Probabilità/Ripasso di matematica

Il ripasso della teoria degli insiemi qui contenuta adotta un punto di vista semplice assumendo che il significato di insieme sia intuitivamente chiaro. Una rigorosa analisi di tale nozione appartiene ai fondamenti della matematica e della logica matematica. Anche se non inizieremo lo studio di questi campi, le regole che seguiremo trattando di insiemi sono derivate da essi. Un "insieme" è un raggruppamento di oggetti, che sono gli "elementi" dell'insieme

Se un elemento x appartiene ad un insieme S, esprimiamo questo fatto scrivendo $x\in S$. Invece se x non appartiene a S, scriviamo $x\notin S$.

Usiamo il simbolo di uguaglianza per indicare l' identità logica . Per esempio, x = y significa che x ed y sono simboli che indicano lo stesso oggetto. Analogamente, l'equazione S = T afferma che S e T sono due simboli che indicano lo stesso insieme. Precisamente, gli insiemi S e T contengono esattamente gli stessi elementi.

Se invece x ed y sono oggetti diversi scriviamo $x\neq y$. Inoltre, siamo in grado di esprimere il fatto che S e T sono insiemi diversi scrivendo $S\neq T$.

Un insieme S è un sottoinsieme di T se ciascun elemento di S è anche contenuto in T. Esprimiamo la relazione scrivendo $S\subset T$. Notare che questa definizione non necessita che S sia diverso da T. Infatti, S = T se e solo se $S\subset T$ e $T\subset S$. Se $S\subset T$ e S è diverso da T, allora S è un sottoinsieme proprio di T e scriviamo $S\subsetneq T$.

Ci sono vari modi per definire un insieme. Se l'insieme contiene pochi elementi si possono semplicemente elencare gli oggetti contenuti al suo interno.

$S=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}.$

Il contenuto di un insieme può anche essere numerato ogni volta che S abbia un numero definito di elementi,

$S=\{x_{1},x_{2},\ldots \}.$

Solitamente, il metodo per specificare un insieme consiste nel considerare un certo raggruppamento S di oggetti, una qualche proprietà che gli elementi di S possono o non possono avere e formare un insieme comprendente tutti gli elementi di S che rispondono alla proprietà. Per esempio, partendo dai numeri interi $\mathbb {Z}$, possiamo formare il sottoinsieme di S contenente tutti i numeri pari

$S=\{x\in \mathbb {Z} |x{\mbox{ sia un numero pari}}\}.$

Più in generale, indichiamo che l'insieme di tutti gli elementi che rispondono ad una certa proprietà P con la scrittura

$S=\{x|x{\mbox{ soddisfi }}P\}.$

Le parentesi graffe devono essere lette come "insieme di", mentre il simbolo | significa "tale che".

È opportuno introdurre due insiemi speciali. L' insieme vuoto, indicato da $\emptyset$, è un insieme che non contiene elementi. L' insieme universo, è il raggruppamento di tutti gli oggetti di interesse in un particolare contesto, è indicato da $\Omega$. Una volta che un insieme universo $\Omega$ è specificato, dobbiamo considerare insiemi solo quelli che sono sottoinsiemi di $\Omega$. Nell'ambito della probabilità, $\Omega$ è solitamente chiamato lo spazio campionario.

Il complemento di un insieme S, rispetto all'insieme universo $\Omega$, è il raggruppamento di tutti gli oggetti all'interno di $\Omega$ che non appartengono a S,

$S^{c}=\{x\in \Omega |x\notin S\}.$

Notiamo che $\Omega ^{c}=\emptyset$.

Operazioni elementari fra insiemi

La teoria della probabilità fa ampio uso di operazioni di insiemi elementari. Di seguito, ripasseremo le idee della teoria degli insiemi, e stabiliremo la notazione e la terminologia di base. Consideriamo due insiemi, S e T.

L’unione degli insiemi S e T è la raccolta di tutti gli elementi appartenenti ad S o T (o entrambi), ed è denotata da $S\cup T$. Formalmente, definiamo l’unione di questi due insiemi con

$S\cup T=\{x|x\in S{\mbox{ oppure }}x\in T\}.$

L’intersezione tra gli insiemi S e T è la raccolta di tutti gli elementi appartenenti sia ad S che a T. Ciò è espresso da $S\cap T$, e può essere espresso matematicamente come

$S\cap T=\{x|x\in S{\mbox{ e }}x\in T\}.$

Quando S e T non hanno elementi in comune, scriviamo $S\cap T=\emptyset$.

Oppure possiamo anche dire che S e T sono “disgiunti”. Più generalmente, un gruppo di insiemi si dice disgiunto se se nessuna coppia di insiemi ha elementi in comune. Si dice che un gruppo di insiemi forma una “partizione” di S se gli insiemi del gruppo sono disgiunti e la loro unione è S.

La “differenza” tra due insiemi, indicata con S-T, è definita come l’insieme degli elementi di S che non sono presenti in T.

$S-T=\{x|x\in S{\mbox{ e }}x\notin T\}.$

Questo insieme è alle volte anche chiamato complemento di T relativo ad S, o complemento di T in S.

Abbiamo già visto le definizioni di unione ed intersezione di due insiemi. Possiamo arbitrariamente anche formare l'unione o l'intersezione di molti insiemi. Questo è definito nel modo ovvio,

$\bigcup _{\alpha \in I}S_{\alpha }=\{x|x\in S_{\alpha }{\mbox{ per alcuni }}\alpha \in I\}$

$\bigcap _{\alpha \in I}S_{\alpha }=\{x|x\in S_{\alpha }{\mbox{ per tutti gli }}\alpha \in I\}.$

L’insieme indice I può essere finito oppure infinito.

Regole della Teoria degli insiemi

Dato un gruppo di insiemi, è possible formarne di nuovi applicando loro operazioni elementari degli insiemi. Come nell’algebra, vengono usate le parentesi per indicare le precedenze. Ad esempio, $R\cup (S\cap T)$ indica l’unione dei due insiemi R e $S\cap T$, mentre $(R\cup S)\cap T$ rappresenta l’intersezione dei due elementi $R\cup S$ e $T$. Gli insiemi formati in questo modo sono abbastanza diversi.

Alle volte però combinazioni diverse di operazioni portano allo stesso insieme. Per esempio, abbiamo le due leggi distributive

$R\cap (S\cup T)=(R\cap S)\cup (R\cap T)$

$R\cup (S\cap T)=(R\cup S)\cap (R\cup T).$

Due combinazioni equivalenti di operazioni particolarmente utili sono date dalle “leggi di De Morgan”, le quali affermano che:

$R-(S\cup T)=(R-S)\cap (R-T)$

$R-(S\cap T)=(R-S)\cup (R-T).$

Queste due leggi possono essere generalizzate con

$\left(\bigcup _{\alpha \in I}S_{\alpha }\right)^{c}=\bigcap _{\alpha \in I}S_{\alpha }^{c}$

$\left(\bigcap _{\alpha \in I}S_{\alpha }\right)^{c}=\bigcup _{\alpha \in I}S_{\alpha }^{c}$

Quando sono coinvolti insiemi multipli. Per stabilire la prima uguaglianza, supponiamo che x appartenga a $\left(\bigcup _{\alpha \in I}S_{\alpha }\right)^{c}$. X non è contenuto in $\bigcup _{\alpha \in I}S_{\alpha }$. Cioè, x non è un elemento dell’ insieme $S_{\alpha }$ per ogni $\alpha \in I$. Ciò implica che x appartenga a $S_{\alpha }^{c}$ per ciascun $\alpha \in I$, e quindi $x\in \bigcap _{\alpha \in I}S_{\alpha }^{c}$. Abbiamo mostrato che $\left(\bigcup _{\alpha \in I}S_{\alpha }\right)^{c}\subset \bigcap _{\alpha \in I}S_{\alpha }^{c}$. L'inclusione inversa è ottenuta invertendo la tesi sovrastante. La seconda legge può essere ottenuta in modo simile.

Prodotti cartesiani

C'è ancora un altro modo per creare nuovi insiemi da alcuni già esistenti. Per fare ciò bisogna conoscere il concetto di coppia ordinata di oggetti. Dati due insiemi S e T, il prodotto cartesiano S x T è l'insieme di tutte le coppie ordinate (x, y) in cui x è un elemento di S e y è un elemento di T.

$S\times T=\{(x,y)|x\in S{\mbox{ and }}y\in T\}.$

Riepilogo sulla probabilità e sulla Teoria degli insiemi

• A = P(A) ∑[0, 1]
• non A = P(A') = 1 – P(A)
• A o B = P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) [*se e solo se A e B si escludono a vicenda]
• A e B = P(A∩B) = P(A/B)*P(B) = P(A)*P(B) [*se e solo se A e B sono indipendenti]
• A condizionato a B = P(A|B) = P(A∩B)/P(B) [*condizionale]

Teoria Base Degli Insiemi

UNIONE: area combinata degli insiemi A e B, si scrive AUB. E' l'insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B

• Nell'unione A e B si sommano
• Alcune proprietà base dell'unione:
• AUB = BUA
• AU(BUC) = (AUB)UC
• A c (AUB)
• AUA = A
• AU0 = A, dove 0 = insieme vuoto
• A c B, se e solo se AUB = B

INTERSEZIONE: area dove A e B sono sovrapposti, si scrive A∩B. E' l'insieme contenente gli elementi che A e B hanno in comune

• Se A∩B = 0, allora A e B si dicono DISGIUNTI.
• Alcune proprietà base dell'intersezione:
• A∩B = B∩A
• A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
• A∩B cA
• A∩A = A
• A∩0 = 0
• A cB, se e solo se A∩B = A
• INSIEME UNIVERSO: spazio di tutte le cose possibili. Contiene TUTTI gli elementi o gli eventi elementari
• U/A è chiamato complemento assoluto di A

(Insieme) complementare: 2 insiemi possono essere sottratti. B/A (or B – A) è l'insieme di tutti gli elementi che fanno parte di B, ma non di A

Alcune proprietà base dei complementi (~A, or A'):

• AUA' = U
• A∩A' = 0
• (A')' = A
• A/A = 0
• U' = 0, e 0 = U
• A/B = 'A∩B'

Riassunto

• Intersezione (A∩B) ---- E – entrambi gli eventi avvengono allo stesso tempo
• Unione (AUB) ---- O – tutti gli eventi, A e B
• Complementare (~A) ---- NON A – tutto il resto eccetto A (o l'evento in questione)
• AU~A = S (spazio semplice)
• A∩~A = 0 (evento impossibile)

Unione e Intersezione sono:

Commutative:

• AUB = BUA
• A∩B = B∩A

Associative:

• AU(BUC) = (AUB)UC
• A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

Distributive:

• AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC)
• A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C)