Geometrie non euclidee/La "geometria del taxi"

Verso la fine del XIX secolo, il matematico tedesco Hermann Minkowski studiò la cosiddetta "geometria del taxi" (Taxicab geometry oppure Manhattan distance in inglese − vista la conformazione ortogonale delle strade di Manhattan). La caratteristica principale di questa geometria è che la metrica (= distanza) euclidea è sostituita da una nuova, in cui la distanza tra due punti è la somma del valore assoluto delle differenze delle loro coordinate.

Il concetto di distanza nella geometria del taxi

Formalmente, si può definire la distanza nella geometria del taxi (in inglese Manhattan distance), indicata come distanza $L_{1}$, tra due punti nello spazio euclideo con un fissato sistema di coordinate cartesiane, la somma delle lunghezze delle proiezioni sugli assi cartesiani dei segmenti che congiungono i due punti.

Dunque, la distanza $L_{1}$ tra due punti $P_{1}$ di coordinate $(x_{1},y_{1})$ e il punto $P_{2}$ di coordinate $(x_{2},y_{2})$ è

$L_{1}(P_{1},P_{2})=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|.$

La distanza $L_{1}$ varia per rotazione del sistema di assi, mentre è invariante per traslazioni e riflessioni.

La distanza $L_{1}$ viene anche detta distanza del taxi, perché è la minore distanza che dovrebbe essere percorsa da un'automobile per muoversi tra due punti situati in una città suddivisa in isolati quadrati, come Manhattan. Ogni percorso che va da un punto a un altro punto situato 3 isolati a est e 6 isolati a nord dovrà essere lungo almeno 9 isolati. Tutte le strade più dirette sono lunghe esattamente 9 isolati.

Rispetto alla geometria euclidea, nella geometria del taxi non vale il primo criterio di congruenza dei triangoli: è possibile generare due triangoli diversi aventi due lati e l'angolo fra essi compreso ordinamente congruenti. Rimane valido, invece, il V postulato.

Una circonferenza nella geometria del taxi è il luogo di punti che hanno la stessa distanza $L_{1}$ dal centro. Queste circonferenze sono in realtà quadrati i cui lati formano un angolo di 45° con gli assi coordinati. In questo contesto, il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza ed il raggio $L_{1}$ non è $2\pi$, bensì 8.