L'ultimo teorema di Fermat/Gabriel Lamé e Augustin Luis Cauchy

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Immagine di Cauchy

I risultati di Sophie Germain sembrarono a molti il punto di svolta, e che la soluzione definitiva all'enigma fosse vicina. L'accademia Francese delle scienze offrì una serie di premi a chi fosse riuscito a dimostrare l'ultimo teorema di Fermat. In quell'epoca l'offerta di premi per la soluzione di enigmi matematici era una pratica comune e molte accademie la seguivano, dato che si poteva indirizzare la ricerca di molti scienziati in aree specifiche del sapere. Questi premi venivano utilizzati sia per la ricerca di soluzioni a problemi pratici che per la soluzione di problemi teorici come il teorema di Fermat.

I matematici Gabriel Lamé e Augustin Luis Cauchy annunciarono di essere sul punto di dimostrare il teorema utilizzando tecniche simili. Questi matematici infiammarono i salotti parigini con affermazioni e stralci delle rispettive dimostrazioni ma senza mai pubblicare le dimostrazioni complete. Questa situazione si protrasse per tutto il mese di aprile del 1847 fino a quando il matematico Joseph Lionville lesse all'accademia delle scienze una lettera del matematico Ernst Eduard Kummer. Kummer analizzando i pochi indizi sulle dimostrazioni di Cauchy e di Lamé si era reso conto che le dimostrazioni seguivano lo stesso ragionamento e che contenevano un errore logico che le rendeva fallate. Kummer si era reso conto che i due matematici basavano la loro dimostrazione su una proprietà conosciuta come fattorizzazione unica. Questa in sostanza afferma che ogni numero intero può essere scomposto in una sola serie di numeri primi.

Nota fin dai tempi di Euclide (IV secolo a.C.) è stata utilizzata in moltissime dimostrazioni ed è talmente importante che il teorema che la enuncia è chiamato teorema fondamentale dell'aritmetica. Il problema era che la dimostrazione di Cauchy e Lamé utilizzava i numeri complessi e, nel campo dei numeri complessi, questa proprietà non è necessariamente vera. La mancanza di fattorizzazione unica poteva essere aggirata con alcune tecniche ma comunque rimanevano dei numeri recalcitranti. Questi numeri potevano in teoria essere affrontati singolarmente, ma essendo infiniti ciò non avrebbe risolto il problema. Lamé si rese conto dell'impossibilità di trovare una soluzione generale, mentre Cauchy ritenne la sua implementazione non così dipendente dalla fattorizzazione e lavorò per diverse settimane all'argomento prima di arrendersi. Infine, nel 1856, visto che nessuna soluzione corretta era stata presentata all'accademia, questa decide di ritirare il premio. Alla soluzione finale infatti mancavano ancora 138 anni.