Probabilità/Introduzione

La teoria della Probabilità formula una conoscenza incompleta riguardante la probabilità di un evento. Ad esempio, un meteorologo potrebbe dire che c'è un 60% di possibilità che domani piova. Questo significa che in 6 casi su 10, quando la terra si trova nelle stesse condizioni, pioverà .

Una probabilità è un numero reale $p\in [0,1]$. Nel linguaggio comune, il numero è generalmente espresso in percentuale (da 0% a 100%) anziché in numero decimale (cioè, una probabilità di 0,25 si esprime come 25%). Una probabilità del 100% significa che un evento è certo. Nel linguaggio quotidiano, con una probabilità dello 0% si intende che l'evento è impossibile, ma (di solito ci sono un'infinità di possibili risultati) un evento, a cui viene attribuito originariamente una probabilità dello 0%, può essere quello che effettivamente avviene. In alcune situazioni, è certo che all'evento che accade è stato all'inizio attribuito una probabilità pari a zero (ad esempio, nel selezionare un numero tra 0 e 1, la probabilità di selezionare un qualsiasi numero è zero, ma è certo che un tale numero verrà selezionato).

Un altro modo per riferire la probabilità di un risultato è dalle sue possibilità : il rapporto tra la probabilità di "successo" (l'evento si verifica) e la probabilità di "fallimento" (l'evento non si verifica). Nel mondo delle scommesse (dove viene sviluppata la "probabilità") le possibilità sono espresse come il rapporto tra la somma puntata da ciascun partecipante nella scommessa. Per esempio: un bookmaker offre la probabilità di 3/1 "su" un cavallo, pagherà allo scommettitore tre volte la sua puntata (se il cavallo vince). Infatti, il bookmaker (evitando fattori come la sua possibile necessità di "pagare" scommesse che lo portino alla possibilità di una perdita complessivamente inaccettabile) dichiara di pensare che il cavallo ha un 1/4 di possibilità di vittoria. Se utilizziamo la definizione matematica di probabilità, "possibilità di vincere" : "possibilità di non vincere" = 1/4: 3/4 = 1: 3 o 1/3. Così un evento con una probabilità del 25% ha il 33% di possibilità. Questa disparità è ancora più evidente quando un evento ha una probabilità del 50% (per esempio, le probabilità di una moneta che mostra testa è del 50%: 50% = 1: 1 o 1).

Tipi di probabilità

Ci sono fondamentalmente quattro tipi di probabilità, ciascuna con i suoi limiti. Nessuno di questi metodi della probabilità è di per se sbagliato, ma alcuni sono più funzionali o più generici di altri.

Nel linguaggio di tutti i giorni, esprimiamo le nostre opinioni sulle possibilità di eventi utilizzando la stessa terminologia della teoria d probabilità. Spesso, ciò non ha niente a che vedere con la reale definizione di probabilità, piuttosto è un'idea intuitiva basata sulla nostra esperienza, e in alcuni casi sulle statistiche.

Consideriamo i seguenti esempi:

• Bill dice: "Non comprare avocadi qui; per la metà sono marci". Bill sta esprimendo la propria opinione sulla probabilità di un evento — che un avocado sarà marcio — basato sulla propria esperienza personale.
• Lisa dice: "Sono certa per il 95% che la capitale della Spagna è Barcellona". Qui, l'opinione che Lisa sta esprimendo è solo una possibilità dal suo punto di vista, solo perché lei non conosce che la capitale della Spagna è Madrid (dal nostro punto di vista, la probabilità è del 100%). Tuttavia, possiamo ancora vedere ciò come una probabilità soggettiva perché esprime una misura di incertezza. E 'come se Lisa dicesse "nel 95% dei casi mi sento sicura che questo è corretto ".
• Susan dice: "C'è una minore possibilità di essere ucciso a Omaha che a Detroit". Susan sta esprimendo una opinione basata (presumibilmente) sulle statistiche.
• Dr. Smith dice a Christina, "C'è una probabilità del 75% che vivrai". Dr. Smith si sta basando sulla sua ricerca.

La probabilità può anche essere espressa in modo vago. Ad esempio, qualcuno potrebbe dire che probabilmente domani piova. Questo è soggettivo, ma implica che l'oratore ritiene che la probabilità è superiore del 50%.

La probabilità soggettiva è stata ampiamente studiata, soprattutto per quanto riguarda i mercati di gioco d'azzardo e delle assicurazioni. Sebbene questo tipo di probabilità è importante, non è oggetto di questo libro. Un buon riferimento è "Degrees of Belief" di Steven Vick (2002).

Ci sono due metodi standard di interpretare concettualmente le probabilità. Il primo è noto come lungo periodo (o il metodo di frequenza relativa) e la convinzione personale (o metodo di fiducia). Nella teoria di frequenza della probabilità, la probabilità è il limite della frequenza relativa con cui un evento si verifica nelle prove ripetute (notare che le prove devono essere indipendenti).

La teoria frequentista si basa sulla probabilità solo quando si tratta di esperimenti che sono casuali e ben definiti. La probabilità di un evento casuale indica la frequenza relativa del verificarsi dei risultati di un esperimento, ripetendolo. La teoria frequentista considera la probabilità come la frequenza relativa di risultati nel lungo periodo.

Le probabilità fisiche, che sono anche chiamate probabilità oggettive o di frequenza, sono associate a sistemi fisici casuali come la roulette, i dadi e gli atomi radioattivi. In tali sistemi, un determinato tipo di evento (come l'uscita di un sei nei dadi) tende a verificarsi con una percentuale continua o a 'frequenza relativa', in un lungo periodo di prove. Le probabilità fisiche spiegano, o sono chiamate a spiegare, queste frequenze stabili. Così parlare di probabilità fisica ha senso solo quando si tratta di esperimenti casuali ben definiti. I due tipi principali di teoria della probabilità fisica sono i conti di frequentista (come Venn) e i conti di propensione.

Le frequenze relative sono sempre comprese tra 0% (caso che non accade mai) e il 100% (caso che accade sempre), quindi in questa teoria le probabilità sono compresi tra 0% e 100%. Secondo la teoria di frequenza di probabilità, cosa significa dire "la probabilità che A si verifica è p%" è che se si ripete l'esperimento più e più volte, in modo indipendente e in condizioni sostanzialmente identiche, la percentuale del tempo che A si verifica tenderà a p. Ad esempio, nell'ambito della teoria della frequenza, dire che la probabilità che in una moneta esca testa è del 50%, significa che se si lancia la moneta più e più volte, in modo indipendente, il rapporto tra il numero di volte che esce testa e il numero totale di lanci si avvicina a un valore (limite) del 50% e cresce dal numero di lanci. Poiché il rapporto di lanci con risultato testa è sempre compresa tra 0% e 100%, quando esiste la probabilità che deve essere compreso tra 0% e 100%.

Nella teoria soggettiva della probabilità, la probabilità misura il "grado di convinzione" di chi parla che si verifichi l'evento, su una scala da 0% (incredulità completa che l'evento accadrà) al 100% (certezza che l'evento accadrà). Secondo la teoria soggettiva, per noi cosa significa dire che "la probabilità che A si verifica è 2/3" che crediamo che A accadrà il doppio delle volte piuttosto che A non accadrà. La teoria soggettiva è particolarmente utile (in senso) per assegnare alla probabilità di eventi che, in linea di principio, possono verificarsi solo una volta. Ad esempio, come si potrebbe assegnare un significato di un'affermazione come "c'è una probabilità del 25% di un terremoto sulla faglia di San Andreas, con magnitudo 8 o superiore prima del 2050?" (Per ulteriori discussioni delle teorie della probabilità e le loro applicazioni a terremoti vedere Freedman e Stark, 2003). È molto difficile da usare la teoria degli esiti della stessa probabilità o la teoria di frequenza di dare un senso all'affermazione.

La teoria di Bayes, invece, assegna alle probabilità ogni dichiarazione sorta, anche se nessun processo casuale è coinvolto. La probabilità, per una teoria di Bayes, è un modo di rappresentare il grado di attendibilità in un'affermazione di un individuo, date le prove.

La probabilità probatoria, detta anche probabilità di Bayes, può essere assegnata a qualsiasi affermazione sorta, anche quando nessun processo casuale è coinvolto, come un modo di rappresentare la propria plausibilità soggettiva, o il grado in cui la dichiarazione è supportata da prove disponibili. Nella maggior parte dei casi, le probabilità probatorie sono considerate come gradi di attendibilità, definiti in termini di disponibilità a giocare quote sicure. Le quattro principali interpretazioni probatorie sono l'interpretazione classica, l'interpretazione soggettiva, l'interpretazione epistemica o induttiva, e l'interpretazione logica.

Teoria classica della probabilità

Il metodo classico al calcolo della probabilità è quello di contare il numero di risultati favorevoli, il numero di risultati possibili (si presuppone che i risultati siano contemporaneamente esclusivi ed equiparabili), ed esprimere la probabilità come un rapporto di questi due numeri. Con il termine favorevole si intende non un qualsiasi termine soggettivo assegnato alla variabile risultato, ma piuttosto è una terminologia convenzionale per definire un dato risultato che appartiene ad un dato evento di interesse. Cosa effettivamente si intenda con questo sarà chiarito da un esempio e formalizzato dalla introduzione alla teoria della probabilità assiomatica.

Definizione classica di probabilità

Se il numero di risultati favorevoli appartiene ad un evento $E$ is $N_{E}$, e il numero totale di risultati possibili è $N$, la probabilità dell' evento $E$ sara definita per $p_{E}={\frac {N_{E}}{N}}$.

Per esempio, un mazzo standard di carte (senza jolly) ha 52 carte. Se noi peschiamo in maniera casuale dal mazzo, possiamo pensare che ogni carta ha la stessa probabilità di uscire della altre. Quindi ci sono 52 possibili risultati. Possiamo ora ipotizzare vari eventi e calcolarne la probabilità:

• Delle 52 carte, ci sono 13 carte del seme fiore. Quindi, se l' evento di interesse è pescare una carta del seme di fiori, ci sono 13 risultati favorevoli e la probabilità che questo evento accada è ${\frac {13}{52}}={\frac {1}{4}}$.
• Ci sono quattro re, uno per ogni seme. La probabilità di pescare un re è ${\frac {4}{52}}={\frac {1}{13}}$.
• Qual è la probabilità di pescare un re O una carta di seme fiori? Questo esempio è leggermente più complicato in quanto non si può semplicemente sommare il numero di risultati favorevoli di ogni singolo evento ($4+13=17$) in quanto andremmo a contare due volte lo stesso risultato (il re di fiori). Il metodo giusto per risolvere questo problema è ${\frac {16}{52}}$ ovvero ${\frac {13}{52}}+{\frac {4}{52}}-{\frac {1}{52}}$ che si può scrivere come $p({\textrm {fiori}})+p({\textrm {re}})-p({\textrm {re\ di\ fiori}})$.

La probabilità classica ha però dei notevoli limiti. La definizione di probabilità presuppone che tutti i risultati possibili siano equiprobabili. Se questo può essere utile in situazioni quali pescare carte, tirare dadi, o estrarre palline da un'urna, in eventi nei quali i risultati non sono equiprobabili, la probabilità classica non offre alcun metodo risolutivo.

Queste limitazioni possono portare a dichiarazioni erronee riguardo alla probabilità. Un esempio comune: posso essere colpito da una meteorite domani. Apparentemente ci sono due possibili situazioni:domani verrò colpito da un meteorite oppure domani non verrò colpito da un meteorite. Quindi la probabilità che domani io venga colpito da un asteroide è ${\frac {1}{2}}=50\%$. Chiaramente la soluzione errata non è da attribuirsi alla teoria classica della probabilità ma al suo utilizzo in situazioni che non possono essere studiate grazie a queste teorie.

Queste limitazioni, comunque, non rendono la probabilità classica inutile. Nello sviluppo di un approccio assiomatico alla probabilità, la teoria classica è un importante fattore guida.

Probabilità empirica o statistica o frequenza di eventi

Questo approccio alla probabilità è adatto ad una vasta gamma di materie scientifiche. Essa si basa sull'idea che la probabilità di un evento possa essere misurata grazie ad una serie di tentativi ripetuti.

Probabilità Empirica come misura di una frequenza

Poniamo$n_{A}$ come il numero di volte che l' evento $A$ si è verificato dopo $n$ tentativi. Definiamo la probabilità dell'evento come $A$ as $p_{A}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n_{A}}{n}}$

Chiaramente, è impossibile condurre un infinito numero di tentativi. Comunque, è di solito sufficiente condurre un ampio numero di tentativi, dove per ampio si intende un numero variabile a seconda della probabilità che stiamo misurando e dalla accuratezza che necessitiamo.

Un problema sorge spontaneo nella definizione di questo tipo di probabilità: come facciamo a sapere quando il rapporto ${\frac {n_{A}}{n}}$ ci darà sempre lo stesso risultato? La risposta è che non possiamo saperlo. Per osservare questo fenomeno, consideriamo un esperimento che consiste nel lanciare una monetina infinite volte. Siamo interessati a quante volte la moneta ci darà come risultato testa. Immaginiamo che il risultato sia l seguente sequenza:

HTHHTTHHHHTTTTHHHHHHHHTTTTTTTTHHHHHHHHHHHHHHHHTTTTTTTTTTTTTTTT...

dove per ogni $k$ risultati testa e $k$ risultati croce segue un numero doppio di risultati. Seguendo questo esempio il rapporto ${\frac {n_{A}}{n}}$ oscilla tra circa ${\frac {1}{3}}$ e ${\frac {2}{3}}$ senza convergere nel rapporto ${\frac {1}{2}}$.

Potremmo aspettarci che tali sequenze di risultati siano improbabili, e avremmo ragione. Come mostrato dopo la probabilità di una striscia di risultati come questa è pari a 0, come una serie di risultati che converge verso la probabilità statistica dell'evento. Il limite di questo tipo di probabilità sta proprio nel definire chiaramente come determinare la convergenza di un tale evento verso la probabilità statistica, compito che spetta alla teoria della probabilità assiomatica.

Teoria assiomatica della probabilità

La teoria assiomatica della probabilità, sebbene spaventi spesso i principianti, è l'approccio più generale alla probabilità, ed è stata utilizzata per risolvere alcuni dei più difficili problemi della probabilità. Partiamo da una serie di assiomi, che servono per definire un intervallo di probabilità. Sebbene questi assiomi potrebbero non essere immediatamente intuitivi, possiamo garantire che la chiave di lettura per comprendere a pieno questi assiomi rimane in buona parte la teoria della probabilità classica.

Poniamo S come l'insieme dei risultati di un esperimento casuale. La probabilità P è una funzione con dei valori il quale dominio è l'insieme potenza S il quale intervallo [0,1] soddisfa i seguenti assiomi:

(i) Per ogni evento E, P (E) ≥ 0

(ii) P (S) = 1

(iii) Se E ed F sono reciprocamente esclusivi, allora P(E ∪ F) = P(E) + P(F).

seguito da (iii) per P(φ) = 0. Per provare questo, prendiamo F = φ e osserviamo che E e φ sono eventi disgiunti. Quindi, dall'assioma (iii), abbiamo P (E ∪ φ) = P (E) + P (φ) or P(E) = P(E) + P (φ) i.e. P (φ) = 0. Poniamo S come lo spazio campione che contiene i risultati ω1, ω2 ,...,ωn, i.e., S = {ω1, ω2, ..., ωn}

Risulta dalla definizione assiomatica di probabilità che:

(i) 0 ≤ P (ωi) ≤ 1 per ogni ωi ∈ S

(ii) P (ω1) + P (ω2) + ... + P (ωn) = 1

(iii) Per ogni evento A, P(A) = Σ P(ωi ), ωi ∈ A.