Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado
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Le equazioni di secondo grado in una incognita
modificaConsideriamo il seguente problema: “in un triangolo rettangolo l’ipotenusa è più lunga del cateto minore di , mentre l’altro cateto è più lungo del cateto minore di . Si vogliono determinare le misure dei tre lati”.
Si può formalizzare il problema indicando con la misura incognita del cateto minore. La lunghezza dell’ipotenusa sarà , mentre quella dell’altro cateto . Applicando il teorema di Pitagora si ha: . Dopo aver effettuato i calcoli e aver portato tutti i termini a sinistra del predicato uguale abbiamo: .
Questa è una equazione di secondo grado in una incognita in quanto la variabile vi compare elevata al secondo grado.
Definizione: Si dice equazione di secondo grado, un’equazione del tipo: con , , e . I valori , , prendono il nome di coefficienti e, in particolare, viene detto termine noto.
Un’equazione di secondo grado si definisce:
monomia quando il secondo e il terzo coefficiente sono nulli: ;
(incompleta) pura quando il secondo coefficiente è nullo: ;
(incompleta) spuria quando il terzo coefficiente è nullo: ;
completa quando i tre coefficienti sono tutti diversi da zero: .
Risoluzione di un’equazione di secondo grado incompleta pura
modificaIl coefficiente della è nullo e l’equazione si presenta nella forma: . Si risolve portando al secondo membro il termine noto e dividendo per il coefficiente di :
Esempio:
Risoluzione di equazioni pure.
.
Risoluzione: .
.
Risoluzione: . L’equazione non ammette soluzioni reali in quanto il quadrato di un numero reale non è mai negativo.
Le soluzioni dell’equazione incompleta pura dipendono dal segno di :
- se , ovvero se e sono discordi, l’equazione ammette due soluzioni reali distinte opposte: ;
- se , ovvero se e sono concordi, l’equazione non ammette soluzioni reali;
- se , allora , l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti nulle: .
Risoluzione di un’equazione incompleta spuria
modificaUn’equazione incompleta spuria si presenta nella forma: . Per risolverla, si raccoglie a fattore comune la ; precisamente . Applicando la legge di annullamento del prodotto si ottiene oppure da cui . Pertanto un’equazione di questo tipo ha sempre due soluzioni reali distinte di cui una nulla.
Esempio:
Risoluzione di equazioni incomplete spurie.
.
Raccogliendo a fattor comune si ha: da cui, applicando la legge di annullamento del prodotto, segue da cui ;
.
Raccogliendo a fattore comune, si ha , da cui, applicando la legge di annullamento del prodotto, segue da cui .
Risoluzione di un’equazione completa
modificaL’equazione di secondo grado completa si presenta nella forma e per risolverla si applica una formula che si ottiene utilizzando il metodo del completamento del quadrato:
equazione completa di secondo grado | |
si moltiplicano ambo i membri per | |
si aggiunge ad ambo i membri | |
si porta al secondo membro | |
il primo membro risulta il quadrato di un binomio | |
si pone e l’equazione diventa pura in | |
si calcolano le soluzioni in | |
al posto di si sostituisce | |
si separa il monomio con l’incognita | |
si risolve rispetto all’incognita |
Da quanto ottenuto possiamo osservare che:
- la soluzione si ottiene esclusivamente operando sui coefficienti dell’equazione;
- il valore dell’incognita si ottiene con due calcoli:
- nel calcolo è coinvolta l’estrazione di radice quadrata: l’espressione prende il nome di discriminante e si è soliti indicarla con il simbolo (delta).
Questa formula può essere applicata anche ai tipi di equazioni incomplete che abbiamo già studiato. Il termine discriminante deriva dal sostantivo latino discrimen (divisione, punto di separazione); in effetti, il valore assunto da permette di effettuare una distinzione tra la tipologia delle soluzioni di un’equazione di secondo grado. Si possono infatti presentare tre casi:
- Primo caso: . Il radicale è un numero reale e l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte: ;
- Secondo caso: . Il radicale , quindi l’equazione ammette due radici reali e coincidenti: ;
- Terzo caso: . Il radicale non è un numero reale, quindi l’equazione non ammette soluzioni reali.
Riassumendo e schematizzando si ha:
Discriminante | Soluzioni |
---|---|
Due soluzioni reali e distinte: | |
Due soluzioni reali e coincidenti: | |
Nessuna soluzione reale: |
Esempio:
Risoluzione di equazioni complete.
.
, , . Calcolo del discriminante:
Poiché l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte
.
, , . Calcolo del discriminante:
Poiché l’equazione ammette due soluzioni reali coincidenti
.
, , . Calcolo del discriminante:
Formula ridotta per equazioni di secondo grado
modificaSe nell’equazione il coefficiente è un numero pari, conviene applicare una formula, detta formula ridotta, che semplifica i calcoli.
Supponiamo , l’equazione diventa e nella formula risolutiva dell’equazione si ottiene:
Dato che si ha e quindi la formula che conviene utilizzare quando è pari è:
La quantità sotto radice, uguale a , è detta anche discriminante ridotto.
Esempio:
Applicazione della formula ridotta nella risoluzione di equazioni complete.
.
Il coefficiente di primo grado è pari, per cui conviene utilizzare la formula ridotta:
.
Applichiamo la formula ridotta:
.
Per prima cosa dividiamo l’equazione per . Per il secondo principio di equivalenza, si ha l’equazione equivalente . Poiché il coefficiente della è pari si può applicare la formula ridotta:
Quando è pari e , la formula si dice ridottissima: .
Esempio:
Applicazione della formula ridottissima nella risoluzione di equazioni complete.
.
Il coefficiente è pari e il coefficiente , quindi possiamo applicare la formula ridottissima , quindi .
Riassumiamo e schematizziamo la risoluzione di un’equazione di secondo grado:
Coefficienti | Tipo | Equazione | Soluzioni |
---|---|---|---|
, | Monomia | ||
, | Pura | ||
, | Spuria |
Discriminante | Numero soluzioni | Soluzioni |
---|---|---|
Due soluzioni reali e distinte | ||
Due soluzioni reali e coincidenti | ||
Nessuna soluzione reale |
Equazioni che si possono risolvere con opportune sostituzioni
modificaEsempio:
Risoluzione di equazioni con sostituzioni.
.
Sostituendo l’equazione diventa , le cui soluzioni sono . Per determinare la sostituiamo i valori di trovati nella relazione . Si ha quindi l’equazione assegnata ammette le due soluzioni
.
Sostituendo l’equazione diventa le cui soluzioni sono . Sostituendo si ha quindi l’equazione assegnata ammette le due soluzioni
Discussione e risoluzione di equazioni numeriche frazionarie
modificaUn’equazione in cui compare l’incognita al denominatore si chiama frazionaria o fratta.
Esempio:
Risolvere la seguente equazione: .
Passo I
Determiniamo il dei denominatori: .
Passo II
Imponiamo le condizioni di esistenza ( ):\; . La ricerca dei valori che risolvono l’equazione si restringe ai numeri reali appartenenti all’insieme, , detto dominio dell’equazione o insieme di definizione (abbreviato ).
Passo III Applichiamo il primo principio d’equivalenza trasportando al primo membro la frazione del secondo membro . Riduciamo allo stesso denominatore ( ):
Passo IV
Moltiplichiamo ambo i membri per il , certamente diverso da zero per le condizioni poste; l’equazione diventa: .
Passo V
L’equazione che si ottiene è di secondo grado; portiamo l’equazione alla forma canonica: .
Passo VI Calcoliamo il discriminante: . Il discriminante è positivo quindi l’equazione è determinata e ammette due soluzioni reali distinte:
Passo VII Confrontiamo le soluzioni con le ; in questo caso le radici appartengono all’insieme ; diciamo che sono accettabili e l’insieme soluzione è:
Esempio:
Risolvere la seguente equazione:
Passo I
Determiniamo il dei denominatori. Scomponiamo in fattori i denominatori. Riscriviamo: il è
Passo II
Imponiamo le Condizioni di Esistenza: quindi , ,
Passo III Trasportiamo al primo membro ed uguagliamo a zero; riduciamo allo stesso denominatore ( ) i membri dell’equazione:
Passo IV
Applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando ambo i membri per il , certamente diverso da zero per le condizioni poste in precedenza; l’equazione diventa:
Passo V
Calcoliamo il discriminante: . Il discriminante è positivo, l’equazione determinata e ammette due soluzioni reali distinte: cioè .
Passo VI Confrontiamo con le ; in questo caso solo appartiene all’insieme ; diciamo che l’insieme soluzione è: mentre non è accettabile.
Discussione e risoluzione di equazioni letterali
modificaRicordiamo la seguente definizione:
Definizione: Una equazione è letterale se i coefficienti dell’incognita sono espressioni letterali, cioè se oltre all’incognita (in genere indicata con la lettera ) compare un'altra lettera (in genere , , , …) detta parametro.
Esempio: Data l’equazione , discutere, al variare di , la realtà delle sue soluzioni.
L’equazione è letterale di secondo grado nell’incognita , i cui coefficienti dipendono dal parametro . Il parametro può assumere qualunque valore numerico e l’equazione rappresenta una famiglia di equazioni le cui caratteristiche variano a seconda dei valori attribuiti al parametro. Notiamo subito che se assume il valore zero, l’equazione non è più di secondo grado. Se assume il valore , l’equazione è ancora di secondo grado ma è incompleta (spuria) perché priva del termine noto. Discutere un’equazione letterale significa analizzare come varia il suo insieme delle soluzioni al variare del parametro. Ricordando la formula in cui compaiono i tre coefficienti , , possiamo dire che, nel caso considerato:
Per tutti i valori di l’equazione è completa, pertanto l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante , quindi
Riassumendo e schematizzando si ha: | |||||||||||||||||||||||||||
|
Esempio: Data l’equazione , discutere, al variare di , la realtà delle radici.
Il primo e il secondo coefficiente non dipendono dal parametro , quindi analizziamo il terzo coefficiente. Se l’equazione diventa un’equazione spuria con due radici reali . Per tutti i valori di dell’insieme l’equazione è completa e l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante , quindi:
Riassumendo e schematizzando si ha: | |||||||||||||||||||||
|
Esempio: Discutere l’equazione letterale: .
L’equazione, pur presentando delle frazioni, è intera in quanto l’incognita non compare al denominatore. Se oppure l’equazione è priva di significato, quindi poniamo . Trasportiamo a sinistra del segno di uguaglianza i termini di destra ed eseguiamo il calcolo nella parentesi: Semplifichiamo nell’ultimo termine, poiché nelle , si ottiene Riduciamo allo stesso denominatore ed eliminiamo il denominatore, essendo per le ; si ha: , che scritta in forma canonica diventa . Discussione
Prima conclusione: per tutti i valori di , , , l’equazione è completa e l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante. Calcoliamo il discriminante: ; esso risulta indipendente dal valore del parametro e sempre positivo, quindi l’equazione ammette sempre due soluzioni reali distinte . Riassumendo in una tabella tutti i risultati ottenuti: | |||||||||||||||
|
Esempio: Discutere l’equazione parametrica .
L’equazione è fratta, poiché l’incognita compare nel denominatore. Trasportiamo i termini del secondo membro a sinistra del segno di uguaglianza e scomponiamo in fattori i denominatori: Svolgiamo i calcoli nella parentesi e moltiplichiamo: ; Riduciamo allo stesso denominatore ed eliminiamo il denominatore: ; Discussione
Per , , l’equazione è completa, l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante , essendo , si avranno sempre due soluzioni reali: coincidenti se accettabili essendo le ; distinte se e, confrontando con le , si non è accettabile se , mentre è sempre accettabile per , , , , . Riassumendo in una tabella tutti i risultati ottenuti: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
La soluzione o le soluzioni non sono accettabili. |
Relazioni tra soluzioni e coefficienti
modificaConsideriamo una generica equazione di secondo grado nell’ipotesi in cui ammetta soluzioni reali (cioè ), sommiamo e moltiplichiamo le soluzioni (o radici) dell’equazione:
Quindi, la somma delle radici è e il prodotto delle radici è .
Osserviamo che queste relazioni tra radici e coefficienti dell’equazione valgono anche nel caso in cui le radici non siano reali ( ).
Esempio:
Determinare somma e prodotto delle soluzioni dell’equazione , nei casi seguenti, senza risolverla.
.
Calcolo il discriminante pertanto le radici sono reali e distinte. Applicando le precedenti formule si ha:
.
Calcolo il discriminante pertanto le radici sono reali e distinte. Applicando le precedenti formule si ha:
.
Calcolo il discriminante pertanto le radici non sono reali anche se la loro somma e il loro prodotto sono reali, infatti applicando le precedenti formule si ha: e .
.
Il discriminate . Le radici sono coincidenti, applicando la formula risolutiva si ha . Applicando le formule per calcolare somma e prodotto si ha e da cui si conclude ugualmente che .
Esempio:
Determina le radici dell’equazione senza applicare la formula risolutiva, ma sfruttando la somma e il prodotto delle radici stesse.
Calcolo il discriminante , le radici sono reali. Esse hanno come somma e come prodotto .
Le coppie di interi che hanno per prodotto sono , , e . Tra tutte queste coppie l’unica che ha per somma è la coppia . Pertanto le soluzioni dell’equazione sono .
Esempio:
Si determini la relazione che lega i coefficienti della generica equazione di secondo grado alla somma dei reciproci delle radici.
Si vuole cioè esprimere attraverso i coefficienti , , dell’equazione generica. Osserviamo in via preliminare che tale somma è possibile con la condizione che implica . Si ha:
Esempio:
Si determini la relazione che lega i coefficienti della generica equazione di secondo grado alla differenza delle radici.
Poiché non abbiamo informazioni a priori su quale delle due soluzioni sia la maggiore, calcoliamo il valore assoluto della differenza richiesta. Il calcolo diventa:
Determinare due numeri conoscendone la somma e il prodotto
modificaConsideriamo la generica equazione di secondo grado nell’ipotesi in cui ammetta soluzioni reali e . Essendo , è possibile dividere ambo i membri per , ottenendo: . Dato che, per quanto visto precedentemente, e , si ha .
Tale equazione risolve quindi la classe di problemi del tipo: “determinare due numeri la cui somma è s e il cui prodotto è p”.
Dall’equazione discende che tali numeri esistono e sono reali se e solo se ovvero se il quadrato della somma è maggiore o uguale al quadruplo del loro prodotto.
Esempio:
Determinare due numeri che sommati danno e moltiplicati danno
L’equazione che risolve il problema è: . Le soluzioni sono
Esempio:
Determinare due numeri che sommati danno e moltiplicati danno
L’equazione che risolve il problema è: . Poiché , l’equazione non ammette soluzioni reali e, di conseguenza, non esistono due numeri reali aventi la somma e il prodotto richiesti.
Problemi di natura geometrica di secondo grado
modificaProblema: Determinate la misura della diagonale di un rettangolo avente il perimetro di e l’area di
Dati: , .
Obiettivo: .
Soluzione:
per il teorema di Pitagora applicato al triangolo retto in
Sono incognite le misura dei lati, quindi poniamo e con e
Il problema si formalizza con il sistema: che esprime la ricerca di due numeri nota la loro somma e il loro prodotto . I numeri richiesti sono le soluzioni reali positive dell’equazione e precisamente .
Per come abbiamo disegnato la figura abbiamo quindi: e , da cui .
Scomposizione del trinomio di secondo grado
modificaSi consideri il trinomio di secondo grado: e sia (con ) l’equazione associata a tale trinomio. Effettuiamo le seguenti operazioni:
- si mette in evidenza : ;
- si sostituiscono le relazioni trovate nel precedente paragrafo riguardo alla somma e al prodotto delle soluzioni e : ;
- si svolgono i calcoli nella parentesi quadra:
- si effettua il raccoglimento parziale e si ottiene:
Sulla base del segno di è possibile distinguere i casi illustrati in tabella:
Discriminante | Soluzioni | Scomposizione |
---|---|---|
Caso I: | ||
Caso II: | ||
Caso III: | , | è irriducibile |
Esempio:
Scomporre in fattori i seguenti trinomi.
.
Calcolo le soluzioni dell’equazione . Si ha , cioè . Applicando la formula ottenuta nel caso I si ha:
.
Poiché il trinomio è un quadrato di un binomio e applicando la formula ottenuta nel caso II si ha: .
.
Essendo , il trinomio è irriducibile.
.
Calcolo le radici dell’equazione associata : quindi e scrivo la scomposizione:
Esempio:
Scrivere un’equazione di secondo grado che ammetta le seguenti soluzioni e .
Per quanto visto nel paragrafo, si ha
Osservazione: Si vuole scomporre in fattori il trinomio , avente tutti i coefficienti pari. Anche se osserviamo che tutti i suoi coefficienti sono pari, non possiamo dividire per due, non essendo un’equazione. Il polinomio è diverso da quello assegnato, mentre le equazioni associate all’uno e all’altro sono equivalenti. Nel procedere alla scomposizione, una volta trovate le radici, per ottenere le quali possiamo anche usare l’equazione equivalente , è necessario moltiplicare per . Quindi, in questo caso le radici sono e pertanto il trinomio assegnato si scompone come: .
Regola di Cartesio
modificaSe in un’equazione di secondo grado i coefficienti sono tutti diversi da zero e il discriminante è non negativo, è possibile avere delle informazioni sui segni delle soluzioni senza calcolarle esplicitamente.
In un’equazione , dove i coefficienti sono tutti non nulli, le coppie di coefficienti e sono dette coppie di coefficienti consecutivi. Una coppia di coefficienti consecutivi presenta:
- una permanenza se i coefficienti hanno lo stesso segno;
- una variazione se i coefficienti hanno segni diversi.
Esempio: Determinare le variazioni e le permanenze nelle seguenti equazioni: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Teorema di Cartesio: In un’equazione di secondo grado con , , e , il numero di radici positive è uguale al numero di variazioni presenti nelle coppie di coefficienti consecutivi. Se vi è una sola variazione, le radici sono discordi e il valore assoluto maggiore è quello della radice positiva se la variazione è nella coppia , mentre è della radice negativa se la variazione è nella coppia
Esempio:
Determinare il segno delle soluzioni dell’equazione senza risolverla.
L’equazione ha soluzioni reali in quanto . Dal momento che vi è una sola variazione, quella della coppia , l’equazione ha radici discordi e il valore assoluto maggiore è quello della radice negativa.
Dimostriamo quanto è stato affermato tenendo presente che e ; nell’equazione proposta si ha: e dunque prodotto negativo e somma negativa. Il prodotto di due numeri è negativo quando i fattori sono discordi, quindi una soluzione è positiva e una è negativa. Chiamiamo la soluzione negativa e la soluzione positiva, poiché deduciamo che in valore assoluto è più grande il numero negativo, cioè
Esempio:
Determinare il segno delle soluzioni delle seguenti equazioni senza risolverle.
- . L’equazione ha soluzioni reali in quanto ; dal momento che vi è una sola variazione le radici sono discordi e il valore assoluto maggiore è quello della radice positiva poiché che la variazione è nella coppia .
- . L’equazione ha soluzioni reali in quanto ; dal momento che non vi sono variazioni, l’equazione ha due radici negative.
- . L’equazione ha due soluzioni coincidenti in quanto ; dal momento che vi sono due variazioni, le due radici coincidenti sono positive.
Equazioni parametriche
modificaDefinizione:
Si definisce parametrica un’equazione i cui coefficienti dipendono da un parametro.
L’equazione è parametrica di secondo grado nell’incognita ; i suoi coefficienti dipendono dal valore del parametro e quindi la natura e il segno delle sue soluzioni dipendono da .
In molti problemi di applicazione della matematica in situazioni reali in cui compare un parametro, non interessa tanto determinare le soluzioni dell’equazione che formalizza il problema, quanto sapere se le soluzioni hanno determinate caratteristiche. Sappiamo che attraverso i coefficienti di un’equazione di secondo grado si possono determinare alcune relazioni tra le sue soluzioni:
- soluzioni reali se ; reali coincidenti se , reali distinte se ;
- la somma delle soluzioni è ;
- il prodotto delle soluzioni è .
Nell’equazione si ha dipendente dal parametro . Dall’analisi del si potranno dedurre quali condizioni deve verificare affinché esistano soluzioni reali. Analizzando somma e prodotto e potremo stabilire il segno ed altre caratteristiche delle soluzioni.
Esempio:
Data l’equazione , stabilire per quale valore di
- l’equazione si riduce al primo grado;
- l’equazione ammette soluzioni reali distinguendo i casi “soluzioni coincidenti” e “soluzioni distinte”;
- la somma delle soluzioni sia nulla, determinando in tal caso le soluzioni.
Svolgimento
- l’equazione diventa di primo grado se il coefficiente si annulla, cioè se quindi . In tal caso si ha una sola soluzione reale ;
- studiamo il segno del discriminante: da cui ricaviamo Pertanto se le soluzioni sono coincidenti, se le soluzioni sono reali distinte, se invece non ci sono soluzioni reali;
- dalla formula della somma delle soluzioni ricaviamo