figura con ${\vec {u}}$; i vettori ${\vec {v}}$ e ${\vec {w}}$ rappresentano lo stesso vettore applicato a tre punti presi a caso sulla parabola iniziale.

La parabola immagine di $y=2x^{2}$ è rappresentata da una funzione polinomiale di secondo grado che si ottiene ricavando dal sistema ${T}(1;1)$ le coordinate $\left\{{\begin{array}{l}{x=x'-1}\\{y=y'-1}\end{array}}\right.$ che, sostituite nell’equazione di $p$ $(y'-1)=2\cdot (x'-1)^{2}$, permettono di ottenere l’equazione di $p'$: $y=2x^{2}-4x+3$.

Generalizziamo  Data la parabola di equazione $y=ax^{2}$ e la traslazione

${T}(v_{x};v_{y})\left\{{\begin{array}{l}{x'=x+v_{x}}\\{y'=y+v_{y}}\end{array}}\right.{\text{,}}$

per ottenere l’equazione della curva immagine ricaviamo $\left\{{\begin{array}{l}{x=x'-v_{x}}\\{y=y'-v_{y}}\end{array}}\right.$ da sostituire nell’equazione $y={ax}^{2}$. Da $(y'-v_{y})=a\cdot (x'-v_{x})^{2}$ svolgendo i calcoli si ottiene

$y'=a(x')^{2}-(2av_{x})x'+a(v_{x})^{2}+v_{y}.$

Se poniamo $-2{av}_{x}=b$ e $a(v_{x})^{2}+v_{y}=c$ l’equazione della parabola $p'$ immagine di quella data è $y={ax}^{2}+{bx}+c$, espressa attraverso un polinomio di secondo grado.

Viceversa  Assegnata la funzione polinomiale di secondo grado $y={ax}^{2}+{bx}+c$ con $a\neq 0$, sappiamo che il grafico di tale curva è una parabola. In particolare:

• il coefficiente $a$ indica la concavità: verso l’alto se $a>0$, verso il basso se $a<0$;
• il coefficiente $c$ indica l’intersezione della parabola con l’asse delle $y$;
• dalle formule $-2av_{x}=b$ e $a(v_{x})^{2}+v_{y}=c$ ricaviamo le coordinate del suo vertice $v_{x}=-{\tfrac {b}{2a}}$  e  $v_{y}=c-a\left(-{\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}={\tfrac {4ac-b^{2}}{4a}}=-{\tfrac {\Delta }{4a}}$;
• risolvendo l’equazione ${ax}^{2}+{bx}+c=0$ determiniamo gli eventuali punti di intersezione con l’asse $x$ (gli zeri della funzione);
• assegnando alla variabile indipendente valori arbitrari, possiamo ottenere altri punti del grafico.

Esempio:

Data la funzione $f:y=x^{2}-2x-3$ tracciare nel riferimento cartesiano ortogonale il suo grafico. Il grafico di tale curva è una parabola:

• essendo il coefficiente $a=1$, la concavità è verso l’alto;
• il coefficiente $c=-3$ indica che la parabola incontra l’asse delle $y$ nel punto $(0;-3)$;
• essendo $a=1$, $b=-2$ e $c=-3$, le coordinate del vertice $V$ sono $v_{x}=-{\tfrac {-2}{2}}=1$ e $v_{y}={\tfrac {-12-4}{4}}=-4$;
• le ascisse dei punti $A(-1;0)$ e $B(3;0)$ rappresentano gli zeri della funzione, soluzione dell’equazione $x^{2}-2x-3=0$;
• altri punti della parabola si trovano assegnando alla variabile indipendente valori arbitrari: per $x=2$, per esempio, otteniamo $y=(2)^{2}-2(2)-3=-3$; il punto $P(2;-3)$ è pertanto un punto della parabola.

Dal grafico possiamo affermare che $f$ è l’immagine di $y=x^{2}$ nella traslazione di vettore ${\vec {v}}(1;-4)$.

Traslazione di y=x^2 di vettore (1;-4)

Segno di un trinomio di secondo grado per via grafica

Esempio:

Studiare il segno del trinomio $x^{2}-2x-3$.

Si tratta di stabilire per quali valori di $x$ esso assume segno positivo, per quali segno negativo e per quali eventualmente si annulla.

La richiesta è interpretabile anche come la ricerca degli insiemi soluzioni dell’equazione $x^{2}-2x-3=0$ e delle disequazioni $x^{2}-2x-3>0$ e $x^{2}-2x-3<0.$

Strategia risolutiva: Tracciamo il grafico della funzione $y=x^{2}-2x-3$ e leggiamo dal grafico gli insiemi richiesti (vedi la figura precedente):

• Le ascisse dei punti $A$ e $B$ costituiscono l’insieme soluzione dell’equazione $x^{2}-2x-3=0$ cioè $x_{1}=-1\vee x_{2}=3$;
• I valori di $x$ dell’insieme $H=\{x\in \mathbb {R} \mid x_{A}<x<x_{B}\}$ rendono il trinomio negativo; infatti preso un valore dell’insieme, ad esempio $x=0$, il punto sulla parabola ha ordinata negativa $(-3)$. Per esercizio segnate il punto sul grafico e ripetete per $x=1$, $x={\tfrac {3}{2}}$, $x=2$;
• I valori di $x$ dell’insieme $K=\{x\in \mathbb {R} \mid x<x_{A}\vee x>x_{B}\}$ rendono il trinomio positivo; infatti preso un valore dell’insieme, ad esempio $x={\tfrac {7}{2}}$, il punto sulla parabola ha ordinata positiva. Per esercizio segnatelo sul grafico e ripetete per $x=-{\tfrac {6}{5}}$.

Osservazione: La ricerca dell’insieme soluzione di una disequazione di secondo grado è sempre interpretabile come la ricerca del segno di un trinomio di secondo grado e quindi risolubile per via grafica. In questi casi non è necessario rappresentare in modo preciso la parabola associata al trinomio, ma basta ricordare quanto detto inizialmente sugli zeri di una funzione (vedi la figura).

Risoluzione grafica delle disequazioni di secondo grado

Esempio:

Risolvi le seguenti disequazioni utilizzando il segno del trinomio di secondo grado.

• $x^{2}+x-2>0$.

  Risolviamo l’equazione $x^{2}+x-2=0$ che avendo il discriminante positivo ammette due soluzioni reali distinte $x_{1}=-2\vee x_{2}=1$. Tali valori sono gli zeri del trinomio e dunque gli zeri della funzione $y=x^{2}+x-2$; la parabola volge la concavità verso l’alto quindi possiamo grossolanamente rappresentare la sua posizione rispetto all’asse $x$ e dedurre l’insieme soluzione richiesto: ${\text{I.S.}}=\{x\in \mathbb {R} \mid x<-2\vee x>1\}$ o con notazione insiemistica $(-\infty$, $-2)\cup (1$, $+\infty )$;

• $x^{2}-4x+4\leq 0$.

  Risolviamo l’equazione $x^{2}-4x+4=0$ che avendo il discriminante nullo ammette due soluzioni reali coincidenti $x_{1}=x_{2}=2$: gli zeri del trinomio sono quindi coincidenti nel numero $2$; la parabola $y=x^{2}-4x+4$ ha il vertice sull’asse $x$ e volge la concavità verso l’alto quindi possiamo grossolanamente rappresentare la sua posizione e dedurre l’insieme soluzione richiesto: ${\text{I.S.}}=\{x\in \mathbb {R} \mid x=2\}$, ovvero $\{2\}$. Nessun valore reale rende il trinomio negativo;

• $x^{2}-2x+7>0$.

  Risolviamo l’equazione $x^{2}-2x+7=0$ che avendo il discriminante negativo non ammette soluzioni reali; il trinomio non ha zeri reali, la parabola $y=x^{2}-2x+7$ volge la concavità verso l’alto e non ha punti appartenenti all’asse $x$ quindi possiamo grossolanamente rappresentare la sua posizione e dedurre l’insieme soluzione richiesto: ${\text{I.S.}}=\mathbb {R}$, ovvero $(-\infty$, $+\infty )$.

Risoluzione diseq. con segno trinomio 2°

Segno del trinomio a coefficienti letterali

Consideriamo il trinomio $t=kx^{2}+3x-7$ avente il coefficiente del termine di secondo grado dipendente dal parametro $k$.

Come possiamo stabilire il segno del trinomio $t=kx^{2}+3x-7$, al variare di $k$? Sappiamo che stabilire il segno di un trinomio significa determinare i valori reali che attribuiti alla variabile indipendente $x$ rendono il trinomio positivo, nullo o negativo. Evidentemente per i vari valori reali di $k$ avremo una diversa disequazione da risolvere; dobbiamo dunque cercare di analizzare come varia il trinomio al variare dei valori di $k$ e in seguito studiare il segno del trinomio ottenuto.

Questa analisi di situazioni diverse è la discussione del trinomio a coefficienti parametrici.

Esempio:

Stabilire il segno di $t=kx^{2}+3x-7$ al variare di $k$.

Prendiamo in considerazione il segno del coefficiente del termine di secondo grado e il segno del discriminante dell’equazione associata $kx^{2}+3x-7=0$. Il coefficiente del termine di secondo grado è maggiore di zero per $k>0$. Il discriminante $\Delta =9+28k$ è positivo per $k>-{\tfrac {9}{28}}$. Rappresentiamo la loro reciproca situazione:

Segno trinomio a coef.letterali

(A) $k<-{\tfrac {9}{28}}$: il coefficiente del termine di secondo grado è negativo così come il discriminante, la parabola volge la concavità verso il basso e non ha zeri reali: il trinomio è negativo per qualunque valore reale di $x$;

(B) $k=-{\tfrac {9}{28}}$: il coefficiente del termine di secondo grado è negativo e il discriminante è uguale a zero. La parabola volge la concavità verso il basso e ha due zeri reali coincidenti $x_{1}=x_{2}={\tfrac {14}{3}}$. Il trinomio si annulla per $x={\tfrac {14}{3}}$ mentre per qualunque altro valore di $x$ è negativo;

(C) $-{\tfrac {9}{28}}<k<0$: il coefficiente del termine di secondo grado è negativo e il discriminante è positivo. La parabola volge la concavità verso il basso e ha due zeri reali distinti: il trinomio si annulla per $x=x_{1}\vee x=x_{2}$; è positivo per $x_{1}<x<x_{2}$; è negativo per $x<x_{1}\vee x>x_{2}$;

(D) $k=0$: il trinomio diventa un binomio di primo grado: $t=3x-7$ e quindi $t>0$ per $x>{\tfrac {7}{3}}$, $t<0$ per $x<{\tfrac {7}{3}}$, $t=0$ per $x={\tfrac {7}{3}}$;

(E) $k>0$: Il coefficiente del termine di secondo grado è positivo così come il discriminante. La parabola ha concavità verso l’alto e due zeri reali distinti: il trinomio si annulla per $x=x_{1}\vee x=x_{2}$; è negativo per $x_{1}<x<x_{2}$; è positivo per $x<x_{1}\vee x>x_{2}$.

Esempio:

Stabilite al variare del parametro $k$ l’insieme soluzione della disequazione $x^{2}+kx+1<0$.

Prendiamo in considerazione il primo coefficiente (quello del termine di secondo grado) e il discriminante dell’equazione associata $x^{2}+kx+1=0$ e stabiliamo il loro segno: il primo coefficiente è 1 e quindi indipendente dal parametro e sempre positivo quindi la parabola volge sempre la concavità verso l’alto. Essendo il discriminante $\Delta =k^{2}-4$ si hanno soluzioni reali per $k\leq -2\vee k\geq 2$. Rappresentiamo la loro reciproca situazione:

Tabella dei segni al variare di k

• $k<-2\vee k>2$; il discriminante è positivo. L’equazione ha due zeri reali distinti: $x=x_{1}\vee x=x_{2}$ quindi ${\text{I.S.}}=\{x\in \mathbb {R} \mid x_{1}<x<x_{2}\}$;
• $-2<k<2$; il discriminante è negativo. La parabola non ha zeri reali: ${\text{I.S.}}=\emptyset$;
• $k=-2\vee k=2$; il discriminante è nullo. In ognuno dei due casi la parabola ha un unico zero reale: ${\text{I.S.}}=\{-1$, $1\}$.

Disequazioni polinomiali di grado superiore al secondo

Esempio:

Un numero è tale che sottraendo al suo cubo il suo triplo si ottiene un valore maggiore del triplo del suo quadrato aumentato di $4$. Qual è il numero cercato?

La richiesta del problema implica la ricerca dell’insieme soluzione della disequazione $x^{3}-3x>3x^{2}+4$ di terzo grado nella variabile $x$. Scriviamo la disequazione in forma canonica, applicando i principi di equivalenza: $x^{3}-3x^{2}-3x-4>0$. Si tratta di una disequazione polinomiale di terzo grado.

Procediamo nella scomposizione in fattori del polinomio $p(x)=x^{3}-3x^{2}-3x-4$. Mediante la regola di Ruffini possiamo determinare un suo zero $x=4$ e dunque ottenere $p(x)=(x-4)(x^{2}+x+1)$.

Determiniamo il segno dei singoli fattori: il primo fattore $f_{1}=x-4>0\Rightarrow x>4$; il secondo fattore $f_{2}=x^{2}+x+1>0$ è una disequazione di secondo grado. Il primo coefficiente è positivo, quindi la parabola volge la concavità verso l’alto, e il discriminante $\Delta =1-4=-3$ è negativo, pertanto l’equazione associata non ha zeri reali, dunque $f_{2}$ è positivo per qualunque valore reale di $x$. Costruiamo la tabella dei segni:

Disequazioni polinomiali (tabella dei segni)

${\text{I.S.}}=\{x\in \mathbb {R} \mid x>4\}=(4$, $+\infty )$.

Procedura: Risolvere le disequazioni di grado superiore al primo:

1. scomporre il polinomio di grado $n$ in fattori di primo e secondo grado;
2. studiare il segno dei singoli fattori;
3. costruire la tabella dei segni;
4. cercare gli intervalli in cui il polinomio dato assume il segno richiesto.

Esempio:

$-2x(3-2x)-3x^{2}\left(2-{\tfrac {3}{2}}x\right)\geq 5\left(2x^{2}-{\tfrac {3}{10}}x\right).$

Osserviamo che la disequazione proposta è polinomiale di terzo grado; eseguiamo i calcoli per portarla alla forma $p(x)\geq 0$. Si ottiene $3x^{3}-8x^{2}-3x\geq 0$ e con la scomposizione si ha $x\cdot (3x^{2}-8x-3)\geq 0$. Procediamo con lo studio dei segni dei singoli fattori: $f_{1}=x\geq 0$ e $f_{2}=3x^{2}-8x-3\geq 0\Rightarrow x\leq -{\tfrac {1}{3}}\vee x\geq 3$ e compiliamo la tabella dei segni, che lasciamo fare al lettore.

Completa la tabella

Otteniamo: ${\text{I.S.}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid -{\tfrac {1}{3}}\leq x\leq 0\vee x\geq 3\right\}$.

Esempio:

$64x^{6}-1<0$.

Il binomio al primo membro è una differenza di quadrati, quindi scomponendolo si ottiene: $64x^{6}-1=(8x^{3}-1)(8x^{3}+1)=(2x-1)(4x^{2}+2x+1)(2x+1)(4x^{2}-2x+1).$

Si tratta allora di studiare il segno dei singoli fattori: $f_{1}=2x-1>0\Rightarrow x>{\tfrac {1}{2}}$; $f_{2}=4x^{2}+2x+1>0\Rightarrow \forall x\in \mathbb {R}$; $f_{3}=2x+1>0\Rightarrow x>-{\tfrac {1}{2}}$; $f_{4}=4x^{2}-2x+1>0\Rightarrow \forall x\in \mathbb {R}$ e di determinare il segno richiesto dopo aver costruito la tabella dei segni.

Esempio:

$x^{4}-4x^{2}-45>0$.

Il trinomio al primo membro è di quarto grado; sappiamo che con la sostituzione $x^{2}=t$ può essere ricondotto ad un trinomio di secondo grado la cui scomposizione in fattori risulta $(t-9)\cdot (t+5)$ e quindi la disequazione assegnata diventa: $(x^{2}-9)\cdot (x^{2}+5)>0$.

Si tratta allora di studiare il segno dei singoli fattori $f_{1}=x^{2}-9>0\Rightarrow x<-3\vee x>3$ e $f_{2}=x^{2}+5>0\Rightarrow \forall x\in \mathbb {R}$ per poi determinare il segno richiesto dopo aver costruito la tabella dei segni.

Disequazioni fratte

Ricordiamo che una disequazione è frazionaria o fratta quando il suo denominatore contiene l’incognita.

Procedura: Soluzione di una disequazione frazionaria:

1. applicando il primo principio di equivalenza si trasportano tutti i termini al primo membro e si calcola il risultato dell’equazione assegnata $E(x)={\tfrac {N(x)}{D(x)}}$;
2. si determinano le condizioni di esistenza ponendo $D(x)\neq 0$;
3. impostiamo la disequazione nella forma ${\tfrac {N(x)}{D(x)}}\geq 0$, ${\tfrac {N(x)}{D(x)}}\leq 0$, ${\tfrac {N(x)}{D(x)}}>0$ o ${\tfrac {N(x)}{D(x)}}<0$ a seconda del quesito posto da problema;
4. si studia il segno del numeratore e del denominatore, ponendo $N(x)>0$ oppure $N(x)\geq 0$ (a seconda della richiesta) e $D(x)>0$;
5. si costruisce la tabella dei segni, segnando con un punto pieno gli zeri della frazione, se richiesti;
6. si individuano gli intervalli in cui la frazione assume il segno richiesto.

Vediamo attraverso alcuni esempi come procedere.

Esempio:

Data l’espressione $E={\tfrac {4}{4x^{2}-1}}+{\tfrac {1}{2x+1}}+{\tfrac {x}{1-2x}}$ determinarne, al variare di $x$ in $\mathbb {R}$, il segno.

Osservazioni preliminari

• L’espressione assegnata è frazionaria, quindi lo studio del segno deve essere circoscritto ai valori di $x$ del dominio ${\mathcal {D}}$ dell’espressione stessa;
• studiare il segno di una espressione letterale significa stabilire in quale insieme si trovano i valori della variabile che la rendono positiva, negativa, nulla;
• ogni espressione contenente operazioni tra frazioni algebriche ha in generale come risultato una frazione algebrica.
  

Strategia risolutiva

1. semplifichiamo l’espressione assegnata: $E={\tfrac {-2x^{2}+x+3}{(2x+1)\cdot (2x-1)}}$;

2. determiniamo il dominio: ${\text{C.E.}}\,2x+1\neq 0\;\wedge \;2x-1\neq 0\Rightarrow {\mathcal {D}}=\mathbb {R} -\left\{-{\tfrac {1}{2}}{\text{, }}{\tfrac {1}{2}}\right\}$;

3. impostiamo la disequazione: ${\tfrac {-2x^{2}+x+3}{(2x+1)\cdot (2x-1)}}\geq 0$ che ci permetterà di rispondere al quesito posto dal problema;

4. studiamo il segno di numeratore $N$ e denominatore $D$:

   • segno di $N$: $-2x^{2}+x+3\geq 0$ disequazione di secondo grado, quindi dall’equazione associata $-2x^{2}+x+3=0$, calcoliamo il discriminante: $\Delta =1+24=25$, positivo per cui si hanno due soluzioni reali distinte; la parabola $y=-2x^{2}+x+3$ ha concavità verso il basso, per cui essendo $x_{1}=-1$ e $x_{2}={\tfrac {3}{2}}$ si ha $N\geq 0$ per $-1\leq x\leq {\tfrac {3}{2}}$;

   • segno di $D$: il denominatore è composto da due fattori di primo grado $d_{1}$ e $d_{2}$, quindi $d_{1}>0$ per $x>-{\tfrac {1}{2}}$ e $d_{2}>0$ per $x>{\tfrac {1}{2}}$;

5. costruiamo la tabella dei segni:

   

   Tabella segni disequazione fratta

6. dalla tabella dei segni possiamo ottenere la risposta al problema posto:

   • l’espressione $E$ si annulla per $x=-1\vee x={\tfrac {3}{2}}$;

   • l’espressione $E$ è positiva per $x\in A=\left\{x\in \mathbb {R} \mid -1<x<-{\tfrac {1}{2}}\vee {\tfrac {1}{2}}<x<{\tfrac {3}{2}}\right\}$;

   • l’espressione $E$ è negativa per $x\in B=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x<-1\vee -{\tfrac {1}{2}}<x<{\tfrac {1}{2}}\vee x>{\tfrac {3}{2}}\right\}$.

Esempio:

Determiniamo l’insieme soluzione della disequazione: $3-{\tfrac {1}{2x+1}}\geq {\tfrac {1}{1-x}}$.

1. Trasportiamo al primo membro la frazione del secondo membro $E=3-{\tfrac {1}{2x+1}}-{\tfrac {1}{1-x}}$ ed eseguiamo i calcoli ottenendo: $E={\tfrac {-6x^{2}+2x+1}{(2x+1)\cdot (1-x)}}$;

2. determiniamo il dominio: ${\text{C.E.}}\;2x+1\neq 0\;\wedge \;1-x\neq 0\Rightarrow {\mathcal {D}}=\mathbb {R} -\left\{-{\tfrac {1}{2}}{\text{, }}1\right\}$;

3. impostiamo la disequazione: ${\tfrac {-6x^{2}+2x+1}{(2x+1)\cdot (1-x)}}\geq 0$ che ci permetterà di rispondere al quesito posto dal problema;

4. studiamo il segno del numeratore e del denominatore:

   • segno di $N$: $-6x^{2}+2x+1\geq 0$ disequazione di secondo grado, quindi scritta l’equazione associata $-6x^{2}+2x+1=0$, calcoliamone il discriminante: ${\tfrac {\Delta }{4}}=7$, positivo per cui si hanno due soluzioni $x_{1{\text{,}}2}={\tfrac {1\pm {\sqrt {7}}}{6}}$; essendo il primo coefficiente negativo si ha $N\geq 0$ per ${\tfrac {1-{\sqrt {7}}}{6}}\leq x\leq {\tfrac {1+{\sqrt {7}}}{6}}$;

   • segno di $D$: $-2x^{2}+x+1>0$ disequazione di secondo grado; il denominatore ha due zeri reali $x=-{\tfrac {1}{2}}$ e $x_{2}=1$, il primo coefficiente è negativo, pertanto $D>0$ per $-{\tfrac {1}{2}}<x<1$ che rispetta le ${\text{C.E.}}$: $x_{1}\neq -{\tfrac {1}{2}}\;\wedge \;x_{2}\neq 1$;

5. compiliamo la tabella dei segni:

   

   Tabella segni disequazione fratta

6. determiniamo ${\text{I.S.}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x<-{\tfrac {1}{2}}\vee {\tfrac {1-{\sqrt {7}}}{6}}\leq x\leq {\tfrac {1+{\sqrt {7}}}{6}}\vee x>1\right\}$.

Sistemi di disequazioni

Ricordiamo che risolvere un sistema di disequazioni significa trovare l’insieme dei numeri reali che sono le soluzioni comuni alle disequazioni che lo compongono. Indicate con $d_{1}$, $d_{2}$, …, $d_{n}$ le disequazioni che formano il sistema e ${\text{I.S.}}_{1}$, ${\text{I.S.}}_{2}$, …, ${\text{I.S.}}_{n}$ i rispettivi insieme soluzione, la soluzione del sistema, indicata con ${\text{I.S.}}$, è data da ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cap {\text{I.S.}}_{2}\cap \ldots \cap {\text{I.S.}}_{n}$.

Problema:  Nell’equazione $x^{2}-(k-3)x+k^{2}-3k+1=0$, determinare per quali valori del parametro $k$ si ottengono soluzioni reali e concordi.

Abbiamo già affrontato un problema di questo tipo discutendo le equazioni parametriche di secondo grado e dunque sappiamo che la richiesta del problema esige che il discriminante ($\Delta$) sia non negativo affinché le soluzioni siano reali e che il prodotto delle stesse sia positivo. Pertanto il problema è formalizzato con un sistema di disequazioni:

$\left\{{\begin{array}{l}{\Delta \geq 0}\\{{\tfrac {c}{a}}>0}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{k^{2}-6k+9-4k^{2}+12k-4\geq 0}\\{k^{2}-3k+1>0}\end{array}}\right.$.

Risolviamo separatamente le due disequazioni del sistema; indicati con ${\text{I.S.}}_{1}$ e ${\text{I.S.}}_{2}$ rispettivamente gli insiemi soluzione della prima e della seconda disequazione, l’insieme soluzione del sistema è dato da ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cap {\text{I.S.}}_{2}$ (insieme intersezione degli insiemi soluzione delle due disequazioni).

• $d_{1}$: $-3k^{2}+6k+5\geq 0$ disequazione di secondo grado avente primo coefficiente negativo e ${\tfrac {\Delta }{4}}=24>0$; la parabola $y=-3k^{2}+6k+5\geq 0$ ha concavità verso il basso e discriminante positivo, per cui essendo $x_{1}={\tfrac {3-2{\sqrt {6}}}{3}}\vee x_{2}={\tfrac {3+2{\sqrt {6}}}{3}}$ si ottiene ${\text{I.S.}}_{1}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid {\tfrac {3-2{\sqrt {6}}}{3}}\leq x\leq {\tfrac {3+2{\sqrt {6}}}{3}}\right\}$.
• $d_{2}$: $k^{2}-3k+1>0$ disequazione di secondo grado avente il primo coefficiente positivo e $\Delta =5>0$; la parabola $y=k^{2}-3k+1>0$ ha concavità verso l’alto e discriminante positivo, quindi $x_{1}={\tfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\vee x_{2}={\tfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\Rightarrow {\text{I.S.}}_{2}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x<{\tfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\vee x>{\tfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right\}$.

Per determinare l’insieme soluzione del sistema rappresentiamo in un grafico gli insiemi soluzioni delle disequazioni risolte e visualizziamo l’insieme formato dai valori che appartengono contemporaneamente ai due: sull’asse reale depositiamo i valori numerici trovati e rappresentiamo su righe distinte i due insiemi soluzione: gli intervalli in cui cadono soluzioni della prima e della seconda disequazione rappresentano l’insieme soluzione del sistema.

Tabella segni sistema disequazioni

${\text{I.S.}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid {\tfrac {3-2{\sqrt {6}}}{3}}\leq x<{\tfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\vee {\tfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}<x\leq {\tfrac {3+2{\sqrt {6}}}{3}}\right\}$.

Problema:  Risolvere il seguente sistema di disequazioni: $\left\{{\begin{array}{l}2x^{3}-9x^{2}+10x-3\leq 0\\{\tfrac {x^{2}+x+1}{\ x^{3}-x}}\geq 0\\3-4x<0\end{array}}\right.$.

Il sistema è formato da tre disequazioni; risolviamo separatamente ciascuna disequazione:

• $d_{1}$: $2x^{3}-9x^{2}+10x-3\leq 0$ di terzo grado, scomponiamo in fattori. $x=1$ è uno zero del polinomio quindi con la regola di Ruffini otteniamo $d_{1}$: $(x-1)(2x^{2}-7x+3)\leq 0$. L’equazione di secondo grado $2x^{2}-7x+3=0$ ha soluzioni reali $x_{1}={\tfrac {1}{2}}\;\vee \;x=3$. Si tratta allora di studiare il segno dei singoli fattori e di determinare il segno richiesto dopo aver costruito la tabella dei segni:

  

  Tabella segni sistema disequazioni

  L’insieme soluzione, tenendo conto che cerchiamo i valori per i quali $d_{1}$ risulta minore o uguale a $0$ è ${\text{I.S.}}_{1}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq {\tfrac {1}{2}}\vee 1\leq x\leq 3\right\}$.

• $d_{2}$: ${\tfrac {x^{2}+x+1}{x^{3}-x}}\geq 0$ è una disequazione fratta, per prima cosa scomponiamo in fattori il denominatore: ${\tfrac {x^{2}+x+1}{x(x^{2}-1)}}\geq 0$. Studiamo poi il segno dei singoli fattori o divisori, tenendo conto che $x^{2}+x+1=0$ ha $\Delta <0$, per cui $x^{2}+x+1$ è sempre positivo.

  

  Tabella segni sistema disequazioni

  L’insieme soluzione, per $d_{2}\geq 0$ è ${\text{I.S.}}_{2}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid -1<x<0\vee x>1\right\}$.

• $d_{3}$: $3-4x<0$ è di primo grado per cui l’insieme soluzione è ${\text{I.S.}}_{3}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>{\tfrac {3}{4}}\right\}$.

Ricordiamo che la ricerca dell’insieme soluzione del sistema si effettua determinando l’insieme ${\text{I.S.}}_{1}\cap {\text{I.S.}}_{2}\cap {\text{I.S.}}_{3}$ individuabile attraverso il grafico:

Tabella segni sistema disequazioni

Il sistema è quindi verificato per $1<x\leq 3$.