Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado


Le equazioni di secondo grado in una incognitaModifica

Consideriamo il seguente problema: “in un triangolo rettangolo l’ipotenusa è più lunga del cateto minore di  , mentre l’altro cateto è più lungo del cateto minore di  . Si vogliono determinare le misure dei tre lati”.

Si può formalizzare il problema indicando con   la misura incognita del cateto minore. La lunghezza dell’ipotenusa sarà  , mentre quella dell’altro cateto  . Applicando il teorema di Pitagora si ha:  . Dopo aver effettuato i calcoli e aver portato tutti i termini a sinistra del predicato uguale abbiamo:  .

Questa è una equazione di secondo grado in una incognita in quanto la variabile   vi compare elevata al secondo grado.

Definizione: Si dice equazione di secondo grado, un’equazione del tipo:   con  ,  ,   e  . I valori  ,  ,   prendono il nome di coefficienti e, in particolare,   viene detto termine noto.


Un’equazione di secondo grado si definisce:

monomia quando il secondo e il terzo coefficiente sono nulli:  ;

(incompleta) pura quando il secondo coefficiente è nullo:  ;

(incompleta) spuria quando il terzo coefficiente è nullo:  ;

completa quando i tre coefficienti sono tutti diversi da zero:  .

Risoluzione di un’equazione di secondo grado incompleta puraModifica

Il coefficiente della   è nullo e l’equazione si presenta nella forma:  . Si risolve portando al secondo membro il termine noto e dividendo per il coefficiente di  :

 

Esempio: Risoluzione di equazioni pure.

  •  .

    Risoluzione:  .

  •  .

    Risoluzione:  . L’equazione non ammette soluzioni reali in quanto il quadrato di un numero reale non è mai negativo.

Le soluzioni dell’equazione incompleta pura   dipendono dal segno di  :

  • se  , ovvero se   e   sono discordi, l’equazione ammette due soluzioni reali distinte opposte:  ;
  • se  , ovvero se   e   sono concordi, l’equazione non ammette soluzioni reali;
  • se  , allora  , l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti nulle:  .

Risoluzione di un’equazione incompleta spuriaModifica

Un’equazione incompleta spuria si presenta nella forma:  . Per risolverla, si raccoglie a fattore comune la  ; precisamente  . Applicando la legge di annullamento del prodotto si ottiene   oppure   da cui  . Pertanto un’equazione di questo tipo ha sempre due soluzioni reali distinte di cui una nulla.

Esempio: Risoluzione di equazioni incomplete spurie.

  •  .

    Raccogliendo a fattor comune si ha:   da cui, applicando la legge di annullamento del prodotto, segue   da cui  ;

  •  .

    Raccogliendo   a fattore comune, si ha  , da cui, applicando la legge di annullamento del prodotto, segue   da cui  .

Risoluzione di un’equazione completaModifica

L’equazione di secondo grado completa si presenta nella forma   e per risolverla si applica una formula che si ottiene utilizzando il metodo del completamento del quadrato:

equazione completa di secondo grado  
si moltiplicano ambo i membri per    
si aggiunge   ad ambo i membri  
si porta   al secondo membro  
il primo membro risulta il quadrato di un binomio  
si pone   e l’equazione diventa pura in    
si calcolano le soluzioni in    
al posto di   si sostituisce    
si separa il monomio con l’incognita  
si risolve rispetto all’incognita    

Da quanto ottenuto possiamo osservare che:

  • la soluzione si ottiene esclusivamente operando sui coefficienti dell’equazione;
  • il valore dell’incognita si ottiene con due calcoli:
 
  • nel calcolo è coinvolta l’estrazione di radice quadrata: l’espressione   prende il nome di discriminante e si è soliti indicarla con il simbolo   (delta).

Questa formula può essere applicata anche ai tipi di equazioni incomplete che abbiamo già studiato. Il termine discriminante deriva dal sostantivo latino discrimen (divisione, punto di separazione); in effetti, il valore assunto da   permette di effettuare una distinzione tra la tipologia delle soluzioni di un’equazione di secondo grado. Si possono infatti presentare tre casi:

  • Primo caso:  . Il radicale   è un numero reale e l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte:  ;
  • Secondo caso:  . Il radicale  , quindi l’equazione ammette due radici reali e coincidenti:  ;
  • Terzo caso:  . Il radicale   non è un numero reale, quindi l’equazione non ammette soluzioni reali.

Riassumendo e schematizzando si ha:

  con  
Discriminante Soluzioni
  Due soluzioni reali e distinte:  
  Due soluzioni reali e coincidenti:  
  Nessuna soluzione reale:  

Esempio: Risoluzione di equazioni complete.

  •  .

     ,  ,  . Calcolo del discriminante:

     

    Poiché   l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte

     

  •  .

     ,  ,  . Calcolo del discriminante:

     

    Poiché   l’equazione ammette due soluzioni reali coincidenti

     

  •  .

     ,  ,  . Calcolo del discriminante:

     
    Poiché   l’equazione non ammette soluzioni reali.

Formula ridotta per equazioni di secondo gradoModifica

Se nell’equazione   il coefficiente   è un numero pari, conviene applicare una formula, detta formula ridotta, che semplifica i calcoli.

Supponiamo  , l’equazione   diventa   e nella formula risolutiva dell’equazione si ottiene:

 

Dato che   si ha   e quindi la formula che conviene utilizzare quando   è pari è:

 

La quantità sotto radice, uguale a  , è detta anche discriminante ridotto.

Esempio: Applicazione della formula ridotta nella risoluzione di equazioni complete.

  •  .

    Il coefficiente di primo grado è pari, per cui conviene utilizzare la formula ridotta:

     

  •  .

    Applichiamo la formula ridotta:

     

  •  .

    Per prima cosa dividiamo l’equazione per  . Per il secondo principio di equivalenza, si ha l’equazione equivalente  . Poiché il coefficiente della   è pari si può applicare la formula ridotta:

     

Quando   è pari e  , la formula si dice ridottissima:  .

Esempio: Applicazione della formula ridottissima nella risoluzione di equazioni complete.

  •  .

    Il coefficiente   è pari e il coefficiente  , quindi possiamo applicare la formula ridottissima  , quindi  .

Riassumiamo e schematizziamo la risoluzione di un’equazione di secondo grado:

Equazioni incomplete
Coefficienti Tipo Equazione Soluzioni
 ,   Monomia    
 ,   Pura    
 ,   Spuria    


Equazione completa  
Discriminante Numero soluzioni Soluzioni
  Due soluzioni reali e distinte  
  Due soluzioni reali e coincidenti  
  Nessuna soluzione reale  

Equazioni che si possono risolvere con opportune sostituzioniModifica

Esempio: Risoluzione di equazioni con sostituzioni.

  •  .

    Sostituendo   l’equazione diventa  , le cui soluzioni sono  . Per determinare la   sostituiamo i valori di   trovati nella relazione  . Si ha   quindi l’equazione assegnata ammette le due soluzioni  

  •  .

    Sostituendo   l’equazione diventa   le cui soluzioni sono  . Sostituendo   si ha   quindi l’equazione assegnata ammette le due soluzioni  

Discussione e risoluzione di equazioni numeriche frazionarieModifica

Un’equazione in cui compare l’incognita al denominatore si chiama frazionaria o fratta.

Esempio: Risolvere la seguente equazione:   .

Passo I  Determiniamo il   dei denominatori:  .

Passo II  Imponiamo le condizioni di esistenza ( ):\; . La ricerca dei valori che risolvono l’equazione si restringe ai numeri reali appartenenti all’insieme,  ,   detto dominio dell’equazione o insieme di definizione (abbreviato  ).

Passo III  Applichiamo il primo principio d’equivalenza trasportando al primo membro la frazione del secondo membro  . Riduciamo allo stesso denominatore ( ):

 

Passo IV  Moltiplichiamo ambo i membri per il  , certamente diverso da zero per le condizioni poste; l’equazione diventa:  .

Passo V  L’equazione che si ottiene è di secondo grado; portiamo l’equazione alla forma canonica:  .


Passo VI  Calcoliamo il discriminante:  . Il discriminante è positivo quindi l’equazione è determinata e ammette due soluzioni reali distinte:

 

Passo VII  Confrontiamo le soluzioni con le  ; in questo caso le radici appartengono all’insieme  ; diciamo che sono accettabili e l’insieme soluzione è:  

Esempio: Risolvere la seguente equazione:   

Passo I  Determiniamo il   dei denominatori. Scomponiamo in fattori i denominatori. Riscriviamo:   il   è  

Passo II  Imponiamo le Condizioni di Esistenza:    quindi  ,  ,  

Passo III  Trasportiamo al primo membro ed uguagliamo a zero; riduciamo allo stesso denominatore ( ) i membri dell’equazione:

 

Passo IV  Applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando ambo i membri per il  , certamente diverso da zero per le condizioni poste in precedenza; l’equazione diventa:  

Passo V  Calcoliamo il discriminante:  . Il discriminante è positivo, l’equazione determinata e ammette due soluzioni reali distinte:   cioè  .

Passo VI  Confrontiamo con le  ; in questo caso solo   appartiene all’insieme  ; diciamo che l’insieme soluzione è:   mentre   non è accettabile.

Discussione e risoluzione di equazioni letteraliModifica

Ricordiamo la seguente definizione:

Definizione: Una equazione è letterale se i coefficienti dell’incognita sono espressioni letterali, cioè se oltre all’incognita (in genere indicata con la lettera  ) compare un'altra lettera (in genere  ,  ,  , …) detta parametro.


Esempio: Data l’equazione  , discutere, al variare di  , la realtà delle sue soluzioni.

L’equazione è letterale di secondo grado nell’incognita  , i cui coefficienti dipendono dal parametro  . Il parametro   può assumere qualunque valore numerico e l’equazione rappresenta una famiglia di equazioni le cui caratteristiche variano a seconda dei valori attribuiti al parametro. Notiamo subito che se   assume il valore zero, l’equazione non è più di secondo grado. Se   assume il valore  , l’equazione è ancora di secondo grado ma è incompleta (spuria) perché priva del termine noto.

Discutere un’equazione letterale significa analizzare come varia il suo insieme delle soluzioni al variare del parametro.

Ricordando la formula   in cui compaiono i tre coefficienti  ,  ,   possiamo dire che, nel caso considerato:

  • il primo coefficiente è  , se   l’equazione diventa   di primo grado con  ;
  • il secondo coefficiente è  , se questo è nullo, ossia se   l’equazione diventa  , equazione pura con due soluzioni reali opposte  ;
  • il terzo coefficiente è  , se è nullo, cioè se   l’equazione diventa  , equazione spuria con due soluzioni reali  .

Per tutti i valori di   l’equazione è completa, pertanto l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante  , quindi

  • se   l’equazione non ammette soluzioni reali:  ;
  • se   l’equazione ammette due soluzioni reali distinte  
  • se   l’equazione ammette due soluzioni reali coincidenti  .

Riassumendo e schematizzando si ha:

   con    
Parametro Insieme Soluzione Equazione
    di primo grado
    pura
    spuria
  completa,  
    non esistono soluzioni reali,  
    esistono soluzioni reali
   
   
Esempio: Data l’equazione  , discutere, al variare di  , la realtà delle radici.

Il primo e il secondo coefficiente non dipendono dal parametro  , quindi analizziamo il terzo coefficiente. Se   l’equazione diventa un’equazione spuria con due radici reali  . Per tutti i valori di   dell’insieme   l’equazione è completa e l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante  , quindi:

  • se   l’equazione non ammette soluzioni reali:  ;
  • se   l’equazione ammette due radici reali. Esse sono distinte se   e coincidenti se  .

Riassumendo e schematizzando si ha:

Parametro Insieme Soluzione Equazione
    spuria
  completa,  
    non esistono soluzioni reali,  
    esistono soluzioni reali
   
   
Esempio: Discutere l’equazione letterale:   .

L’equazione, pur presentando delle frazioni, è intera in quanto l’incognita   non compare al denominatore. Se   oppure   l’equazione è priva di significato, quindi poniamo  .

Trasportiamo a sinistra del segno di uguaglianza i termini di destra ed eseguiamo il calcolo nella parentesi:

 

Semplifichiamo   nell’ultimo termine, poiché nelle  , si ottiene

 

Riduciamo allo stesso denominatore   ed eliminiamo il denominatore, essendo   per le  ; si ha:  , che scritta in forma canonica diventa  .

Discussione

  • il primo coefficiente, essendo uguale a  , non dipende dal valore del parametro  , quindi l’equazione è di secondo grado per qualunque valore di  ,  ;
  • il secondo coefficiente è  : se   l’equazione diventa  , equazione pura con due soluzioni reali opposte  ;
  • il terzo coefficiente è  : se   (non consideriamo il caso   per le  ) l’equazione diventa  , equazione spuria con due soluzioni reali  .

Prima conclusione:  per tutti i valori di  ,  ,  ,   l’equazione è completa e l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante. Calcoliamo il discriminante:  ; esso risulta indipendente dal valore del parametro   e sempre positivo, quindi l’equazione ammette sempre due soluzioni reali distinte  .

Riassumendo in una tabella tutti i risultati ottenuti:

  con  
Parametro Insieme Soluzione Equazione
  priva di significato
    pura
    spuria
 ,  ,  ,     completa:  
Esempio: Discutere l’equazione parametrica  .

L’equazione è fratta, poiché l’incognita   compare nel denominatore. Trasportiamo i termini del secondo membro a sinistra del segno di uguaglianza e scomponiamo in fattori i denominatori:

 

Svolgiamo i calcoli nella parentesi e moltiplichiamo:  ; Riduciamo allo stesso denominatore ed eliminiamo il denominatore:  ;

Discussione

  • Il primo coefficiente è  , se   le   si riducono a   e l’equazione diventa   indeterminata, quindi   per le condizioni poste sull’incognita. Avendo studiato il caso  , possiamo ora supporre  . Dividiamo tutti i coefficienti per  , l’equazione diventa  ;
  • il secondo coefficiente è  , se   le   sono   e l’equazione diventa  , le soluzioni sono   che non sono accettabili per le  ;
  • il terzo coefficiente è  , se   le   sono   e l’equazione diventa   le cui soluzioni sono   di cui   non è accettabile per le  

Per  ,  ,   l’equazione è completa, l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante  , essendo  , si avranno sempre due soluzioni reali: coincidenti se   accettabili essendo le  ; distinte se   e, confrontando con le  , si   non è accettabile se  , mentre   è sempre accettabile per  ,  ,  ,  ,  .

Riassumendo in una tabella tutti i risultati ottenuti:

   con    
Parametro Incognita Insieme Soluzione Equazione
 
      indeterm.
      pura
      spuria
 ,  ,   completa
     
 , 1, 2,      
   
 , 0, 1, 2,    

  La soluzione o le soluzioni non sono accettabili.

Relazioni tra soluzioni e coefficientiModifica

Consideriamo una generica equazione di secondo grado   nell’ipotesi in cui ammetta soluzioni reali (cioè  ), sommiamo e moltiplichiamo le soluzioni (o radici) dell’equazione:

 

Quindi, la somma delle radici è   e il prodotto delle radici è  .

Osserviamo che queste relazioni tra radici e coefficienti dell’equazione valgono anche nel caso in cui le radici non siano reali ( ).

Esempio: Determinare somma e prodotto delle soluzioni dell’equazione  , nei casi seguenti, senza risolverla.

  •  .

    Calcolo il discriminante   pertanto le radici sono reali e distinte. Applicando le precedenti formule si ha:

     

  •  .

    Calcolo il discriminante   pertanto le radici sono reali e distinte. Applicando le precedenti formule si ha:

     

  •  .

    Calcolo il discriminante   pertanto le radici non sono reali anche se la loro somma e il loro prodotto sono reali, infatti applicando le precedenti formule si ha:   e   .

  •  .

    Il discriminate  . Le radici sono coincidenti, applicando la formula risolutiva si ha  . Applicando le formule per calcolare somma e prodotto si ha   e   da cui si conclude ugualmente che  .

Esempio: Determina le radici dell’equazione   senza applicare la formula risolutiva, ma sfruttando la somma e il prodotto delle radici stesse.

Calcolo il discriminante  , le radici sono reali. Esse hanno come somma   e come prodotto  .

Le coppie di interi che hanno per prodotto   sono  ,  ,   e  . Tra tutte queste coppie l’unica che ha per somma   è la coppia  . Pertanto le soluzioni dell’equazione sono  .

Esempio: Si determini la relazione che lega i coefficienti della generica equazione di secondo grado alla somma dei reciproci delle radici.

Si vuole cioè esprimere   attraverso i coefficienti  ,  ,   dell’equazione generica. Osserviamo in via preliminare che tale somma è possibile con la condizione   che implica  . Si ha:

 

Esempio: Si determini la relazione che lega i coefficienti della generica equazione di secondo grado alla differenza delle radici.

Poiché non abbiamo informazioni a priori su quale delle due soluzioni sia la maggiore, calcoliamo il valore assoluto della differenza richiesta. Il calcolo diventa:

 

Determinare due numeri conoscendone la somma e il prodottoModifica

Consideriamo la generica equazione di secondo grado   nell’ipotesi in cui ammetta soluzioni reali   e  . Essendo  , è possibile dividere ambo i membri per  , ottenendo:  . Dato che, per quanto visto precedentemente,   e  , si ha  .

Tale equazione risolve quindi la classe di problemi del tipo: “determinare due numeri la cui somma è s e il cui prodotto è p”.

Dall’equazione   discende che tali numeri esistono e sono reali se e solo se   ovvero se il quadrato della somma è maggiore o uguale al quadruplo del loro prodotto.

Esempio: Determinare due numeri che sommati danno   e moltiplicati danno  

L’equazione che risolve il problema è:  . Le soluzioni sono  

Esempio: Determinare due numeri che sommati danno   e moltiplicati danno  

L’equazione che risolve il problema è:  . Poiché  , l’equazione non ammette soluzioni reali e, di conseguenza, non esistono due numeri reali aventi la somma e il prodotto richiesti.

Problemi di natura geometrica di secondo gradoModifica

Problema:  Determinate la misura della diagonale di un rettangolo avente il perimetro di   e l’area di  

Dati ,  .

Obiettivo .

Soluzione  per il teorema di Pitagora applicato al triangolo   retto in  

Sono incognite le misura dei lati, quindi poniamo   e   con   e  

Il problema si formalizza con il sistema:   che esprime la ricerca di due numeri nota la loro somma   e il loro prodotto  . I numeri richiesti sono le soluzioni reali positive dell’equazione   e precisamente  .

Per come abbiamo disegnato la figura abbiamo quindi:   e  , da cui  .


Scomposizione del trinomio di secondo gradoModifica

Si consideri il trinomio di secondo grado:   e sia   (con  ) l’equazione associata a tale trinomio. Effettuiamo le seguenti operazioni:

  • si mette in evidenza  :  ;
  • si sostituiscono le relazioni trovate nel precedente paragrafo riguardo la somma e il prodotto delle soluzioni   e  :  ;
  • si svolgono i calcoli nella parentesi quadra:

 

  • si effettua il raccoglimento parziale e si ottiene:
 

Sulla base del segno di   è possibile distinguere i casi illustrati in tabella:

Discriminante Soluzioni Scomposizione
Caso I:      
Caso II:      
Caso III:    ,      è irriducibile

Esempio: Scomporre in fattori i seguenti trinomi.

  •  .

    Calcolo le soluzioni dell’equazione  . Si ha  , cioè  . Applicando la formula ottenuta nel caso I si ha:

     

  •  .

    Poiché   il trinomio è un quadrato di un binomio e applicando la formula ottenuta nel caso II si ha:  .

  •  .

    Essendo  , il trinomio è irriducibile.

  •  .

    Calcolo le radici dell’equazione associata  :   quindi   e scrivo la scomposizione:

     

Esempio: Scrivere un’equazione di secondo grado che ammetta le seguenti soluzioni   e  .

Per quanto visto nel paragrafo, si ha

 

Osservazione: Si vuole scomporre in fattori il trinomio  , avente tutti i coefficienti pari. Anche se osserviamo che tutti i suoi coefficienti sono pari, non possiamo dividire per due, non essendo un’equazione. Il polinomio   è diverso da quello assegnato, mentre le equazioni associate all’uno e all’altro sono equivalenti. Nel procedere alla scomposizione, una volta trovate le radici, per ottenere le quali possiamo anche usare l’equazione equivalente  , è necessario moltiplicare per  . Quindi, in questo caso le radici sono   e pertanto il trinomio assegnato si scompone come:  .

Regola di CartesioModifica

Se in un’equazione di secondo grado i coefficienti sono tutti diversi da zero e il discriminante è non negativo, è possibile avere delle informazioni sui segni delle soluzioni senza calcolarle esplicitamente.

In un’equazione  , dove i coefficienti sono tutti non nulli, le coppie di coefficienti    sono dette coppie di coefficienti consecutivi. Una coppia di coefficienti consecutivi presenta:

  • una permanenza se i coefficienti hanno lo stesso segno;
  • una variazione se i coefficienti hanno segni diversi.
Esempio: Determinare le variazioni e le permanenze nelle seguenti equazioni:
Equazione      
      variazione       permanenza    
      permanenza       permanenza    
      variazione       variazione    
      permanenza       variazione    

Teorema di Cartesio: In un’equazione di secondo grado   con  ,  ,   e  , il numero di radici positive è uguale al numero di variazioni presenti nelle coppie di coefficienti consecutivi. Se vi è una sola variazione, le radici sono discordi e il valore assoluto maggiore è quello della radice positiva se la variazione è nella coppia  , mentre è della radice negativa se la variazione è nella coppia  


Esempio: Determinare il segno delle soluzioni dell’equazione   senza risolverla.

L’equazione   ha soluzioni reali in quanto  . Dal momento che vi è una sola variazione, quella della coppia  , l’equazione ha radici discordi e il valore assoluto maggiore è quello della radice negativa.

Dimostriamo quanto è stato affermato tenendo presente che   e  ; nell’equazione proposta si ha:   e   dunque prodotto negativo e somma negativa. Il prodotto di due numeri è negativo quando i fattori sono discordi, quindi una soluzione è positiva e una è negativa. Chiamiamo   la soluzione negativa e   la soluzione positiva, poiché   deduciamo che in valore assoluto è più grande il numero negativo, cioè  

Esempio: Determinare il segno delle soluzioni delle seguenti equazioni senza risolverle.

  •  . L’equazione ha soluzioni reali in quanto  ; dal momento che vi è una sola variazione le radici sono discordi e il valore assoluto maggiore è quello della radice positiva poiché che la variazione è nella coppia  .
  •  . L’equazione ha soluzioni reali in quanto  ; dal momento che non vi sono variazioni, l’equazione ha due radici negative.
  •  . L’equazione ha due soluzioni coincidenti in quanto  ; dal momento che vi sono due variazioni, le due radici coincidenti sono positive.

Equazioni parametricheModifica

Definizione:

Si definisce parametrica un’equazione i cui coefficienti dipendono da un parametro.


L’equazione   è parametrica di secondo grado nell’incognita  ; i suoi coefficienti dipendono dal valore del parametro   e quindi la natura e il segno delle sue soluzioni dipendono da  .

In molti problemi di applicazione della matematica in situazioni reali in cui compare un parametro, non interessa tanto determinare le soluzioni dell’equazione che formalizza il problema, quanto sapere se le soluzioni hanno determinate caratteristiche. Sappiamo che attraverso i coefficienti di un’equazione di secondo grado si possono determinare alcune relazioni tra le sue soluzioni:

  • soluzioni reali se  ; reali coincidenti se  , reali distinte se  ;
  • la somma delle soluzioni è  ;
  • il prodotto delle soluzioni è  .

Nell’equazione   si ha   dipendente dal parametro  . Dall’analisi del   si potranno dedurre quali condizioni deve verificare   affinché esistano soluzioni reali. Analizzando somma e prodotto   e   potremo stabilire il segno ed altre caratteristiche delle soluzioni.

Esempio: Data l’equazione  , stabilire per quale valore di  

  1. l’equazione si riduce al primo grado;
  2. l’equazione ammette soluzioni reali distinguendo i casi “soluzioni coincidenti” e “soluzioni distinte”;
  3. la somma delle soluzioni sia nulla, determinando in tal caso le soluzioni.

Svolgimento

  1. l’equazione diventa di primo grado se il coefficiente   si annulla, cioè se   quindi  . In tal caso si ha una sola soluzione reale  ;
  2. studiamo il segno del discriminante:   da cui ricaviamo   Pertanto se   le soluzioni sono coincidenti, se   le soluzioni sono reali distinte, se invece   non ci sono soluzioni reali;
  3. dalla formula della somma delle soluzioni ricaviamo   e quindi la somma sarà nulla se  . Poiché  , per   non ci sono soluzioni reali, infatti sostituendolo nell’equazione quest’ultima diventa   impossibile!

Problemi di secondo grado in una incognitaModifica

« La risoluzione dei problemi [...] serve ad acuire l'ingegno e a dargli la facoltà di penetrare l'intera ragione di tutte le cose. »
(R. Descartes)

Sappiamo che nel corso degli studi o nell’attività lavorativa possono presentarsi problemi di diversa natura: di tipo economico, scientifico, sociale; possono riguardare insiemi numerici o figure geometriche. La matematica ci può aiutare a risolvere i problemi quando essi possono essere tradotti in “forma matematica”, quando cioè è possibile trascrivere in simboli le relazioni che intercorrono tra le grandezze presenti nel problema e quando si può costruire, tramite queste relazioni, un modello matematico che ci permetta di raggiungere la soluzione al quesito.

Affronteremo problemi di tipo algebrico o geometrico, che potranno essere formalizzati attraverso equazioni di secondo grado in una sola incognita. Teniamo presente, prima di buttarci nella risoluzione del problema, alcuni passi che ci aiuteranno a costruire il modello matematico:

  • la lettura “attenta” del testo al fine di individuare l’ambiente del problema, le parole chiave, i dati e le informazioni implicite, l’obiettivo;
  • la scelta della grandezza incognita del problema, la descrizione dell’insieme in cui si ricerca il suo valore, le condizioni che devono essere soddisfatte dall’incognita;
  • la traduzione in “forma matematica” delle relazioni che intercorrono tra i dati e l’obiettivo, cioè l’individuazione del modello matematico (equazione risolvente).

Dopo aver risolto l’equazione occorre confrontare la soluzione trovata con le condizioni poste dal problema.

Problema:  Nel triangolo rettangolo   rettangolo in  , l’ipotenusa   supera il cateto maggiore   di  ; la differenza tra i cateti è  . Determinare la misura del perimetro e l’area del triangolo.

Dati   .

Obiettivo ;  Area.

Soluzione:  Osserva che   e  . Ponendo  , si ha    e     con  .

Essendo rettangolo, i lati del triangolo sono legati dal teorema di Pitagora quindi si deve verificare:  . Sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione risolvente di secondo grado, in forma canonica:   con  . L’equazione è quindi determinata pertanto esistono due soluzioni reali distinte:   entrambe positive. Ai fini del problema   non è accettabile, quindi il problema ha una sola soluzione:   e  . Conclusione:    e   .


Problema:  Un padre aveva   anni alla nascita del figlio; moltiplicando le età attuali del padre e del figlio si ottiene il triplo del quadrato dell’età del figlio; calcolare le due età.

Indichiamo con   l’età attuale del padre e con   l’età attuale del figlio.

Dati   e   .

Obiettivo ,  .

Soluzione:  I dati permettono di impostare la relazione   che esprime il legame tra le età di oggi del padre e del figlio; siamo di fronte ad un’equazione di secondo grado nell’incognita  . La soluzione dell’equazione deve essere espressa da un numero positivo poiché esprime l’età. Risolviamo l’equazione   le cui soluzioni sono  . Per le condizioni poste la soluzione del problema è  . Quindi oggi il figlio ha   anni e, di conseguenza, il padre  .


Problema:  Il trapezio isoscele