Probabilità/I principi del calcolo combinatorio

I principi del calcolo combinatorio

Prima di poter approfondire le proprietà delle probabilità e le probabilità stesse, abbiamo bisogno di capire i Principi del calcolo combinatorio. Noi usiamo questi ultimi per determinare in quanti modi diversi si possono scegliere/fare determinati eventi. È più semplice definire questo principio attraverso alcuni esempi:

Eventi Indipendenti

Diciamo che John è al ristorante. Ci sono 3 diversi tipi di pane, 3 diversi formaggi, 3 diversi condimenti e 3 diverse verdure che può mettere nel suo panino. Supponendo che può mettere solo una cosa per ogni categoria, in quanti modi diversi John può avere il suo panino ?

Dal momento che la scelta di un formaggio non influenza la quantità della scelta di verdure, condimenti, o pane, questi eventi sono chiamati eventi indipendenti. Per questo problema, noi moltiplicheremo 3 per 3 per 3 per 3, quindi $3^{4}$, cioè 81. In conclusione ci sono 81 diverse possibili combinazioni per creare un panino.

Problemi pratici

1. Thomas entra in un chiosco e sceglie come fare il suo panino. Lui ha a disposizione 2 tipi diversi di formaggio, 3 tipi diversi di pane e 3 diverse salse tra cui può scegliere, ma ne può scegliere soltanto una per ogni categoria. In quanti modi diversi Thomas può fare il suo panino?
2. Diane sta ordinando la pizza per la sua famiglia. Ci sono 4 diverse possibili dimensioni di pizza. Inoltre, deve scegliere uno dei 5 ingredienti da mettere sulla pizza, uno dei 3 diversi tipi di formaggio e uno dei 3 diversi tipi di crosta. In quanti modi diversi può ottenere la sua pizza?
3. Quanti sono i numeri di 3 cifre formati dalle cifre 2, 3, 4, 5, 7 e 9?
4. Riferito al problema precedente: quanti di questi sono inferiori a 400?

Risposte

1. $(2)(3)(3)=18$
2. $(4)(5)(3)(3)=180$
3. Dal momento che ci sono sei cifre disponibili, la risposta è $(6)(6)(6)=216$
4. Per ottenere numeri di 3 cifre inferiori a 400, abbiamo solo due scelte per la prima cifra, ovvero 2 o 3. Dopo di che possiamo scegliere le altre due cifre liberamente. La risposta è quindi $(2)(6)(6)=72$.

Eventi Dipendenti

Supponiamo che adesso John stia lavorando in una libreria. Deve mettere 5 libri su uno scaffale in ordine sparso. In quanti modi diversi può ordinare i libri? A differenza degli eventi indipendenti, quando John mette un libro, ne elimina uno dalle rimanenti opzioni di libri da mettere poi sullo scaffale; questi sono indicati come eventi dipendenti.In un primo momento, abbiamo 5 scelte diverse, così il primo risultato nel problema di moltiplicazione sarà 5. Ora che ne manca uno, il numero è ridotto a 4.Successivamente, cala a 3, e così via. Quindi, il problema sarà

$(5)(4)(3)(2)(1)$

Tuttavia,vi è un simbolo per riassumere quanto fatto. Un ! rappresenta il termine fattoriale. Quindi,per esempio, $3!=(3)(2)(1)$. I fattoriali sono molto usati sia in statistica che in probabilità.

Pertanto, il problema può essere riscritto come 5!, che finisce per essere pari a 120.

Però non tutti gli eventi dipendenti sono così semplici. Immaginiamo ora che ci siano 10 cani a una competizione canina. In quanti modi diversi si possono selezionare il campione e il secondo classificato? Questo problema potrebbe effettivamente essere considerato più semplice dell'ultimo, ma non riguarda i fattoriali. Quindi,in quanti diversi modi il giudice può determinare il campione? Visto che ci sono 10 cani diversi, ci saranno 10 diversi modi per determinarlo. Quanti cani rimangono tra cui selezionare il secondo classificato? Siccome ne abbiamo rimosso uno, il numero è sceso a 9. Invece di mettere un fattoriale dovremo solo moltiplicare 10 per 9,che risulta 90.

Indipendente o Dipendente?

Per aiutarti a scegliere tra i due, faremo alcuni esempi, ma dovrai decidere se l'evento è dipendente o indipendente prima di risolvere il problema.

Stai creando un codice a 5 cifre per l'apertura della porta del garage(le cifre includono 0-9). Se non ci fossero assolutamente restrizioni, gli eventi sarebbero indipendenti l'uno dall'altro o dipendenti l'uno dall'altro?Naturalmente, non ci sono restrizioni: dal momento che si potrebbero avere cinque 4 per il codice, per risolvere il problema si moltiplica 10 per se stesso 5 volte, con conseguente 100000.

In alternativa, supponiamo che il primo numero del codice non possa essere 0, e che non vi possano essere numeri ripetuti. Ovviamente questi eventi sono dipendenti l'uno dall'altro, in quanto non vi possono essere ripetizioni. Osserviamo questo problema un numero per volta.

Il primo numero può essere una cifra qualsiasi eccetto lo 0, quindi le cifre possibili saranno 9. Questa volta il secondo numero può essere 0, quindi il numero delle possibilità ritorna a 10. Tuttavia, non vi può essere una ripetizione del numero precedente, quindi vi sono ancora 9 possibili scelte. In seguito, le possibilità si ridurranno di 1 ogni volta, in quanto non vi possono essere ripetizioni. Il problema si presenterà così:

$(9)(9)(8)(7)(6)=(9)(9!)/(5!)=27216$

Ora vediamo un altro esempio. Supponiamo che tu stia organizzando la tua programmazione scolastica. Ci sono 8 lezioni al giorno e 7 classi tra cui scegliere. Tuttavia, il tempo della quarta lezione è dedicato al pranzo. Possiamo pensare che questa lezione non esista in quanto è in una posizione costante e quindi non influenza le possibili scelte. Con 7 classi e 7 lezioni abbiamo 7! combinazioni possibili.

$(7!)=5040$

Ripasso sui principi del Calcolo Combinatorio

Quindi, usiamo il Calcolo Combinatorio per determinare i differenti modi coi quali si può fare qualcosa, come preparare un sandwich o fare una selezione di materie. Certe volte, questi eventi si influenzano l'un l'altro, come quando non puoi scegliere lo stesso numero due volte nella password della porta del tuo garage. Per questo sono detti dipendenti. Tuttavia, altre volte, un evento non ha alcun effetto su quello successivo, come quando devi scegliere tra diversi tipi di formaggio e di pane per il tuo sandwich. Questi ultimi sono detti indipendenti. I principi del Calcolo Combinatorio sono delle idee matematiche fondamentali e una parte essenziale della probabilità.

Regole del Calcolo Combinatorio

Regola 1: Se uno qualunque dei $K$ eventi indipendenti possono presentarsi in $N$ casi, ci sono $K^{N}$ sequenze differenti che possono risultare dalla combinazione di tali casi. Esempio: Lanciamo una moneta tre volte, trovando il numero delle possibili combinazioni. $N=3$, $K=2$, quindi, $K^{N}=2^{3}=8$

Regola 2: Se $K1,K2,....KN$ sono i numeri di eventi distinti che possono presentarsi in $1,....N$ casi possibili, il numero delle differenti combinazioni degli $N$ eventi che possono presentarsi è $(K1)(K2)...(KN)$. Esempio: Lanciamo una moneta e facciamo rotolare un dado trovando il numero delle possibili combinazioni. Troviamo, $(K1)(K2)=(2)(6)=12$

Regola 3: Il numero dei differenti modi in cui $N$ cose distinte possono essere ordinate in successione è $N!=(1)(2)(3)....(N-1)(N)$, dove $0!=1$. La disposizione in ordine è detta permutazione, quindi il numero totale delle permutazioni di $N$ oggetti è $N!$ (il simbolo $N!$ è chiamato N-fattoriale). Esempio: Disponiamo 10 oggetti in ordine, trovando il numero di modi possibili. Otteniamo, $10!=10x9x8x7x6x5x4x3x2x1=3.628.800$ modi possibili.

Regola 4: Il numero di modi, $N$, di selezionare e disporre $r$ oggetti presi fra gli$N$ è : $N!/(N-r)!$, o come scritto nelle calcolatrici, $[nPr]$. Esempio: prendiamo 3 oggetti fra 10 e li disponiamo in ordine, calcolando il numero delle possibili disposizioni. Si ottiene $N=10,r=3$, quindi $10!/(10-3)!=10!/7!=720$ combinazioni

Regola 5: Il numero totale di modi in cui scegliere $r$ distinte combinazioni di $N$ oggetti, senza contare l'ordine (l'ordine NON è importante), è: $N!/r!(N-r)!$ o come scritto sulle calcolatrici, $[nCr]$. Esempio: prendiamo 3 oggetti tra 10 in qualunque ordine, dove $N=10,r=3$. Otteniamo $10!/3!(7!)=720/6=120$