Robotica educativa/Esercizi di elettrotecnica

Di seguito vengono proposti (e risolti) esercizi sulle reti elettriche a difficoltà crescente). Naturalmente, per lavorare agevolmente col microcontrollore Arduino non servono tutte queste conoscenze e competenze, ma è sempre consigliabile padroneggiare un bagaglio teorico superiore a quello che viene richiesto nell'attività pratica.

Esercizio 1

Un dispositivo mobile ha una batteria da $3,3~{\text{V}}$ e $2~600~{\text{mAh}}$. Il suo caricatore ha un'uscita da $5~{\text{V}}$ e $2~{\text{A}}$ (la tensione del caricatore è superiore a quella del dispositivo mobile per motivi che verranno chiariti in seguito).

Calcolare il tempo di carica; la resistenza equivalente del dispositivo in stand-by se – per ipotesi – dopo tre giorni il dispositivo è completamente scarico; la resistenza equivalente del dispositivo quando si cercano i Pokemon e la batteria si scarica dopo $50'$.

Commenti e riflessioni

Il tempo di carica è pari a:

$t_{\text{carica}}={\frac {I_{\text{totale}}\cdot T_{\text{tot}}}{I_{\text{carica}}}}={\frac {2~600~{\text{mAh}}}{2~{\text{A}}}}={\frac {2,6~{\text{Ah}}}{2~{\text{A}}}}=1,3~{\text{h}}=1~{\text{h}}~18'.$

La resistenza del dispositivo in stand by si ottiene calcolando, prima il flusso di corrente in tali condizioni e – a seguire – il tempo di scarica.

$I_{\text{stand-by}}={\frac {I_{\text{totale}}\cdot T_{\text{tot}}}{T_{\text{stand-by}}}}={\frac {2~600~{\text{mAh}}}{3~{\text{gg}}}}={\frac {2~600~{\text{mAh}}}{72~{\text{h}}}}\simeq 36,11~{\text{mA}},$

$R_{\text{stand-by}}={\frac {V}{I_{\text{stand-by}}}}={\frac {3,3~{\text{V}}}{36,11~{\text{mA}}}}=91,4~\Omega .$

Giocando con i Pokemon, attività che richiede al dispositivo più energia, la durata della batteria diminuisce (come mostrato dai dati del problema), di conseguenza ci si aspetta che la corrente istantanea aumenti e diminuisca la resistenza equivalente.

$I_{\text{Pokemon}}={\frac {I_{\text{totale}}\cdot T_{\text{tot}}}{T_{\text{Pokemon}}}}={\frac {2~600~{\text{mAh}}}{50'}}\simeq {\frac {2~600~{\text{mAh}}}{0,83~{\text{h}}}}\simeq 3,133~{\text{A}},$

$R_{\text{Pokemon}}={\frac {V}{I_{\text{Pokemon}}}}={\frac {3,3~{\text{V}}}{3,133~{\text{A}}}}\simeq 1~\Omega .$

Esercizio 2

Un dispositivo mobile richiede un alimentatore stabilizzato (il quale eroghi una tensione continua e stabile) di $5~{\text{V}}$ per caricarsi. Purtroppo, l'alimentatore si è appena rotto. Si hanno a disposizione una batteria da $9~{\text{V}}$ e varie resistenze elettriche.

Quale circuito occorre realizzare per ottenere in uscita una tensione pari a $5~{\text{V}}$?

Commenti e riflessioni

Il problema si risolve ricorrendo a un partitore di tensione, circuito ampiamente utilizzato quando si vuole ottenere una frazione della tensione di partenza. È costituito da due (o più) resistenze in serie, le quali ripartiscono la tensione del generatore in due (o più) parti: una da $4~{\text{V}}$ e – la rimanente – da $5~{\text{V}}$ (quella che si desidera in uscita).

La tensione in uscita è, pertanto, pari a:

$V_{OUT}=R_{2}\cdot I_{TOT}=R_{2}{\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}=R_{2}{\frac {V_{G}}{R_{1}+R_{2}}}=V_{G}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}.$

La soluzione più semplice è $4~{\text{k}}\Omega$ e $5~{\text{k}}\Omega$, ma – purtroppo – questi valori non sono in commercio. I valori di resistenza che più si avvicinano a un'uscita di $5~{\text{V}}$ sono $R_{1}=3,3~{\text{k}}\Omega$ e $R_{2}=4,7~{\text{k}}\Omega$. L'errore commesso – nel calcolo della tensione d'uscita – è di $288~{\text{mV}}$, ed essa vale $V_{OUT}=5,288~{\text{V}}$.

Nota bene

Il circuito funziona solo teoricamente, per come è stato progettato. Infatti, lo smarthphone va visto come una resistenza, pertanto questa sarà in parallelo a $R_{2}$. Solo conoscendo questo parametro si può dimensionare correttamente il circuito.

Lo schema di montaggio del circuito sovrastante, è il seguente:

Esercizio 3

Dato il circuito in figura determinale la corrente $I_{R_{3}}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$18~{\text{V}}$
$R_{1}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{2}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{3}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{4}$	$6~{\text{k}}\Omega$

Commenti e riflessioni

Come prima cosa si ridisegna il circuito in modo che diventi più comprensibile, seguendo il flusso delle correnti.

Di seguito la risoluzione del circuito utilizzando il metodo top-down/bottom-up, ovvero partendo dalla corrente/tensione che si desidera trovare fino ai termini noti.

$I_{R_{3}}={\frac {V_{AB}}{R_{3}}}={\frac {6~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}$

$V_{AB}=R_{AB}\cdot I_{TOT}=1~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=6~{\text{V}}$

$R_{AB}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+{\frac {1}{R_{4}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{2~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{3~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{6~{\text{k}}\Omega }}}}=1~{\text{k}}\Omega$

$R_{3,4}={\frac {R_{3}\cdot R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}={\frac {18~{\text{M}}\Omega ^{2}}{9~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega$

$R_{AB}={\frac {R_{3,4}\cdot R_{2}}{R_{3,4}+R_{2}}}={\frac {R_{3,4}}{2}}={\frac {2~{\text{k}}\Omega }{2}}=1~{\text{k}}\Omega \qquad {\text{Poiché }}R_{2}=R_{3,4}$

Nota bene

Le due tecniche per il calcolo di $R_{AB}$:

1. il parallelo delle resistenze $R_{2}$, $R_{3}$ e $R_{4}$ simultaneamente;
2. il parallelo delle resistenze $R_{3}$ e $R_{4}$ e – successivamente – il suo risultato in parallelo con $R_{3}$;

forniscono il medesimo risultato. Pertanto è indifferente l'ordine con cui si procede.

$R_{TOT}=R_{1}+R_{AB}=2~{\text{k}}\Omega +1~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega$

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {18~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}.$

Esercizio 4

Dato il circuito di Figura determinale la tensione che cade su $R_{5}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$20~{\text{V}}$
$R_{1}$	$1,5~{\text{k}}\Omega$
$R_{2}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{3}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{4}$	$4~{\text{k}}\Omega$
$R_{5}$	$200~\Omega$

Commenti e riflessioni

Come prima cosa si ridisegna il circuito in modo che diventi più comprensibile.

Di seguito la risoluzione del circuito utilizzando il metodo top-down/bottom-up.

$V_{R_{5}}=R_{5}\cdot I_{3-5}=200~\Omega \cdot 5~{\text{mA}}=1~{\text{V}}$

$I_{3-5}={\frac {V_{AC}}{R_{3-5}}}={\frac {5~{\text{V}}}{1~{\text{k}}\Omega }}=5~{\text{mA}}$

$V_{AC}=V_{G}-V_{R_{1}}=20~{\text{V}}-15~{\text{V}}=5~{\text{V}}$

$R_{3-5}=R_{AB}+R_{5}=800~\Omega +200~\Omega =1~{\text{k}}\Omega$

$R_{AB}={\frac {R_{3}\cdot R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}={\frac {1~{\text{k}}\Omega \cdot 4~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +4~{\text{k}}\Omega }}=800~\Omega$

$V_{R_{1}}=R_{1}\cdot I_{TOT}=1,5~{\text{k}}\Omega \cdot 10~{\text{mA}}=15~{\text{V}}$

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {20~{\text{V}}}{2~{\text{k}}\Omega }}=10~{\text{mA}}$

$R_{TOT}=R_{1}+R_{AC}=1,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =1,5~{\text{k}}\Omega +0,5~{\text{k}}\Omega =2~{\text{k}}\Omega$

$R_{AC}={\frac {R_{2}\cdot R_{3-5}}{R_{2}+R_{3-5}}}={\frac {1~{\text{k}}\Omega \cdot 1~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +1~{\text{k}}\Omega }}=500~\Omega$

Esercizio 5

Dato il circuito di figura determinare la corrente circolante su $R_{6}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$24~{\text{V}}$
$R_{1}$	$500~\Omega$
$R_{2}$	$500~\Omega$
$R_{3}$	$2,5~{\text{k}}\Omega$
$R_{4}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{5}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{6}$	$6~{\text{k}}\Omega$

Commenti e riflessioni

In questo caso si risolverà l'esercizio diversamente dagli esercizi precedenti. Non si ricorrerà alla tecnica top-down/bottom-up. Si procederà al calcolo della resistenza totale e – dopodiché – al calcolo della corrente richiesta.

Di norma, per la risoluzione di un esercizio di questo genere (dopo il calcolo della resistenza totale) sono richiesti un numero di passaggi elementari pari a quelli usati nel corso del calcolo della resistenza totale, a meno che non si ricorra a formule quali partitore di tensione o altro. In questo caso il numero di calcoli necessari potrebbe diminuire.

Calcolo della resistenza totale

$R_{BC}={\frac {R_{5}\cdot R_{6}}{R_{5}+R_{6}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega$

$R_{4-6}=R_{4}+R_{BC}=1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega$

$R_{2,3}=R_{2}+R_{3}=500~\Omega +2,5~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega$

$R_{AC}={\frac {R_{2,3}\cdot R_{4-6}}{R_{2,3}+R_{4-6}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=1,5~{\text{k}}\Omega \quad ;\quad R_{AC}={\frac {R_{4-6}}{2}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega }{2}}=1,5~{\text{k}}\Omega$

$R_{TOT}=R_{1}+R_{AC}=500~\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega =2~{\text{k}}\Omega$

Calcolo della corrente su R6

A questo punto, partendo dalla corrente totale, si arriverà al dato richiesto. Passo dopo passo.

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {24~{\text{V}}}{2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{mA}}$

$V_{AC}=R_{AC}\cdot I_{TOT}=1,5~{\text{k}}\Omega \cdot 12~{\text{mA}}=18~{\text{V}}$

$I_{4-6}={\frac {V_{AC}}{R_{4-6}}}={\frac {18~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}$

$V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{4-6}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}}$

$I_{R_{6}}={\frac {V_{BC}}{R_{6}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}$

Risoluzione utilizzando i partitori di tensione

$V_{AC}=V_{G}{\frac {R_{AC}}{R_{1}+R_{AC}}}=24~{\text{V}}{\frac {1,5~{\text{k}}\Omega }{500~\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega }}=18~{\text{V}}$

$V_{BC}=V_{AC}{\frac {R_{BC}}{R_{4}+R_{BC}}}=18~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{V}}$

$I_{R_{6}}={\frac {V_{BC}}{R_{6}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}$

Esercizio 6

Dato il circuito di figura determinare la caduta di tensione su $R_{7}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$30~{\text{V}}$
$R_{1}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{2}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{3}$	$5~{\text{k}}\Omega$
$R_{4}$	$750~\Omega$
$R_{5}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{6}$	$6~{\text{k}}\Omega$
$R_{7}$	$250~\Omega$

Commenti e riflessioni

Risoluzione col metodo dell'Esercizio 5

$R_{CD}={\frac {R_{5}\cdot R_{6}}{R_{5}+R_{6}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega$

$R_{4-7}=R_{4}+R_{CD}+R_{7}=750~\Omega +2~{\text{k}}\Omega +250~\Omega =3~{\text{k}}\Omega$

$R_{2,3}=R_{2}+R_{3}=1~{\text{k}}\Omega +5~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega$

$R_{AB}={\frac {R_{2,3}\cdot R_{4-7}}{R_{2,3}+R_{4-7}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega$

$R_{TOT}=R_{1}+R_{AB}=3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =5~{\text{k}}\Omega$

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {30~{\text{V}}}{5~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}$

$V_{AB}=R_{AB}\cdot I_{TOT}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}}$

$I_{4-7}={\frac {V_{AB}}{R_{4-7}}}={\frac {12~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=4~{\text{mA}}$

$V_{R_{7}}=R_{7}\cdot I_{4-7}=250~\Omega \cdot 4~{\text{mA}}=1~{\text{V}}$

Risoluzione utilizzando i partitori di tensione

$V_{AB}=V_{G}{\frac {R_{AB}}{R_{1}+R_{AB}}}=30~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{V}}$

$V_{R_{7}}=V_{AB}{\frac {R_{7}}{R_{4}+R_{CD}+R_{7}}}=12~{\text{V}}{\frac {250~\Omega }{750~\Omega +2~{\text{k}}\Omega +250~\Omega }}=1~{\text{V}}$

Esercizio 7

Dato il circuito di figura determinare la caduta di tensione su $R_{7}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$45~{\text{V}}$
$R_{1}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{2}$	$1,5~{\text{k}}\Omega$
$R_{3}$	$500~\Omega$
$R_{4}$	$6~{\text{k}}\Omega$
$R_{5}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{6}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{7}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{8}$	$4~{\text{k}}\Omega$

Commenti e riflessioni

Risoluzione dell'esercizio 7

Si procede con il calcolo della resistenza totale $R_{TOT}$:

$R_{7-8}=R_{7}+R_{8}=2~{\text{k}}\Omega +4~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega ,$

$R_{BC}={\frac {R_{6}\cdot R_{7-8}}{R_{6}+R_{7-8}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,$

$R_{5-8}=R_{5}+R_{BC}=1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega ,$

$R_{AC}={\frac {R_{4}\cdot R_{5-8}}{R_{4}+R_{5-8}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,$

${\begin{aligned}R_{TOT}&=R_{1}+R_{3}+R_{AC}+R_{2}\\&=1~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =5~{\text{k}}\Omega .\end{aligned}}$

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {45~{\text{V}}}{5~{\text{k}}\Omega }}=9~{\text{mA}},$

$V_{AC}=R_{AC}\cdot I_{TOT}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 9~{\text{mA}}=18~{\text{V}},$

$I_{5-8}={\frac {V_{AC}}{R_{5-8}}}={\frac {18~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}},$

$V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{5-8}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}},$

$I_{7-8}={\frac {V_{BC}}{R_{7-8}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}},$

$V_{7}=R_{7}\cdot I_{7-8}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 2~{\text{mA}}=4~{\text{V}}.$

Risoluzione dell'esercizio con i partitori di tensione

${\begin{aligned}V_{AC}&=V_{G}\cdot {\frac {R_{AC}}{R_{1}+R_{3}+R_{AC}+R_{2}}}\\&=45~{\text{V}}\cdot {\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega }}=18~{\text{V}},\end{aligned}}$

$V_{BC}=V_{AC}{\frac {R_{BC}}{R_{5}+R_{BC}}}=18~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{V}},$

$V_{7}=V_{BC}{\frac {R_{7}}{R_{7}+R_{8}}}=12~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{2~{\text{k}}\Omega +4~{\text{k}}\Omega }}=4~{\text{V}}.$

Esercizio 8

Dato il circuito di figura determinare la corrente circolante su $R_{6}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$36~{\text{V}}$
$R_{1}$	$1,5~{\text{k}}\Omega$
$R_{2}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{3}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{4}$	$500~\Omega$
$R_{5}$	$5~{\text{k}}\Omega$
$R_{6}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{7}$	$6~{\text{k}}\Omega$
$R_{8}$	$3~{\text{k}}\Omega$

Commenti e riflessioni

Risoluzione dell'esercizio 8

Come prima cosa si procede col calcolo della resistenza totale $R_{TOT}$.

Inizialmente, si procede al calcolo del parallelo tra le resistenze $R_{6}$, $R_{7}$ e $R_{8}$. Questo processo può avvenire in due diversi modi: con il calcolo diretto (tramite la formula del parallelo), oppure tramite il calcolo del parallelo a due, a due.

$R_{BC}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{6}}}+{\frac {1}{R_{7}}}+{\frac {1}{R_{8}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{2~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{6~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{3~{\text{k}}\Omega }}}}={\frac {1}{\frac {3+1+2}{6~{\text{k}}\Omega }}}=1~{\text{k}}\Omega .$

In alternativa, come si è detto, è possibile eseguire il calcolo della $R_{BC}$ per parti:

$R_{78}={\frac {R_{7}\cdot R_{8}}{R_{7}+R_{8}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,$

$R_{BC}={\frac {R_{6}\cdot R_{78}}{R_{6}+R_{78}}}={\frac {2~{\text{k}}\Omega \cdot 2~{\text{k}}\Omega }{2~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=1~{\text{k}}\Omega .$

Ora, $R_{5}$ e $R_{BC}$ sono in serie, pertanto:

$R_{5-8}=R_{5}+R_{BC}=5~{\text{k}}\Omega +1~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega .$

Calcolando il parallelo tra $R_{3}$ e $R_{5-8}$ si ottengono solo resistenze in serie:

$R_{AC}={\frac {R_{3}\cdot R_{5-8}}{R_{3}+R_{5-8}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,$

pertanto, la resistenza totale $R_{T}$ è pari a:

$R_{T}=R_{1}+R_{2}+R_{AC}+R_{4}=1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =6~{\text{k}}\Omega .$

La corrente totale $I_{TOT}$ è pari a:

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{T}}}={\frac {36~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}.$

La tensione tra i nodi $A$ e $C$ è pari a:

$V_{AC}=R_{AC}\cdot I_{TOT}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}}.$

A questo punto è possibile calcolare la corrente che attraversa la resistenza $R_{5-8}$:

$I_{5-8}={\frac {V_{AC}}{R_{5-8}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}.$

Di conseguenza, la tensione che cade ai capi dei nodi $B$ e $C$ è pari a:

$V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{5-8}=1~{\text{k}}\Omega \cdot 2~{\text{mA}}=2~{\text{V}}.$

Pertanto, la corrente circolante nella resistenza $R_{6}$ è:

$I_{R_{6}}={\frac {V_{BC}}{R_{6}}}={\frac {2~{\text{V}}}{2~{\text{k}}\Omega }}=1~{\text{mA}}.$

Risoluzione dell'esercizio 8 col metodo dei partitori di tensione

I partitori di tensione consentono di accorpare due, o più, calcoli rendendo più snella la risoluzione dell'esercizio.

In alternativa, la tensione ai capi del nodo $AC$, può essere ottenuta dalla formula del partitore di tensione, la quale sostituisce quelle utilizzate per il calcolo di $R_{T}$, $I_{TOT}$ e – naturalmente – $V_{AC}$ stessa:

${\begin{aligned}V_{AC}&=V_{G}{\frac {R_{AC}}{R_{1}+R_{2}+R_{AC}+R_{4}}}\\&=36~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega }}=12~{\text{V}}\end{aligned}}.$

Di conseguenza, la tensione ai capi dei nodi $B$ e $C$ (e, delle resistenze a essi connesse) sarà pari a:

$V_{BC}=V_{AC}{\frac {R_{BC}}{R_{5-8}}}=12~{\text{V}}{\frac {1~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{V}},$

espressione che sostituisce i successivi due calcoli.

Pertanto, la corrente circolante su $R_{6}$ si ottiene con la medesima formula del caso precedente.

Come si può notare, questa procedura consente di ottenere la soluzione dell'esercizio con un passaggio, anziché due, per ogni partitore. Che diventano uno, invece che tre, nel primo caso.

Esercizio 9

Dato il circuito di figura determinare la tensione sulla resistenza $R_{10}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$60~{\text{V}}$
$R_{1}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{2}$	$1,5~{\text{k}}\Omega$
$R_{3}$	$500~\Omega$
$R_{4}$	$500~\Omega$
$R_{5}$	$5,5~{\text{k}}\Omega$
$R_{6}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{7}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{8}$	$5~{\text{k}}\Omega$
$R_{9}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{10}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{11}$	$500~\Omega$
$R_{12}$	$2~{\text{k}}\Omega$

Commenti e riflessioni

Risoluzione dell'esercizio 9

Come prima cosa si procede col calcolo della resistenza totale $R_{TOT}$.

$R_{9,10}=R_{9}+R_{10}=2~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega =5~{\text{k}}\Omega$

$R_{BC}={\frac {R_{8}\cdot R_{9,10}}{R_{8}+R_{9,10}}}={\frac {5~{\text{k}}\Omega \cdot 5~{\text{k}}\Omega }{5~{\text{k}}\Omega +5~{\text{k}}\Omega }}=2,5~{\text{k}}\Omega$

$R_{6,11}=R_{6}+R_{7}+R_{BC}+R_{11}=1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +2,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =6~{\text{k}}\Omega$

$R_{4,5}=R_{4}+R_{5}=500~\Omega +5,5~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega$

$R_{AD}={\frac {R_{4,5}\cdot R_{6,11}}{R_{4,5}+R_{6,11}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=3~{\text{k}}\Omega$

Da sottolineare che i due calcoli delle resistenze in parallelo, trattandosi di resistenze di ugual valore, potevano essere svolti con la formula $R_{eq}=R/2$.

$R_{TOT}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{AD}+R_{12}=3~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega +3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =10~{\text{k}}\Omega$.

A questo punto, la corrente totale erogata dal circuito è pari a:

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {60~{\text{V}}}{10~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}$,

da cui si evince la caduta di tensione ai capi dei nodi $AD$:

$V_{AD}=R_{AD}\cdot I_{TOT}=3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=18~{\text{V}}$.

È ora possibile calcolare la corrente nel ramo che attraversa la resistenza $R_{6,11}$:

$I_{6,11}={\frac {V_{AD}}{R_{6,11}}}={\frac {18~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=3~{\text{mA}}$.

Questo valore poteva essere facilmente calcolato ricordando che le resistenze $R_{4,5}$ e $R_{6,11}$ sono uguali, pertanto ripartiscono la corrente in due parti uguali.

Quindi, la tensione ai capi dei nodi $BC$ è pari a:

$V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{6,11}=2,5~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{mA}}=7,5~{\text{V}}$.

La corrente che attraversa la resistenza $R_{9,10}$ è pari a:

$I_{9,10}={\frac {V_{BC}}{R_{9,10}}}={\frac {7,5~{\text{V}}}{5~{\text{k}}\Omega }}=1,5~{\text{mA}}$,

ovvero la metà di $I_{6,11}$, come nel caso precedente.

Infine, la tensione che cade sulla resistenza $R_{10}$ vale:

$V_{R_{10}}=R_{10}\cdot I_{9,10}=3~{\text{k}}\Omega \cdot 1,5~{\text{mA}}=4,5~{\text{V}}$.

Risoluzione dell'esercizio 9 col metodo dei partitori di tensione

Come visto in precedenza, i calcoli comunque necessari, sono quelli iniziali a esclusione di $R_{TOT}$ in avanti. A questo punto, infatti (avendo solo resistenze in serie) è possibile calcolare direttamente $V_{AD}$:

$V_{AD}=V_{G}{\frac {R_{AD}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{AD}+R_{12}}}=60~{\text{V}}{\frac {3~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega +3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=18~{\text{V}}$.

Il secondo passaggio è:

$V_{BC}=V_{AD}{\frac {R_{BC}}{R_{AD}}}=18~{\text{V}}{\frac {2,5~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega }}=7,5~{\text{V}}$.

Infine, il risultato cercato, è dato da:

$V_{R_{10}}=V_{BC}{\frac {R_{10}}{R_{9,10}}}=7,5~{\text{V}}{\frac {2,5~{\text{k}}\Omega }{5~{\text{k}}\Omega }}=4,5~{\text{V}}$.